Изменения

2) Аддитивность при дроблении пути: если раздробили путь <tex> \gamma </tex> на <tex> int_{a}^{b} \gamma_1 </tex> и <tex> langle (\gamma_2 </tex>, то <tex> I(V, alpha V_1 + \gammabeta V_2) = I(V, \gamma_1) + I(V, gamma' \gamma_2) rangle dt </tex>.— по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:  <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex> <tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex> 3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex>, то <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex> Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma'(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

\gamma_2(t - b + c), \ t \in [ab; b + d - c]\end{cases} </tex> то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma't \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex> <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону) <tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex> <tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)),\gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma'(s) \rangle ds </tex>

то 5) Оценка интеграла: {{Теорема|statement=<tex> I| \int\limits_{a}^{b} (V, V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x) = I| \cdot L(V, \gamma_1gamma) + I</tex>, где <tex> L(V, \gamma_2gamma) </tex>— длина пути.

5) Оценка интеграла: <tex> | \intgamma : [a, b] \to \limits_mathbb{aR}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) ^m </tex>|proof=<tex> | \leqslant int_a^b \max |Vsum V_i (\gamma(xt))| \cdot L(\gamma'_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le </tex>, где по КБШ <tex> L\int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t) )} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt \le |V(\gamma(t))| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma'(t) dt| </tex> — длина пути.