Изменения

Класс <tex>SC</tex> '''разбивает''' класс <tex>R</tex> по символу <tex>a</tex> на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, если # <tex>\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in SC</tex> # <tex>\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin SC</tex>

# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний <tex>QF</tex> и класс недопускающих состояний (<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F\}</tex>).# Перебираются символы алфавита <tex>a c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(Q\langle F, a)\ c \rangle</tex> и <tex>(\langle Q \setminus F, a)c \rangle</tex> помещаются в очередь.# Из очереди извлекается пара <tex>(S\langle C, \ a)\rangle</tex>, <tex>SC</tex> далее именуется как сплиттер.# Все классы Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер<tex>(R_1)</tex>, а второй из всех оставшихся<tex>(R_2)</tex>. # Те классы, которые разбились Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса(то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset </tex>).## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, заменяются этими подклассами в разбиенииc \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, а также добавляются c \rangle</tex> помещаются в очередь.

*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний.,*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),*<tex>W\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь.пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.,*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P } \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> <tex>W \mathtt{S} \leftarrow \{ \}varnothing </tex> '''for all ''' <tex>a c \in \Sigma</tex> push <tex>W\langle F,\ c \rangle</tex>.push(, <tex>\langle Q \setminus F, a\ c \rangle</tex>) '''into''' <tex>W\mathtt{S}</tex>.push( '''while''' <tex>Q \setminus F, amathtt{S} \ne \varnothing</tex>) while not <tex>W\langle C,\ a \rangle</tex>.isEmpty() <tex>W\leftarrow</tex>.pop('''from''' <tex>\mathtt{S, a}</tex>) '''for all ''' <tex>R</tex> '''in ''' <tex>\mathtt{P}</tex> <tex>R_1 = R , R_2 \cap \delta^{-1} (S, a) leftarrow </tex> <tex>R_2 = \mathtt{split}(R ,\ C,\setminus R_1a)</tex> '''if ''' <tex> |R_1| \ne 0\varnothing </tex> '''and ''' <tex>|R_2| \ne 0\varnothing </tex> replace <tex>R</tex> '''in ''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and ''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>Wc \in \Sigma</tex>.push( insert <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>) insert <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>W\mathtt{S}</tex>.push( '''return''' <tex>R_2\mathtt{P}</tex>) Когда очередь <tex>S</tex> станет пустой , будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить. ===Время работы===Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex> {{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> попала в очередь, и класс <tex>C</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|C| \geqslant |C_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \in R_1\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_1</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_2 \ \lor</tex> or

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \in R_2\ \lor</tex> or :<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R_1</tex> and <tex> \ \land \ \delta(r, a) \notin R_2</tex>

:<tex>\forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \in R \ \lor</tex> or :<tex> \forall r \in B \,\,\, \delta(r, a) \notin R</tex>

Алгоритм Хопкрофта отличается от простого тем, что иначе добавляет классы пары в очередь.После замены класса <tex>R</tex> в разбиении <tex>P</tex> на его подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, как и раньше перебираем символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>. Если класс пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> уже есть в очереди, то согласно лемме можно просто заменить его её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>.  Если класса пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет в очереди, то согласно лемме достаточно добавить любую из пар <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex>. Это следует из следующих соображений: <tex>R</tex> может быть в разбиении только если в очередь были положены пары <tex>\langle R,\ a \rangle</tex> для <tex>\forall a \in \Sigma</tex>, а поскольку в очереди пары <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> нет, то мы её уже успели рассмотреть, следовательно классы из разбиения <tex>P</tex> уже были разбиты по <tex>\langle R,\ c \rangle</tex>. === Реализация === *<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,*<tex>\mathtt{F}</tex> {{---}} множество терминальных состояний,*<tex>\mathtt{\delta}</tex> {{---}} функция перехода (<tex>\delta (r,\ a)</tex> {{---}} состояние, в которое можно добавить совершить переход из <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>),*<tex>\mathtt{S}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>,*<tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА,*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex> '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> replace <tex>R</tex> и любой из '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> и '''else''' push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>   Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, а так как из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для любого класса каждой пары <tex>B\langle C,\ a \rangle</tex> из текущего разбиения выполняется ).  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector''' <tex>\forall r mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in B \Sigma</tex> push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C,\a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex> <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font> <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R ,\ C,\ a)</tex> '''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> or : replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''if''' <tex> \forall r langle R,\ c \rangle</tex> '''in B ''' <tex> \mathtt{S}</tex> remove <tex>\langle R,c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_1,c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' push <tex>\langle R_2, c \deltarangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>  Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки. Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>). *<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма). Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.  '''function''' findEquivalenceClasses<tex>(Q,\ F,\ \delta)</tex>: '''vector''' <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex> <tex>\langle C, \ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex> insert <tex>i</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Count}[i]++</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex> insert <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>// создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>\mathtt{Twin}[i] = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen> //запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex> <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex> '''if''' <tex>j \neq 0</tex> remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex> add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <tex>j = \mathtt{Twin}[i]</tex> '''if''' <tex> j \neq 0 </tex> '''if''' <tex>|\mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{O(1) }</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> push <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex> <tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>  Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin}\notin R,</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма. то Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очередь очереди можно добавить только меньшее из не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>R_1\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex> . Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>R_2\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, так как порядок извлечения нам по сути не важен. ===Время работы===

{{Лемма|about =1|id =Лемма1|statement =Псевдокод==Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает <tex>2 |Q| - 1</tex>.|proof =Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний <tex>Q</tex> . Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы алгоритма. Так как дерево бинарное {{---}} множество состояний ДКАкаждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше <tex>|Q|</tex>, то количество узлов этого дерева не может быть больше <tex>2 |Q| - 1</tex>, что доказывает утверждение леммы.}} {{Лемма|about = 2|id = Лемма2|statement = Количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.|proof =Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex>F2 |\Sigma| |Q| </tex> {{--, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди. По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| -1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>\ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.}} множество терминальных состояний {{Лемма|about = 3|id = Лемма3|statement = Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.|proof =Рассмотрим пару <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>Wp \in C</tex> , которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>\langle C',a \rangle</tex> следующая пара, где <tex>p \in C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\mathtt{{---}replace} </tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередьпару <tex>\langle C'', a \rangle</tex>, где <tex>C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>.Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>P\log_2(|Q|)</tex> . }} {{---Лемма|about = 4|id = Лемма4|statement = <tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while} разбиение множества состояний ДКА</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.|proof =Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>Ry \in C</tex> . Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.}} {{---Теорема|statement =Время работы алгоритма Хопкрофта равно <tex>O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)</tex>.|proof =Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма: *Построение массива <tex>\mathtt{Inv}</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени.  *По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while} класс состояний ДКА</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>. *Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>W O(\leftarrow sum(|\mathtt{ Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> if не превосходит <tex> |F\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(| \le Sigma| |Q | \setminus Flog_2(|Q|))</tex>. for all *В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>a \in mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.  Итого, получается, что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex>WO(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.push}} === Альтернативная реализация ===Вообще, алгоритм можно реализовать и с меньшим количеством используемых структур (что делает код на порядок читабельнее). Все классы разбиения будем по-прежнему хранить в векторе хэш-сетов <tex>\mathtt{P}</tex>. *<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} индекс класса в <tex>\mathtt{P}</tex>F, aкоторому принадлежит состояние <tex>r</tex>), else for all *<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь из пар <tex>\langle C,\ a \in rangle</tex>,*<tex>\Sigmamathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex>(мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма), *<tex>W\mathtt{Involved}</tex>{{---}} ассоциативный массив из номеров классов в векторы из номеров вершин.push(  <tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q ,\setminus F, a\ \delta)</tex>): <tex>\mathtt{P } \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> insert <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex> '''while not ''' <tex>W\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>.isEmpty() <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>W\leftarrow</tex>.pop('''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <tex>S, a\mathtt{Involved} = \{\}</tex>) '''for each ''' <tex>Rq \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>Pi = \mathtt{Class}[r]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex> split by <tex>S\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex> replace add <tex>r</tex> '''to''' <tex>R\mathtt{Involved}[i]</tex> '''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font> '''if''' <tex>|\mathtt{Involved}[i]| < |\mathtt{P}[i]|</tex> with '''insert''' <tex>R_1\{\}</tex> and '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим пустой класс в разбиении <tex>R_2\mathtt{P}</tex></font> if ( <tex>R, aj = |\mathtt{P}|</tex>) in <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>Wj</tex> индекс нового класса</font> replace ( '''for''' <tex>R, ar</tex>) '''in ''' <tex>W\mathtt{Involved}[i]</tex> with ( remove <tex>R_1, ar</tex>) and ('''from''' <tex>R_2, a\mathtt{P}[i]</tex>) else add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex> '''if ''' <tex> |R_1\mathtt{P}[j]| > | \le |R_2mathtt{P}[i]|</tex> <font color=darkgreen>//Парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>W\mathtt{swap}(\mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex>.push<font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex>R_1<font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, aу которых они изменились</font> <tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>) else '''for''' <tex>Wc \in \Sigma</tex>. push(<tex>R_2\langle j, ac \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> '''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>) == См. также ==

==Время работы алгоритма==Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| * n\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>(S, a)</tex> попала в очередь, и класс <tex>S</tex> использовася в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь будет добавлен класс <tex>S_1</tex>, причем <tex>|S| \ge 2|S_1|</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, тогда из вышеуказанного следует, что каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(\log{n})</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| * n)</tex>, получаем указанную оценку.[[Алгоритм Бржозовского]]

== Литература Источники информации ==