Изменения
→Свойства
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br> <tex>x\ne 0_X0_x</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{-- -}} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство]] <tex>\mathcal{A}</tex> и <tex>\dim L = 1</tex>
}}
|neat =
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_X</tex> называется '''собственным вектором''' <tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>
}}
Предыдущие 2 определения эквивалентны.
|proof=
<math> (1) \Rightarrow (2) : \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow Ax \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow Ax\mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) : \colon \exists \lambda: Ax \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</tex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, Ax \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>
}}
|neat =
|definition=
<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>
}}
|definition=
'''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br>
<tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _A _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>
}}
'''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор
|proof=
1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x1 x_1 \ne 0_x\ \{x1x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>2) <tex>\{x1x_1,x2x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1 } \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x1x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ.
<tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex>
<tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1)
<tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2)
(1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex>
По предположению индукции <tex>\{x1x_1,x2x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex>
<tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex>
<tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 00_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, те т.е. набор ЛНЗ.
}}
|about=
|statement=
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.
|proof=
}}
|neat =
|definition=
}}
У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>
|proof=
}}
<tex>x \ne 0_x</tex> и
<tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x \Leftrightarrow Ax \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I } x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A } - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex>
<math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix}
Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex>
<tex>\chi_A mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином
<tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а
|about=
|statement=
Пусть <tex> \mathcal{A } : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>\mathcal{A}</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.
|proof=
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex> полинома комплексной переменной всегда есть корень.
