Изменения

Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема:  :Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> - вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 ... w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство: :<tex dpi = "160">\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \frac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{k \subseteq [n]} (-1)^{|k|}(z-w \cdot 1_k)^n_+</tex>  Положим <tex>W_n^k</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x ) \le z \}</tex>