|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями:
:<tex>L(p) \in A</tex>
:<tex>p \in L(A)</tex>
Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L(A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} перечислитель полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод перечислителя для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству : <tex>p_A(p_X)</tex> '''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex> Псевдокод полуразрешителя для языка свойства языка из первого примера : <tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in A</tex>
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.''' Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо. ПредположимРассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex>S \in \overline{A}</tex> разрешимо и нетривиально(такой язык существует, так как <tex>p_AA</tex> {{---}} программа, разрешающая нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>.Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>. Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(x), n \in X \\ p_\infty(x), n \notin X \\\end{cases} </tex>
Не умаляя общности, можно считать, что <code> '''function''' <tex>\varnothing \notin AV_n</tex> (в противном случае перейдём к x): '''if''' <tex> \mathrm {RE} \setminus Ap_X</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как (n) == 1 '''return''' <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \varnothing p_S</tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \mathrm {RE} (x) '''while''' ''true''</texcode>.
Поскольку Получили, что если <tex>An \in X</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык <tex>X V_n \in L(\overline A)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>. Пусть , то <tex>p_XV_n \in L(A)</tex> {{---}} полуразрешитель . Таким образом, <tex>n \in X\iff V_n \in L(\overline A)</tex>.
Рассмотрим вспомогательную программу: Так как <tex> U\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(i\overline{A})</tex>. Но это тоже самое,x)что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} [[Универсальная функция | универсальная функция]]неразрешимо, получили противоречие.
Тогда для произвольных <tex>i</tex> и <tex> x </tex> можем написать такую программу. <tex>g_{i,x}(y):</tex> '''if''' <tex>U(iТеперь рассмотрим случай, x)когда </tex> == 1 '''return''' <tex>p_Xp_\infty \in L(y\overline{A})</tex> '''else''' '''while''' '.'true''
Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным Так как <tex>i\overline{A}</tex> и {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <tex>xA</tex>также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно рассмотреть такую программу: написать функцию <tex>US\mathrm{getSrc(\langle i, x \rangle )} </tex> '''return''' <tex>p_A ( g_, которая вернёт строку {{i,x---}} ) </tex>исходный код программы.
Заметим, что<tex>L(g_A </tex> {i,x}) = \begin{cases---} X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\\end{cases}</tex>разрешимое семейство языков.
Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> XL_A </tex> {{---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex> и пустое.СледовательноТеперь допустим, что язык <tex> L_A <br/tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: <code> <tex>propA(code){:}</tex> US // программа, разрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>,x}) = что <tex>f \beginin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{cases---}} нетривиальное свойство p_A<tex>g(p_Xx){:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, & U(i, x) = 1что <tex>g \notin A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство p_A(p_\varnothing ), & U<tex>p(i, x) \neq 1; \\\end{cases:} = </tex> '''if''' <tex>propA(\beginmathrm{casesgetSrc()})</tex> 1, & U '''return''' <tex>g(i, x) = 1; \\</tex> '''else''' 0, & U '''return''' <tex>f(i, x) \neq 1; \\</tex></code>\end{cases}Если <tex> p </tex> {{---}} программане удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
