223
правки
Изменения
м
Доказательства Для доказательства утверждения нужно доказать, что <tex>\int\limits_a^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx</tex> {{---}} расходится.
Нет описания правки
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Несобственный интеграл {{---}} в некотором смысле обобщение интеграла <tex>\int\limits_a^b</tex> на случай <tex>a b = +\infty</tex>.
== Некоторые определения ==
Применим формулу интегрирования по частям:
<tex>\int\limits_A^B f(x)dG(x) = f(B)G(B) - f(A)G(BA) - \int\limits_A^B f'(x)G(x)dx</tex>
Пусть <tex>f' \leq 0 \Rightarrow f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0</tex>убывает и стремится к нулю.
Пусть <tex>\forall A : \left|\int\limits_a^A Gg(x)dx \right| \leq M</tex>
Получаем <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \leq</tex>
<tex>|f(B)| \left|\int\limits_a^B g\right| + |f(A)| \left|\int\limits_a^A g\right| + M \int\limits_A^B f'(x) dx</tex>
Но при <tex> A, B \rightarrow \infty </tex> <tex>|f(B)|, |f(A)| \to 0</tex>, <tex>\left|\int\limits_a^Bg\right|, \left|\int\limits_a^Ag\right| \leq M</tex> и <tex>\int\limits_A^B f'(x) dx = f(B) - f(A)</tex>(по формуле Ньютона-Лейбница). Тогда получаем, что, так как правая часть стремится к нулю, <tex>\left|\int\limits_A^Bfg\right| \to 0</tex>, интеграл, по принципу Коши, сходится.
{{Утверждение
{{Утверждение
|id=Dirichlet
|statement=
Интеграл Дирихле сходится лишь условно.
|proof=
Очевидно, достаточно доказать это для <tex>a = 1</tex>.
