635
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:
<center>
<tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}</tex>,
</center>
где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.
}}
{{Определение
|definition=
'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида:
<center>
<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{Bx + CP(x)}{(Q(x^2 + px + q))^m}</tex>,
</center>
где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{---}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{---}} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>p^2 - 4q \deg(P) < 0\deg(Q)</tex> .
}}
==Общий алгоритм==
# Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома <tex>P(z)</tex>, составив, таким образом, систему линейных уравнений.
# Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
# Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь таблицами [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций ]] и формулами преобразования ==[[Производящая функция#Примеры=====Пример 1===Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center> Разложим знаменатель функции на множители <center><tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,</tex></center> тогда <center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex><center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},</tex></center>где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br><tex>A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br><tex>B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br><tex>A+C=8</tex> - это коэффициент при <tex>z^0</tex>. Решая систему из трех уравнений, находим <br><tex>A=1</tex>,<br><tex>B=-1</tex>,<br><tex>C=7</tex>. Получаем<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex></center> Эти дроби разложим в ряд, пользуясь простых производящих функций|таблицей производящих функций и формулами преобразования:<center><tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex> <tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex> <tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n ]].</tex> </center>
#Разложить в ряд функцию <tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex>#:Разложим знаменатель функции на множители: <tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2</tex>, тогда <tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=Пример \dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>#:Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex>:#:<tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}</tex>, где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы.#:Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:#:<tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>#:Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br>#:<tex>A+B=0</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br>#:<tex>B+C-2A=4</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br>#:<tex>A+C=8</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^0</tex>.#:Решая систему из трех уравнений, находим <br>#:<tex>A=1</tex>,<br>#:<tex>B=-1</tex>,<br>#:<tex>C=7</tex>.#:Получаем: <tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex>#:Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:#:<tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex>#:<tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex>#:<tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex>#:Тогда <tex> G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n</tex>#:или <tex>[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0</tex>.#Разложить в ряд рациональную функцию <tex>G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex>#:Разбив знаменатель на множители, получаем: <tex>\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.</tex>#:Приведём все дроби к общему знаменателю: <tex>\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.</tex>#:Решаем систему линейных уравнений:#:<tex>-12A+3B-4D=-59</tex>#:<tex>16A-4B+3C+8D=89</tex>#:<tex>-7A+B-4C-5D=-46</tex>#:<tex>A+C+D=8</tex>#:Решение этой системы: #:<tex>A=4, B=3, C=−1, D=5.</tex> #:Это означает, что <tex>G(z)= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.</tex>#:Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей:#:<tex>G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.</tex>#:То есть#:<tex>[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4</tex>#:<tex>G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).</tex>
<center>
<tex>
G(z)=\dfrac{z(1-12A+3B-4Dz)(z^3+(16A{11}-4Bz^{10}+3C3z^9+8D)z12z^8-3z^2+(7-7A3z^4+B21z^3-4C3z^2-5D1)z}{2z^{14}-4z^{13}+A28z^{12}+C+D42z^{11}-82z^{(110}-8z^9+118z^8-66z^7-z)(135z^6+90z^5+12z^4-2z)63z^3+14z^2(+5z-1-3z)}.
</tex>
</center>
