Изменения

'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:

где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.

'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида: 

<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{Bx + CP(x)}{(Q(x^2 + px + q))^m}</tex>,

где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{---}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{---}} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>p^2 - 4q \deg(P) < 0\deg(Q)</tex> .

# Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь таблицами [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций ]] и формулами преобразования ==[[Производящая функция#Примеры=====Пример 1===Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center> Разложим знаменатель функции на множители <center><tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,</tex></center> тогда <center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex><center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},</tex></center>где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br><tex>A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br><tex>B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br><tex>A+C=8</tex> - это коэффициент при <tex>z^0</tex>. Решая систему из трех уравнений, находим <br><tex>A=1</tex>,<br><tex>B=-1</tex>,<br><tex>C=7</tex>. Получаем<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex></center> Эти дроби разложим в ряд, пользуясь простых производящих функций|таблицей производящих функций и формулами преобразования:<center><tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex>  <tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex>  <tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex> </center> Тогда<center><tex> G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n</tex></center> Или <center><tex>[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0.</tex></center> ===Пример 2=== Разложить в ряд рациональную функцию<center><tex>G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex></center>Разбив знаменатель на множители, получаем:<center><tex>\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.</tex></center>Приведим все дроби к общему знаменателю:<center><tex>\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}].</tex></center>

#Разложить в ряд функцию <tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex>#:Разложим знаменатель функции на множители: <tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2</tex>, тогда <tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>#:Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex>:#:<tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}</tex>, где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы.#:Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:#:<tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>#:Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br>#:<tex>A+B=0</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br>#:<tex>B+C-2A=4</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br>#:<tex>A+C=8</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^0</tex>.#:Решая систему из трех уравнений, находим <br>#:<tex>A=1</tex>,<br>#:<tex>B=-1</tex>,<br>#:<tex>C=7</tex>.#:Получаем: <tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex>#:Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:#:<tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex>#:<tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex>#:<tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex>#:Тогда <tex> G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n</tex>#:или <tex>[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0</tex>.#Разложить в ряд рациональную функцию <tex>G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex>#:Разбив знаменатель на множители, получаем: <tex>\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.</tex>#:Приведём все дроби к общему знаменателю: <tex>\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.</tex>#:Решаем систему линейных уравнений:#:<tex>-12A+3B-4D=-59</tex> #:<tex>16A-4B+3C+8D=89</tex> #:<tex>-7A+B-4C-5D=-46</tex> #:<tex>A+C+D=8</tex>  #:Решение этой системы:  #:<tex>A=4, B=3, C=−1, D=5.</tex>  #:Это означает, что<center><tex>G(z)= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.</tex></center> #:Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей:#:<tex>G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.</tex>#:То есть#:<tex>[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4</tex>#:<tex>G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).</tex>

G(z) = 4\sum_dfrac{n=0z(1-z)(z^{11}-z^{10}+3z^9+12z^8-3z^\infty z7-3z^n 4+ 21z^3\sum_-3z^2-1)}{2z^{n=014}-4z^\infty n2{13}+28z^{n-112}z+42z^n{11}-\sum_82z^{n=010}-8z^\infty (n9+1) 2118z^8-66z^n z7-35z^n6+90z^5\sum_{n=0}+12z^4-63z^\infty 3+14z^n z^n2+5z-1}.

То есть==См. также==<center>* [[Производящая функция]]<tex>* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]* [[z^nПроизводящие функции нескольких переменных]]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4</tex>