Изменения
Нет описания правки
*количество способов расставить скобки в произведении <tex dpi = 120>n</tex> множителей
*количество способов заполнить лестницу ширины и высоты <tex dpi = 120>n</tex> прямоугольниками
и т.д.так далее}}
Первые несколько чисел Каталана:
<tex dpi = 120> 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ... \ldots </tex>
==Формулы вычисления чисел Каталана==
Рекуррентную формулу легко вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях.
Пусть <tex dpi = 120>X</tex> — произвольная правильная скобочная последовательность длины <tex dpi = 120>2n</tex>. Она начинается с открывающейся скобки. Найдем парную ей закрывающуюся скобку и представим последовательность <tex dpi = 120>X</tex> в виде: <tex dpi = 120>X = (A)B</tex>, где <tex dpi = 120>A</tex> и <tex dpi = 120>B</tex> — тоже правильные скобочные последовательности. Если длина последовательности <tex dpi = 120>A</tex> равна <tex dpi = 120>2k</tex>, то последовательность <tex dpi = 120>A</tex> можно составить <tex dpi = 120>C_k</tex> способами. Тогда длина последовательности <tex dpi = 120>B</tex> равна <tex dpi = 120>2(n - k - 1)</tex> и последовательность <tex dpi =120>B</tex> можно составить <tex dpi = 120>C_{n - k - 1}</tex> способами. Комбинация любого способа составить последовательность <tex dpi = 120>A</tex> с любым способом составить последовательность <tex dpi = 120>B</tex> даст новую последовательность <tex dpi = 120>X</tex>, а величина <tex dpi = 120>k</tex> может меняться от <tex dpi = 120>0</tex> до <tex dpi = 120>n - 1</tex>. Получили рекуррентное соотношение: <tex dpi = 120>C_n = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-2} + \cdot \cdot \cdot ldots + C_{n-1} C_0 </tex>. Так как <tex dpi = 120>C_0 = 1</tex>, то последовательность совпадает с числами Каталана.
===Аналитическая формула===
Пусть <tex dpi = 120>k</tex> — номер третьей вершины этого треугольника. Выделенный треугольник разбивает <tex dpi = 120>(n + 2)</tex> — угольник на <tex dpi = 120>k</tex> — угольник и <tex dpi = 120>(n-k+3)</tex> — угольник, каждый из которых триангулирован диагоналями. Перенумеруем вершины этих многоугольников против часовой стрелки так, чтобы нумерация вершин в каждом из них начиналась с 0. В результате получим пару триангуляций <tex dpi = 120>k</tex>-угольника и <tex dpi = 120>(n-k+3)</tex> — угольника. Наоборот, каждая пара триангуляций <tex dpi = 120>k</tex> — угольника и <tex dpi = 120>(n-k+3)</tex> — угольника
определяет триангуляцию исходного многоугольника. Поэтому
<tex dpi = 120>t_{n+1} = t_0 t_n + t_1 t_{n-1} + \cdot \cdot \cdot ldots + t_n t_0 </tex>
и поскольку <tex dpi = 120>t_0 = 1</tex>, последовательность чисел <tex dpi = 120>t_n</tex> совпадает с последовательностью Каталана.
