Изменения
Нет описания правки
образом,
*<tex>P = p^k \cdot q^{n−k}+...+p^k \cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex>
== Случайные блуждания по прямой ==
Представим частицу, которая движется по целым точкам на прямой. Перемещение из одной точки
в другую происходит через равные промежутки времени. За один шаг частица из точки k с положительной вероятностью p перемещается в точку <tex>k + 1</tex> и с положительной вероятностью <tex>q = 1 − p</tex>
перемещается в точку <tex>k − 1</tex>.
Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]:
*<tex>\xi_n = \xi_{n-1} + \eta_n = \xi_0 + S_n, \eta_n = \begin{cases} 1 &\text{с вероятностью p}\\-1 &\text{с вероятностью 1 - p}
\end{cases}</tex>
Заметим, что вернуться в какую-либо точку можно только за четное число шагов.
== Задача о разорении игрока ==
<tex>\quad\xi_{t+1} = \xi_t + \eta_t,\quad P\{\eta_t = 1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = p,\quad P\{\eta_t = −1|\xi_t ≠ 0 ∨ \xi_t ≠ n\} = q</tex> и
<tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> <tex> (2.1)</tex>
Вероятность выигрыша для первого игрока в момент времени <tex>t</tex> есть <tex>p_{kn}(t) = P\{\eta_t = n|\eta_0 = k\}</tex>
<tex> \quad \quad p_{kn} = P(A) = \lim_{t\to\infty}P\{\xi_t = n|\xi_0 = k\} = \lim_{t\to\infty}p_{kn}(t).</tex>
Переходя к пределу в <tex>(2.1) </tex> при <tex>t → ∞</tex>, получим
<tex>\quad \quad p_{kn} = p \cdot p_{k+1,n} + q \cdot p_{k−1,n}</tex>
Так как <tex>p_{kn}</tex> вероятность выигрыша для первого игрока, то <tex>p_{0n} = 0, p_{nn} = 1</tex>. Рассматриваемая как функция от <tex>k</tex>, вероятность <tex>p_{kn}</tex> является решением уравнения в конечных разностях
*<tex> \quad \quad p \cdot f_{k+1} − f_{k} + q \cdot f_{k−1} = 0 </tex> <tex> (2.2)</tex>
удовлетворяющим граничным условиям <tex>f_0 = 0 \quad f_n = 1</tex>. Теория решения таких уравнений аналогична
Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q}{p}</tex>.
Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация
*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (2.3)
при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (2.3)<tex> f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим
<tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q}{p})^nC_2 = 1.</tex>
Отсюда и из (2.3) <tex>f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> находим
*<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>
Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Но граничными
условиями станут <tex>f_0 = 1, f_n = 0.</tex> Определяя из этих условий <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex>, получим
Так как <tex>p_{k0} + p_{kn} = 1</tex>, то с вероятностью <tex>1</tex> один из игроков выиграет.
Пусть теперь <tex>p = q = 0.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения <tex>(2.2) </tex> нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>
С помощью граничных условий находим
