Изменения
→Анализ времени работы
Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худщий случай (процедура '''partition''' возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит <tex>\Omega(n^2)</tex>. Однако, если считать, что '''partition''' возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как <tex>O(n)</tex>.
Будем оценивать количество сравнений. При поиске статистики в массиве размера <tex>n</tex> функция '''partition''' (точнее, одна из распространённых вариаций) совершает не более <tex>n - 1</tex> сравнений. Далее, в зависимости от <tex>k</tex> выбирается левая или правая половины (или вообще алгоритм завершает работу). Оценку проводим сверху, то есть, будем считать, что каждый раз выбирается большая половина.
:<tex>T(n) \le \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n \left ( T \left ( \max \left \{k - 1; n - k \right \} \right ) + n - 1 \right ) =</tex>
:<tex>= n - 1 + \frac 1n \sum\limits_{k = 1}^n T(\max \{k - 1; n - k\}) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} T(k)</tex>
Предположим, что <tex>T(k) \le ck</tex> для некоторой константы <tex>c</tex> и всех <tex>k < n</tex> (будем доказывать оценку по индукции). Тогда верно неравенство:
:<tex>T(n) = n - 1 + \frac 2n \sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck</tex>
Преобразуем сумму из правой части равенства по формуле суммы арифметической прогрессии и оценим преобразованное выражение:
:<tex>\sum\limits_{k = \lfloor n/2 \rfloor}^{n - 1} ck = \frac 12 \left (\left \lceil \frac n2 \right \rceil - 1 \right) \left( c \left \lfloor \frac n2 \right \rfloor + c(n - 1) \right ) \le \frac c2 \left (\frac{n + 1}2 - 1\right) \frac{3n - 2}2 = c \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2</tex>
Воспользуемся полученной оценкой для оценки исходного выражения. Также, предположим, что <tex>c \ge 4</tex>:
:<tex>T(n) \le n - 1 + \frac{2c}n \frac{n - 1}4 \frac{3n - 2}2 = n - 1 + c\frac{n - 1}{2n} \frac{3n - 2}2 \le \frac c4 (n - 1) + \frac c4\left (\frac{n - 1}n (3n - 2)\right) \le</tex>
:<tex>\le \frac c4 (n - 1 + 3n - 2) = \frac c4 (4n - 3) \le cn</tex>
Для довершения доказательства необходима проверка базы индукции, но она тривиальна: для выборки порядковой статистики из одного элемента сравнений не требуется: <tex>T(1) = 0 < 4</tex>. Итого, мы доказали, что <tex>T(n) \le 4n</tex>, следовательно, <tex>T(n) = O(n)</tex>
