Теорема Фубини

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Цель — установить формулу

[math] \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 [/math]

[math] E(x_1) [/math] — сечение множества [math] E [/math] вертикальной прямой, проходящей через точку [math] x_1 [/math].

[math] E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} [/math]

Для некоторых [math] x_1 [/math] это может быть [math] \varnothing [/math]

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему истоком которой является принцип Кавальери. TODO: КАРТИНКА: [math] S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 [/math] . Аналог этой формулы был раньше.

Теорема:
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math]

Тогда:

  1. [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество.
  2. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция.
  3. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Такая же схема, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному.

1) [math] E = [a, b] \times [c, d] [/math]

[math] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} [/math] — измеримо.

[math] \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} [/math]

Кусочно-постоянная функция на оси, суммируемая.

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E [/math]

Вместро замкнутого прямоугольника(???) можно было смотреть любой прямоугольник, в том числе ячейку.

2) [math] G [/math] — открытое множество, [math] \lambda G \lt + \infty [/math]

[math] G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) [/math] , по 1) [math] \Delta_n (x_1) [/math] — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо.

В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, [math] \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) [/math]

Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, [math] \lambda_1 [/math] измеримо по [math] x_1 [/math]

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = [/math] (т. Леви) [math] \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) [/math]

3) [math] E [/math] — множество типа [math] G_\delta [/math] (не более, чем счётное пересечение открытых множеств)

[math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math] ([math] E [/math] — измеримо)

По сигма-аддитивности, [math] \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)[/math]. [math]E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) [/math] — измеримо для любого [math] x_1 [/math]

[math] \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) [/math] — тоже измеримо(как предел измеримой функции).

По теореме Лебега о мажорируемой сходимости:

[math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 [/math].

[math] \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) [/math]

В том же духе TODO: УПРАЖНЕНИЕ!!!

4) [math] E [/math] — нульмерно.

[math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math]

5) [math] E [/math] — произведение измеримое O_O

[math] E = G \setminus K, E \subset G, G [/math] типа [math] G_\delta, K [/math] — нульмерно ([math] \lambda_2 K = 0 [/math]), что и требовалось доказать
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (следствие):
на [math] \mathbb R:\ y = f(x) \gt 0 [/math]. [math] G(f) [/math] — подграфик, измерим. Тогда [math] f [/math] — измерима.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] G(f) [/math] — измерима. Применяем теорему:

[math] E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] [/math].

По теореме, [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] — измеримо [math] = f(x_1) [/math] — значит, [math] f [/math] — измеримая функция.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Фубини):
Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R [/math] — измерима.

[math] \int\limits_E |f| d \lambda_2 \lt + \infty [/math] ([math] f [/math] — суммируема).

Тогда для почти всех [math] x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) [/math] будет суммируемой на [math] E(x_1) [/math] и [math] \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 [/math] (формула повторного интегрирования)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f = f_+ - f_- [/math], по линейности интеграла достаточно рассмотреть [math] f \ge 0 [/math].

Принцип Кавальери переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные)

[math] z = f(x, y) \ge 0 [/math]

[math] G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} [/math]

Соответствующий интеграл по [math] x, y [/math] есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями. // [math] 0yz [/math] o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может очуществляться через интеграл, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах(

TODO: УПРАЖНЕНИЕ!!!).
[math]\triangleleft[/math]