Условная вероятность

Определение

Пусть задано вероятностное пространство [math](\Omega, P)[/math].

Определение:

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется число [math]{P}(A \mid B) = [/math] [math]\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}[/math], где [math]A, B \subset \Omega[/math].

Замечания

• Если [math]{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
• Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

[math]{P}(A\cap B) = {P}(A \mid B) {P}(B)[/math].

• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция [math]{Q_B}[/math], заданная формулой

[math]{Q_B}(A) = {P}(A \mid B ) [/math],

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры:

1) [math]{Q_B}(\oslash)= 0[/math]

2) [math]{Q_B}(\Omega) = 1[/math]

3) [math]\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) \geq 0[/math]

4) Если события [math]A_1, A_2, ... A_n[/math] не пересекаются, то [math]{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)[/math]

Доказательства (будут под спойлерами):

1) [math]{Q_B}(\oslash) = \frac{P(\oslash \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 0[/math]

2) [math]{Q_B}(\Omega) = \sum\limits_{\omega \in \Omega}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \sum\limits_{\omega \in B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} + \sum\limits_{\omega \in \Omega \setminus B}^{}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} + \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 1[/math]

3) [math]\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq 0[/math], т. к. [math]P(A \cap B) \geq 0[/math] и [math]P(B) \geq 0[/math]

4) Пусть события [math]A_1, A_2, ... A_n[/math] не пересекаются. Тогда: [math]{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = \frac{P((A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B)}{P(B)} = \frac{P((A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B))}{P(B)} = [/math]

[math] = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B))}{P(B)} = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)[/math]

Пример

Пусть имеется 12 шариков, из которых 5 — чёрные, а 7 — белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от 1 до 5, а белые — от 6 до 12. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер.

Обозначим за [math]A[/math] событие "достали чёрный шар" и за [math]B[/math] событие "достали шар с чётным номером". Тогда [math]P(B) = \frac{1}{2}[/math], т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а [math]P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}[/math], т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.

Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна [math]{P}(A \mid B) = \frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)} = \frac{1}{3}[/math]

См. также

• Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
• Формула полной вероятности
• Формула Байеса

Источники

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность
• Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.