Для решения задачи переберем ширину $$$w$$$ чемодана и найдем по фиксированной ширине максимальную длину.
Будем делать это с помощью структуры данных очередь с максимумом, поддерживающей максимум среди всех элементов, находящихся в данный момент в ней. Заведем две таких очереди: $$$up$$$ и $$$down$$$, при этом в $$$up$$$ в любой момент времени будут хранится $$$w + 1$$$ (почему не $$$w$$$ будет объяснено позже) последовательных $$$a_i$$$, в $$$down$$$ — $$$b_i$$$. Эти очереди будут отвечать за отрезок ширины пещеры, покрытый нашим чемоданом.
Пусть сейчас чемодан занимает столбцы с $$$i$$$-го по $$$i + w$$$, при сдвиге чемодана вправо, следует перестать учитывать столбец $$$i$$$ и начать учитывать $$$i + w + 1$$$-й. Это легко поддерживать в очереди. Кроме того, в любой позиции, чемодан не может быть длиннее, чем $$$n - max(up) - max(down)$$$, где $$$max(up), max(down)$$$ - максимумы в очередях. Иначе чемодан будет пересекать стену пещеры в каком-то из столбцов.
Тогда $$$max$$$ - максимальная сумма $$$max(up) + max(down)$$$ на всех отрезках длины $$$w + 1$$$, и максимальной площадью чемодана для фиксированного $$$w$$$ будет $$$n - max$$$.
В очереди следует каждый раз хранить сведения о $$$w + 1$$$ подряд идущих столбцах, так как при сдвиге чемодана вправо и вниз или вверх, мы сначала двигаем вниз или вверх и важно, чтобы после такого сдвига чемодан не выходил за пределы стен пещеры. То есть важно, чтобы чемодан не пересекал пещеру как на отрезке $$$[i, ..., i + w - 1]$$$, так и на отрезке $$$[i + 1, ..., i + w]$$$.