Разработчик: Даниил Орешников

Переформулируем задачу. Есть $$$n$$$ блоков, у каждого есть выступ $$$b_i$$$ над основанием $$$a_i$$$. Поскольку блоки можно поворачивать, а надо разместить их как можно более плотно, очевидно, что имеет смысл рассматривать минимальную величину, на которую каждый блок будет увеличивать длину выступа. Таким образом, если в ответе будут $$$k$$$ блоков, то:

• если $$$k = 1$$$, то единственный блок вносит вклад в ответ $$$b_i$$$;
• иначе, центральные $$$k - 2$$$ из них будут вносить вклад $$$a_i$$$, а два крайних — $$$\min(b_i + c_i, a_i - c_i)$$$ (это $$$b_i$$$ плюс минимальное расстояние от выступа до края основания).

Собственно, обозначим за $$$d_i$$$ величину $$$\min(b_i + c_i, a_i - c_i)$$$, а также отдельно рассмотрим возможность ответа с $$$k = 1$$$.

Теперь проверим наличие ответа с $$$k > 1$$$. Для этого отсортируем все блоки по возрастанию $$$a_i$$$, и жадно выберем $$$t$$$ первых их них так, что $$$\sum\limits_{i=1}^t a_i \leq W$$$. Ключевое утверждение следующее:

1. Во-первых, ответ теперь гарантированно равен либо $$$t$$$ (уже нашли подходящий), либо $$$t + 1$$$, либо $$$t + 2$$$. Для $$$k = t + 3$$$ уже $$$t + 1$$$ центральный блок будут занимать больше места, чем доступная ширина $$$W$$$ (следует из того, как мы выбрали $$$t$$$).
2. Во-вторых, для фиксированного $$$k$$$ минимальные $$$k - 2$$$ по $$$a_i$$$ блоков гарантированно будут входить в ответ. Действительно, у нас есть $$$k - 2$$$ центральных блоков, которые дают вклад $$$a_i$$$ в ширину, и единственная причина не выбрать $$$k - 2$$$ минимальных по $$$a_i$$$ в качестве центральных — это если какой-то из них более выгодно располагается с краю (но тоже входит в ответ).

Дальше можно решать следующим образом: переберем $$$k$$$ от $$$t + 1$$$ до $$$t + 2$$$ (ответ для $$$k = t$$$ мы уже получили) и проверим, можно ли построить ответ с таким $$$k$$$. Для этого изначально расположим $$$k - 2$$$ минимальных по $$$a_i$$$ в центре, а затем переберем варианты выбора крайних блоков:

• либо центральные без изменений, тогда крайние — это два минимальных по $$$d_i$$$ из оставшихся;
• либо один из центральных надо переместить в край (тогда это минимальный по $$$d_i$$$ из центральных, а на его место в центр надо поместить минимальный по $$$a_i$$$ из оставшихся);
• либо надо сделать две замены аналогично предыдущему случаю.

Итого мы имеем $$$\mathcal{O}(1)$$$ вариантов, которые надо перебрать, и из них выбрать оптимальный. Здесь есть тонкости с разбором случаев, и если хотелось их избежать, можно было просто написать чуть более примитивный перебор: выбрать по два минимальных по $$$d_i$$$ из первых $$$k - 2$$$ по $$$a_i$$$ и из оставшихся $$$n - k + 2$$$, и перебрать шесть вариантов их расположения с краю; для каждого выбрать оставшиеся $$$k - 2$$$ центральных как минимальные по $$$a_i$$$ из оставшихся. Этого тоже было достаточно, чтобы уложиться в лимит по времени.