Автор задачи: Даниил Голов, разработчик: Павел Скобелин

Минимальное число поворотов равно $$$3n - 2$$$. Достаточно нарисовать картинку и попробовать нарисовать подходящий путь, чтобы убедиться в ответе, но распишем доказательство ниже.

Чтобы впервые попасть в $$$(i, i)$$$ из $$$(0, 0)$$$ для любого $$$i > 0$$$, нужна смена направления $$$\Rightarrow$$$ как минимум один раз. При этом для каждого перехода $$$i\to j$$$ неизбежны три поворота:

1. в $$$(i, i)$$$ полный разворот назад или же поворот, чтобы пойти в другую сторону;
2. в $$$(i, 0)$$$ или $$$(0, i)$$$: поворот на $$$90^\circ$$$;
3. в $$$(j, 0)$$$ или $$$(0, j)$$$: аналогично.

Итого $$$\ge 1 + 3(n-1) = 3n-2$$$. Маршрут $$$$$$(0,0)\to(1,0)\uparrow(1,1)\downarrow(1,0)\to(2,0)\uparrow(2,2)\downarrow\cdots\to(n,0)\uparrow(n,n)$$$$$$ дает ровно $$$3n-2$$$ поворотов.