Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Преобразование регулярного выражения в ДКА

2021-01-08T10:57:47Z

Наталья Юльцова: /* Источники информации */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. также==

* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]

* [[Детерминированные конечные автоматы]]

* [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона]]

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-08T10:53:49Z

Наталья Юльцова: /* Источники информации */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-08T10:45:11Z

Наталья Юльцова: /* Источники информации */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-08T10:43:39Z

Наталья Юльцова: /* См. Также */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:47:33Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:43:44Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:42:48Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|150px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:42:09Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|200px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
|}
Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:40:59Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|200px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]] [[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:40:32Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.
{| cellpadding="3"
|[[Файл:базис.png|100px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]] [[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]
|}

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:38:56Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

[[Файл:базис.png|100px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]] [[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T21:35:40Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|left|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T20:00:01Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:52:59Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:52:02Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex>
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:38:31Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. S строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. S строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:28:54Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:27:18Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i+1}} \ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:25:36Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|100px|thumb|right|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>R_(i+1)</tex>, пока <tex>R_(i+1) \ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:24:29Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование ДКА в регулярное выражение */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|80px|thumb|right|рис. 1. Автоматы, распознающие регулярные языки нулевого уровня a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>R_(i+1)</tex>, пока <tex>R_(i+1) \ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:23:41Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|80px|thumb|right|рис. 1. Автоматы, распознающие регулярные языки нулевого уровня a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>R_(i+1)</tex>, пока <tex>R_(i+1) \ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если <tex>L(S)</tex> - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при преобразовании <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Файл:Базис.png

2021-01-07T19:19:00Z

Наталья Юльцова:

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T19:18:32Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:базис.png|150px|thumb|right|рис. 1. Автоматы, распознающие регулярные языки нулевого уровня a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]
[[Файл:RegToAut.png|200px|thumb|right|рис. 2. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1. Далее строится выражение <tex>R_i+1</tex>, пока <tex>R_i+1 /ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Если L(S) - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при построении <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Если L(S) - язык ненулевого уровня, то необходимо повторить те же шаги, что и при построении <tex>R</tex>.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T18:51:19Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно спуститься вглубь выражения, доходя до нулевого уровня. Когда <tex>R_i</tex> содержит один символ, несложно построить автомат, распознающий <tex>L(R)</tex>. Далее строится выражение <tex>R_i+1</tex>, пока <tex>R_i+1 /ne R</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T18:44:49Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в НКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Рекурсивно идем вглубь выражения, пока не дойдем до нулевого уровня. Когда <tex>R_i</tex> содержит один символ, несложно построить автомат, распознающий <tex>L(R)</tex>. Далее необходимо построить выражение <tex>R_i+1</tex>:

# Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T17:33:52Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в ДКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. Индуктивный шаг преобразования регулярного выражения в НКА]]

Чтобы преобразовать регулярное выражение в НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярного выражения]] <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]] - <tex> \mathrm{R_{i+1}} = \mathrm{R_i} \cup \left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in \mathrm{R_i}\right\} </tex>.

Базис: <tex>R</tex> содержит один символ. В этом случае <tex>R</tex> имеет вид: <tex>\varepsilon</tex>, ∅ или <tex>a</tex>, где <tex>a ∈ Σ</tex>. Несложно построить автомат, распознающий <tex>L(R)</tex>.

Индукция: Пусть каждое регулярное выражение длины меньше <tex>k > 1</tex> соответствует некоторому регулярному языку. Рассматривается выражение <tex>R_k</tex> длины <tex>k</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1:

# Выражение имеет вид <tex>R|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-07T13:44:59Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в ДКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] с <tex>\varepsilon</tex>-переходами.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(<tex>|</tex>), конкатенации и [[Основные определения, связанные со строками#Формальные языки | замыкания Клини]](<tex>^*</tex>). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T20:36:46Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в ДКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построить]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(<tex>|</tex>), конкатенации и [[Основные определения, связанные со строками#Формальные языки | замыкания Клини]](<tex>^*</tex>). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T20:35:56Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(<tex>|</tex>), конкатенации и [[Основные определения, связанные со строками#Формальные языки | замыкания Клини]](<tex>^*</tex>). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T20:29:11Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(<tex>|</tex>), конкатенации и [[Основные определения, связанные со строками#Формальные языки | замыкания Клини]](<tex>^*</tex>). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T20:03:06Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(<tex>|</tex>), конкатенации и замыкания Клини(<tex>^*</tex>). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T20:01:56Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

В построении регулярных выражений используются константы(<tex>\varepsilon</tex> и ∅) и переменные для обозначения языков, и операторы для обозначения объединения(|), конкатенации и замыкания Клини(*). Регулярные выражения можно определить рекурсивно. Для каждого регулярного выражения <tex>E</tex> описывается представленный им язык, который обозначается через <tex>L(E)</tex>.

Чтобы преобразовать регулярное выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА, предполагается, что <tex>L = L(R)</tex> для регулярного выражения <tex>R</tex>. Построение проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>. Три части индукции представлены на рис. 1. Произведем разбиение данного регулярного выражения на подвыражения. Возможны четыре случая.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.
# Выражение имеет вид <tex>(R)</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Автомат для <tex>R</tex> может быть автоматом и для <tex>(R)</tex>, поскольку скобки не влияют на язык, задаваемый выражением.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:46:43Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование ДКА в регулярное выражение */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

==Преобразование ДКА в регулярное выражение==

===Алгебраический метод Бжозовского===

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:46:07Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в ДКА */

==Преобразование регулярного выражения в ДКА==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:43:06Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:41:03Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:40:35Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:39:51Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в \varepsilon-НКА. */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярное выражение]] в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:36:03Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]], нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-[[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]].
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:33:55Z

Наталья Юльцова: /* Источники информации */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

==Источники информации==

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:33:29Z

Наталья Юльцова: /* См. Также */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

==См. Также==

=Источники информации=

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:32:21Z

Наталья Юльцова: /* Алгебраический метод Бжозовского */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

=См. Также=

=Источники информации=

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:30:33Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование ДКА в регулярное выражение */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=

==Алгебраический метод Бжозовского==

При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем она решается для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавляется в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

=См. Также=

=Источники информации=

* ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E
* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:15:41Z

Наталья Юльцова: /* Пример */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:14:39Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентный ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:13:50Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентное ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:13:23Z

Наталья Юльцова: /* Алгоритм */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# Устранить [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание |<tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентное ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-05T17:12:31Z

Наталья Юльцова: /* Преобразование регулярного выражения в ДКА */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

Чтобы преобразовать регулярное выражение в ДКА, нужно:

# Преобразовать регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | Устранить <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим]] по НКА эквивалентное ДКА.

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

[[Файл:RegToAut.png|280px|thumb|right|рис. 1. "Виды выражений"]]

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.б.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения <tex>R</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 1.в.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-01T20:07:07Z

Наталья Юльцова: /* Пример */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

[[Файл:RegToAut.png|300px|thumb|right|рис. 1 "Виды выражений"]]

# Преобразуем регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | Устраним <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим по НКА эквивалентное ДКА по алгоритму Томпсона.]]

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.b.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения R. Используем автомат, представленный на рис. 1.c.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>

Участница:Наталья Юльцова

2021-01-01T20:06:28Z

Наталья Юльцова: /* Пример */

=Преобразование регулярного выражения в ДКА=

==Алгоритм==

[[Файл:RegToAut.png|300px|thumb|right|рис. 1 "Виды выражений"]]

# Преобразуем регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.
# [[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | Устраним <tex>\varepsilon</tex>-переходы.]]
# [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | Построим по НКА эквивалентное ДКА по алгоритму Томпсона.]]

===Преобразование регулярного выражения в <tex>\varepsilon</tex>-НКА.===

Рассмотрим подробнее как преобразуется регулярное выражение в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Автомат для выражения строится композицией из автоматов, соответствующих
подвыражениям.

Виды выражений:

# Данное выражение имеет вид <tex>R|S</tex> для некоторых подвыражений <tex>R</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 1.a.
# Выражение имеет вид <tex>RS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 1.b.
# Выражение имеет вид <tex>R^*</tex> для некоторого подвыражения R. Используем автомат, представленный на рис. 1.c.

===Пример===

Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА.

{| class = "wikitable"
!Регулярное выражение!!Автомат
|-align="center"
|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.
| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.
| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]] и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) | минимизируем ДКА]]
| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|250px|thumb]]
|-align="center"
|}

=Преобразование ДКА в регулярное выражение=
==Алгебраический метод Бжозовского==
Создадим систему регулярных выражений для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему для регулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанных с терминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим уравнения следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i</tex> уравнение <tex>R_i</tex> является объединением переходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i</tex> в <tex>q_j</tex> обозначим за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то добавим в <tex>R_i</tex> <tex>\ne \varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... \\
R_2 = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon \\
... \\
R_m = a_1*R_1 + a_2*R_2 + a_3*R_3 + ... + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

где <tex>a_x</tex> = ∅ если нет перехода от <tex>R_i</tex> к <tex>R_j</tex>.
Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, где <tex>P \ne \varepsilon</tex>, имеет решение <tex>R = QP^*</tex>.

===Пример===

[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]]

Найти: Регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

Решение:

<tex>
\begin{cases}
R_1 = b*R_2 + a*R_3 + \varepsilon \\
R_2 = a*R_1 \\
R_3 = b*R_1 \\
R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon
\end{cases}
</tex>

Рассмотрим первое терминальное состояние:

<tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex>

Воспользуемся теоремой Ардена:

<tex>R_1=(ab+ba)^*</tex>

Рассмотрим второе терминальное состояние :

<tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex>

Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражение:

<tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex>