Отображения

2014-01-05T19:06:58Z

Роман: пунктуация

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Лекция от 13 сентября 2010 года.

== Определение ==

{{Определение | definition =
Закон (правило) f, посредством которого каждому <tex>a \in A</tex> сопоставляется единственный <tex>b \in B</tex>, называют '''отображением'''.
Обычно это записывают так: <tex> b = f(a) </tex>.
}}

Формы записи:

<tex> f: A \rightarrow B </tex> {{---}} отображение из <tex>A</tex> в <tex>B</tex>.

{{Определение | definition =
Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.
}}

Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

== Связанные понятия ==

Пусть:
: <tex> f : A \rightarrow B </tex>
: <tex> C \subset A </tex>
: <tex> g : C \rightarrow B </tex>
: <tex> \forall c \in C : g(c) = f(c) </tex>

Тогда, g {{---}} ''сужение'' f на C, <tex> g = f \big|_C </tex>

<tex> A = D(f) </tex> {{---}} ''область определения'' f

<tex> R(f) = \{ b | b = f(a), a \in A \} </tex> {{---}} ''область значений'' f

<tex> C \subset A ; f(C) = \{f(a)| a \in C \} </tex> {{---}} ''образ'' множества C при отображении f

<tex> D \subset B ; f^{-1}(D) = \{ a| a \in A, f(a) \in D \} </tex> {{---}} ''прообраз'' множества D при отображении f

{{Определение | definition =
Отображение <tex>f^{-1}: B \rightarrow A</tex> называется обратным отображением для f.
}}

<tex> f(f^{-1}(a)) = a; \\
f^{-1}(f(b)) = b;
</tex>

Термины "прямое" и "обратное" отображения взаимны.

== Свойства отображений ==

'''Инъективное''' отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:
: <tex> \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) </tex>

'''Сюръективное''' отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:
: <tex> \forall b \in B: \exists a : b = f(a) </tex>

'''Биективное''' отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

== См. также ==
*[[Множества]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Отображения