Аксиоматизация матроида циклами

2017-12-13T10:16:37Z

109.172.15.3: typo fix

{{Теорема
|about=
Аксиоматизация матроида циклами
|statement=
Пусть <tex>\mathfrak C</tex> {{---}} семейство подмножеств конечного непустого множества <tex>E</tex> такое, что:
# <tex>\varnothing \notin \mathfrak C</tex>
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak C</tex> и <tex>C_1 \ne C_2</tex>, то <tex>C_1 \nsubseteq C_2</tex> и <tex>C_2 \nsubseteq C_1</tex>.
# Если <tex>C_1, C_2 \in \mathfrak C, C_1 \ne C_2</tex> и <tex>p \in C_1 \cap C_2</tex>, то существует <tex>C \in \mathfrak C</tex> такой, что <tex>C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p</tex>.
Тогда семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с [[Теорема о циклах|семейством циклов]] однозначно определенного [[Определение матроида|матроида]] на <tex>E</tex>.
|proof=
Пусть семейство <tex>\mathfrak C</tex> удовлетворяет условию теоремы. Множество <tex>I \subseteq E</tex> назовем <tex>\mathfrak C</tex>-независимым, если оно не содержит ни одного из множеств <tex>C \in \mathfrak C</tex>. Через <tex>\mathfrak I</tex> обозначим семейство всех <tex>\mathfrak C</teX>-независимых множеств, подмножеств <tex>E</tex>. Проверим, что семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет [[Определение матроида|аксиомам из определения матроида]].

Поскольку <tex>\varnothing \notin \mathfrak C</tex>, имеем <tex>\varnothing \in \mathfrak I</tex>, и первая аксиома, очевидно, выполняется.

Очевидно, что если <tex>A \in \mathfrak I</tex> и <tex>B \subset A</tex> то <tex>B \in \mathfrak I</tex>, и, следовательно, вторая аксиома выполнена.

Проверим справедливость третьей аксиомы для семейства <tex>\mathfrak I</tex>. Предположим, что существуют множества <tex>I, J \in \mathfrak I</tex> такие, что <tex>|I|<|J|</tex>, для которых третья аксиома не выполнена. Среди всех таких пар <tex>I, J</tex> выберем ту, у которой мощность <tex>|I \cup J|</tex> минимальна. Положим <tex>J \setminus I = \{p_1,...,p_t\}</tex>. Если <tex>t = 1</tex>, то, очевидно, <tex>I \subset J</tex> и аксиома выполняется. Поэтому достаточно рассмотреть <tex>t \ge 2</tex>.

В силу нашего предположения <tex>I \cup p_i \notin \mathfrak I</tex> для любого <tex>i \in \{1,...,t\}</tex>. Следовательно, существует <tex>C_i \in \mathfrak C</tex> такое, что <tex>C_i \subseteq I \cup p_i</tex> и в силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости множества <tex>I</tex> имеем <tex>p_i \in C_i</tex> для любого <tex>i \in \{1,...,t\}</tex>. Ясно, что множества <tex>C_1,...,C_t</tex> попарно различны.

Рассмотрим множество <tex>C_1.</tex> Для него верно <tex>p_1 \in C_1 \subseteq I \cup p_1.</tex> В силу <tex>\mathfrak C</tex>-независимости <tex>J</tex> существует <tex>q_1 \in I \setminus J</tex> такой, что <tex>q_1 \in C_1.</tex> Рассмотрим теперь множество <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1.</tex>

Если <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \notin \mathfrak I</tex>, то существует <tex>C' \in \mathfrak C</tex>, для которого существует такое <tex>C'' \in \mathfrak C,</tex> что <tex>C'' \subseteq (C_1 \cup C') \setminus p_1 \subseteq I.</tex> Пришли к противоречию с условием <tex>I \in \mathfrak I.</tex>

Пусть <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \in \mathfrak I</tex>. Заметим, что <tex>|((I \setminus q_1) \cup p_1) \cup J| < |I \cup J|</tex>. Поэтому в силу выбора пары <tex>I, J</tex> для пары <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1, J</tex> существует элемент <tex>p_j</tex>, где <tex>j \ge 2</tex>, такой, что <tex>(I \setminus q_1) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>. Возьмем множество <tex>C_j \in \mathfrak C</tex>. Для него выполняется <tex>p_j \in C_j \subseteq I \cup p_j.</tex> Если <tex>q_1 \notin C_j</tex>, то <tex>C_j \subseteq (I \setminus q_1) \cup p_j \subseteq (I \setminus q1) \cup p_1 \cup p_j</tex>, что невозможно. Следовательно, <tex>q_1 \in C_j \cap C_1</tex> и <tex>C_j \ne C_1</tex>. Тогда по 3 пункуту теоремы, существует <tex>C \in \mathfrak C</tex>, для которого <tex>C \subseteq (C_j \cup C_1) \setminus q_1 \subseteq (C_j \setminus q_1) \cup (C_1 \setminus q_1) \subseteq ((I \setminus q_1) \cup p_j) \cup ((I \setminus q_1) \cup p_1)</tex>, которое равно <tex>(I \setminus q_10) \cup p_1 \cup p_j \in \mathfrak I</tex>, что невозможно.

Итак, семейство <tex>\mathfrak I</tex> удовлетворяет аксиомам матроида. Следовательно, существует матроид <tex>M</tex> на множестве <tex>E</tex>, для которого семейство <tex>\mathfrak I</tex> является семейством независимых множеств. Из определения <tex>\mathfrak C</tex>-независимости легко следует, что семейство <tex>\mathfrak C</tex> совпадает с множеством циклов матроида <tex>M</tex>

Докажем, что матроид <tex>M</tex> определен однозначно. Пусть есть два матроида <tex>M_1 \neq M_2</tex> с носителем <tex>E</tex>, семейством циклов <tex>\mathfrak C</tex> и [[Аксиоматизация матроида базами|множествами баз]] <tex>B_1, B_2</tex> соответственно. Не ограничивая общности можно считать, что существует <tex>A \in B_1, A \notin B_2</tex>. Тогда для всех <tex>e \in E, e \notin A: (A \cup e) = C \in \mathfrak C</tex>, но <tex>\mathfrak C</tex> {{---}} семейство циклов <tex>M_2</tex>, следовательно для всех <tex>p \in C</tex> выполнено <tex>(C \setminus p) \in B_2</tex>, что невозможно.
}}

== Источники информации ==
* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Аксиоматизация матроида циклами