Определение ряда Фурье

2012-06-29T17:47:04Z

109.188.171.176: Отмена правки 27171 участника Sementry (обсуждение)

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]

== L_p ==

{{Определение
|definition = <tex> L_p, (p \ge 1) </tex> {{---}} совокупность <tex> 2\pi </tex>-периодических функций, суммируемых с <tex> p </tex>-й степенью на промежутке <tex> Q = [-\pi, \pi] </tex>.

То есть,
<tex>L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p < +\infty \} </tex>.

}}

{{Определение
|definition = Систему функций <tex> 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex> называют '''тригонометрической системой функций'''.
}}
Каждая из этих функций ограниченная, <tex> 2\pi </tex>-периодическая, следовательно, все функции принадлежат <tex>L_p</tex>.

Заметим, что, из-за <tex> 2\pi </tex>-периодичности, <tex> \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 </tex>.

{{Утверждение
|statement=
При <tex> n \ne m </tex> :
<tex> \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0</tex>,
<tex> \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi </tex>.
|proof=
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как <tex> \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) </tex>.

Или так: например, первое равно <tex dpi = "180">\int \cos nx \sin mx dx = -\frac{n sin(nx) sin(mx) + m cos(nx) cos(mx)}{m^2 - n^2}</tex>, остальные аналогичны
}}

{{Определение
|definition = '''Тригонометрическим рядом''' называется ряд:
<tex>\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)</tex>.
Если, начиная с какого-то места, <tex> c_n = d_n = 0 </tex>, то соответствующая сумма называется '''тригонометрическим полиномом'''.
}}

'''Замечание''' (предел в пространстве <tex>L_1</tex>): если <tex>f_n, f \in L_1</tex>, то
<tex>
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть тригонометрический ряд <tex> \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) </tex> сходится в <tex> L_1 </tex> и имеет суммой функцию <tex> f </tex>. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:

<tex> a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx </tex>.
|proof=

Формула для <tex> a_0 </tex> очевидна.

Пусть <tex> S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) </tex>.

По условию, <tex> \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 </tex>. Зафиксируем некоторое натуральное <tex> p </tex>:

<tex> | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>.

Значит, <tex> \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 </tex>.

Если <tex> n > p </tex>, то <tex> \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p </tex>.

Значит, <tex> \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p </tex>.

Аналогично доказывается формула для <tex> b_p </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Пусть функция <tex> f \in L_1 </tex>. '''Ряд Фурье''' <tex> f </tex> — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.
}}

Колмогоров построил пример суммируемой <tex> 2\pi </tex>-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные <tex> L_p </tex>-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из <tex> L_2 </tex> (а такие функции автоматически <tex>\in L_1</tex>) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является <tex> 2T </tex>-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет <tex> 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)</tex>.

Пусть <tex> f(x) </tex> определена и суммируема на <tex> [0; a] </tex>. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как четную функцию. Тогда <tex> a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 </tex>, ряд Фурье выглядит как <tex> \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> T = a </tex>, на <tex> [-a; 0] </tex> продолжаем <tex> f </tex> как нечетную функцию. В этом случае <tex> a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx </tex>, ряд Фурье имеет вид <tex> \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx </tex>.
# <tex> 2T = a </tex>, здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если <tex> f </tex> задана на <tex> [0; a] </tex>, то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.

[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Определение ряда Фурье