Сортировка Хана

2012-06-11T06:08:12Z

109.188.215.38: автор либо весьма упоролся, либо не знал о \{, \}

'''Сортировка Хана (Yijie Han)''' {{---}} сложный алгоритм сортировки целых чисел со сложностью <tex>O(n \log\log n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки.

== Алгоритм ==
Алгоритм построен на основе экспоненциального поискового дерева (далее {{---}} Э.П.дерево) Андерсона (Andersson's exponential search tree). Сортировка происходит за счет вставки целых чисел в Э.П.дерево.

== Andersson's exponential search tree ==
Э.П.дерево с <tex>n</tex> листьями состоит из корня <tex>r</tex> и <tex>n^e</tex> (0<<tex>e</tex><1) Э.П.поддеревьев, в каждом из которых <tex>n^{1 - e}</tex> листьев; каждое Э.П.поддерево является сыном корня <tex>r</tex>. В этом дереве <tex>O(n \log\log n)</tex> уровней. При нарушении баланса дерева, необходимо балансирование, которое требует <tex>O(n \log\log n)</tex> времени при <tex>n</tex> вставленных целых числах. Такое время достигается за счет вставки чисел группами, а не по одиночке, как изначально предлагает Андерссон.

==Необходимая информация==
{{Определение
|id=def1.
|definition=
Контейнер {{---}} объект определенного типа, содержащий обрабатываемый элемент. Например __int32, __int64, и т.д.
}}
{{Определение
|id=def2.
|definition=
Алгоритм сортирующий <tex>n</tex> целых чисел из множества <tex>\{0, 1, \ldots, m - 1\}</tex> называется консервативным, если длина контейнера (число бит в контейнере), является <tex>O(\log(m + n))</tex>. Если длина больше, то алгоритм не консервативный.
}}
{{Определение
|id=def3.
|definition=
Для множества <tex>S</tex> определим
min(<tex>S</tex>) = min(<tex>a</tex>:<tex>a</tex> принадлежит <tex>S</tex>)
max(<tex>S</tex>) = max(<tex>a</tex>:<tex>a</tex> принадлежит <tex>S</tex>)
Набор <tex>S1</tex> < <tex>S2</tex> если max(<tex>S1</tex>) <= min(<tex>S2</tex>)
}}

==Уменьшение числа бит в числах==
Один из способов ускорить сортировку {{---}} уменьшить число бит в числе. Один из способов уменьшить число бит в числе {{---}} использовать деление пополам (эту идею впервые подал van Emde Boas). Деление пополам заключается в том, что количество оставшихся бит в числе уменьшается в 2 раза. Это быстрый способ, требующий <tex>O(m)</tex> памяти. Для своего дерева Андерссон использует хеширование, что позволяет сократить количество памяти до <tex>O(n)</tex>. Для того, чтобы еще ускорить алгоритм нам необходимо упаковать несколько чисел в один контейнер, чтобы затем за константное количество шагов произвести хэширование для всех чисел хранимых в контейнере. Для этого используется хэш функция для хэширования <tex>n</tex> чисел в таблицу размера <tex>O(n^2)</tex> за константное время, без коллизий. Для этого используется хэш модифицированная функция авторства: Dierzfelbinger и Raman.

Алгоритм: Пусть целое число <tex>b >= 0</tex> и пусть <tex>U = \{0, \ldots, 2^b - 1\}</tex>. Класс <tex>H_{b,s}</tex> хэш функций из <tex>U</tex> в <tex>\{0, \ldots, 2^s - 1\}</tex> определен как <tex>H_{b,s} = \{h_{a} \mid 0 < a < 2^b, a \equiv 1 (\mod 2)\}</tex> и для всех <tex>x</tex> из <tex>U: h_{a}(x) = (ax \mod 2^b) div 2^{b - s}</tex>.

Данный алгоритм базируется на следующей лемме:
{{Лемма
|id=lemma1.
|statement=
Даны целые числа <tex>b</tex> >= <tex>s</tex> >= 0 и <tex>T</tex> является подмножеством {0, ..., <tex>2^b</tex> - 1}, содержащим <tex>n</tex> элементов, и <tex>t</tex> >= <tex>2^{-s + 1}</tex>С<tex>^k_{n}</tex>. Функция <tex>h_{a}</tex> принадлежащая <tex>H_{b,s}</tex> может быть выбрана за время <tex>O(bn^2)</tex> так, что количество коллизий <tex>coll(h_{a}, T) <= t</tex>
}}

Взяв <tex>s = 2logn</tex> мы получим хэш функцию <tex>h_{a}</tex> которая захэширует <tex>n</tex> чисел из <tex>U</tex> в таблицу размера <tex>O(n^2)</tex> без коллизий. Очевидно, что <tex>h_{a}(x)</tex> может быть посчитана для любого <tex>x</tex> за константное время. Если мы упакуем несколько чисел в один контейнер так, что они разделены несколькими битами нулей, мы спокойно сможем применить <tex>h_{a}</tex> ко всему контейнеру, а в результате все хэш значения для всех чисел в контейере были посчитаны. Заметим, что это возможно только потому, что в вычисление хэш знчения вовлечены только (mod <tex>2^b</tex>) и (div <tex>2^{b - s}</tex>).

Такая хэш функция может быть найдена за <tex>O(n^3)</tex>.

Следует отметить, что несмотря на размер таблицы <tex>O(n^2)</tex>, потребность в памяти не превышает <tex>O(n)</tex> потому, что хэширование используется только для уменьшения количества бит в числе.

==Signature sorting==
В данной сортировке используется следующий алгоритм:

Предположим, что <tex>n</tex> чисел должны быть сортированы, и в каждом <tex>logm</tex> бит. Мы рассматриваем, что в каждом числе есть <tex>h</tex> сегментов, в каждом из которых <tex>log(m/h)</tex> бит. Теперь мы применяем хэширование ко всем сегментам и получаем <tex>2hlogn</tex> бит хэшированных значений для каждого числа. После сортировки на хэшированных значениях для всех начальных чисел начальная задача по сортировке <tex>n</tex> чисел по <tex>m</tex> бит в каждом стала задачей по сортировке <tex>n</tex> чисел по <tex>log(m/h)</tex> бит в каждом.

Так же, рассмотрим проблему последующего разделения. Пусть <tex>a_{1}</tex>, <tex>a_{2}</tex>, ..., <tex>a_{p}</tex> {{---}} <tex>p</tex> чисел и <tex>S</tex> {{---}} множество чисeл. Мы хотим разделить <tex>S</tex> в <tex>p + 1</tex> наборов таких, что: <tex>S_{0}</tex> < {<tex>a_{1}</tex>} < <tex>S_{1}</tex> < {<tex>a_{2}</tex>} < ... < {<tex>a_{p}</tex>} < <tex>S_{p}</tex>. Т.к. мы используем signature sorting, до того как делать вышеописанное разделение, мы поделим биты в <tex>a_{i}</tex> на <tex>h</tex> сегментов и возьмем некоторые из них. Мы так же поделим биты для каждого числа из <tex>S</tex> и оставим только один в каждом числе. По существу для каждого <tex>a_{i}</tex> мы возьмем все <tex>h</tex> сегментов. Если соответствующие сегменты <tex>a_{i}</tex> и <tex>a_{j}</tex> совпадают, то нам понадобится только один. Сегменты, которые мы берем для числа в <tex>S</tex>, {{---}} сегмент, который "вылетает" из <tex>a_{i}</tex>. Таким образом мы преобразуем начальную задачу о разделении <tex>n</tex> чисел в <tex>logm</tex> бит в несколько задач на разделение с числами в <tex>log(m/h)</tex> бит.

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка Хана