Участник:Yulya3102/Матан3сем

2013-01-02T17:47:27Z

109.205.253.22: /* Равномерно сходящийся ряд */

== Основные вопросы ==
=== Список ===
Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование ``произведений''

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании ``сдвига''

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

=== Признак Вейерштрасса ===
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
=== Теорема о перестановке пределов ===
https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Z1SfYaV1tPAJ:g106.pi17.com/manuals/matan_s3/11_141008_alpha_01.pdf+&hl=ru&pid=bl&srcid=ADGEESh22ESr2QFuJhr4XfkACzo9mAimVz8RbDC6vQ-Gp0b66Ecr17N7x9qblJMcsv5REr2iUU6iTLgH2kac75FJ1ueEcTEom339HMM3TdYnsm_tB3NjTpZQOc5RBH3y00Nzl4AsfByx&sig=AHIEtbTuvWPiEZpTrWkf4edHXYEQnDUY1w

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
http://mipt1.ru/file.php?f=2_matan&id=38

=== Метод суммирования Абеля ===
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/12/%D0%90%D0%91%D0%95%D0%9B%D0%AF
http://ru.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%E2%80%A6#.D0.A1.D1.83.D0.BC.D0.BC.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D0.BE_.D0.90.D0.B1.D0.B5.D0.BB.D1.8E

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
=== Достаточное условие дифференцируемости ===
=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
=== Дифференцирование композиции ===
=== Дифференцирование «произведений» ===
=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
=== Экстремальное свойство градиента ===
=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
=== Полиномиальная формула ===
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
=== Теорема Лагранжа для отображений ===
=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
=== Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах ===
=== Достаточное условие экстремума ===
=== Лемма о почти локальной инъективности ===
=== Теорема о сохранении области ===
=== Теорема о диффеоморфизме ===
=== Теорема о локальной обратимости ===
=== Теорема о неявном отображении ===
=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===

== Определения и факты ==
=== Список ===
Равномерно сходящийся ряд

Признак Абеля равномерной сходимости

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Отображение бесконечно малое в точке

$o(h)$ при $h\to 0$

Частные производные

Производная по вектору, по направлению

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Классы функций $C^k(E)$

Мультииндекс и обозначения с ним

Формула Тейлора (различные виды записи)

$n$-й дифференциал

Норма линейного оператора

Локальный максимум, минимум, экстремум

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

=== Равномерно сходящийся ряд ===
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4568/%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A0%D0%9D%D0%9E

=== Признак Абеля равномерной сходимости ===
=== Радиус сходимости степенного ряда ===
=== Формула Адамара ===
=== Комплексная производная ===
=== Экспонента синус и косинус комплексной переменной ===
=== Отображение бесконечно малое в точке ===
=== o(h) при h->0 ===
=== Дифференцируемое отображение ===
//<tex>\operatorname{Int} D</tex> — множество внутренних точек (внутренность) множества D.

//<tex>\mathcal{L}(X\to Y)</tex> — множество линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>.

//<tex>\mathbb{O}_n</tex> — ???

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex>, что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''', '''производным отображением''' или, короче, '''производной''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>f'(x)</tex>.
}}

=== Производный оператор ===
<tex>V_{\mathbb{O}_n}</tex> — ???
{{Определение
|definition=
Если существует такой линейный оператор <tex>A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)</tex> и такое отображение <tex>\alpha:V_{\mathbb{O}_n}\to\mathbb{R}^m</tex>, в нуле непрерывное и равное нулю, что

<tex>f(x+h)=f(x)+Ah+\alpha(h)|h|</tex>,

то отображение <tex>f</tex> называется '''дифференцируемым''' в точке <tex>x</tex>. При этом оператор <tex>A</tex> называется '''производным оператором''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Матрица Якоби ===
{{Определение
|definition=Пусть отображение <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</tex> дифференцируемо в точке <tex>x\in\operatorname{Int} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x)</tex> называется '''матрицей Якоби''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}

=== Дифференциал отображения ===
{{Определение
|definition=
Величина <tex>f'(x)h</tex> называется '''дифференциалом''' отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex>, соответствующим приращению <tex>h</tex>, и обозначается <tex>df(x,h)</tex> или <tex>d_x f(h)</tex>.
}}

=== Частные производные ===
=== Производная по вектору, по направлению ===
=== Градиент ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D</tex>. Если существует такой вектор <tex>a\in\mathbb{R}^n</tex>, что <tex>f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>x</tex>.

Вектор-строка <tex>a</tex> называется '''градиентом''' функции <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> и обозначается <tex>\operatorname{grad} f(x)</tex> или <tex>\nabla f(x)</tex>. Символ <tex>\nabla</tex> называется '''символом''' или '''оператором Гамильтона'''.
}}

=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ===
=== Классы функций $C^k(E)$ ===
=== Мультииндекс и обозначения с ним ===
=== Формула Тейлора (различные виды записи) ===
=== $n$-й дифференциал ===
=== Норма линейного оператора ===
=== Локальный максимум, минимум, экстремум ===
=== Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма ===
=== Диффеоморфизм ===
=== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ===
=== Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Участник:Yulya3102/Матан3сем