Положительные ряды

2012-05-24T16:25:54Z

128.72.15.132: /* Критерий Коши */

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

== Определение ==
{{Определение
|definition=
Если <tex>a_n \geq 0</tex>, то ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_n</tex> называют положительным.
}}

Например, <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac1n</tex> {{---}} положительный ряд. Он называется гармоническим.

Так как <tex>S_{n + 1} = S_n + a_{n + 1}</tex>, <tex>a_{n + 1} \geq 0</tex>, то <tex>S_n</tex> возрастает. Отсюда вытекает вся прелесть положительных рядов, ибо вопрос сходимости решается теоремой Вейерштрасса о существовании предела монотонной последовательности: «Положительный ряд сходится <tex>\iff</tex> <tex>S_n</tex> ограничены сверху».

== Принцип сравнения рядов ==

Применением этого критерия является так называемый принцип сравнения рядов.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> и <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex> {{---}} положительные ряды. Тогда:
# <tex>a_n \leq b_n</tex>, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty b_k </tex> сходится <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.
# <tex>\frac{b_n}{a_n} \to q</tex>, <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \equiv \sum\limits_{k=1}^\infty b_k</tex>.
|proof=
1. <tex>a_n \leq b_n \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty b_k</tex>.

Так как ряд <tex>\sum b_n</tex> сходится, то, по теореме Вейерштрасса, сумма <tex>b_k</tex> ограничена каким-то числом <tex>B</tex>. А тогда,

<tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \leq B</tex>.

Значит, <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> сходится.

2. <tex>q \ne 0</tex>, <tex>q \ne \infty</tex>, <tex>a_n \geq 0</tex>, <tex>b_n \geq 0</tex> <tex> \Rightarrow </tex> <tex>q > 0</tex>.

Подставим в определение предела <tex>\varepsilon = \frac q2</tex>: <tex>\exists N\ \forall n > N: \ q - \varepsilon < \frac{b_n}{a_n} < q + \varepsilon</tex>

Домножим на большее нуля <tex>a_n</tex>:

<tex>\frac q2 a_n < b_n < \frac{3q}2 a_n</tex>.

Ряды мажорируют друг друга. Значит, по пункту 1, они равносходятся.
}}

== Критерий Коши ==

Важный случай возникает, если в положительном ряде слагаемые убывают: <tex>a_n \geq a_{n + 1}</tex>. В этой ситуации можно высказать более тонкий критерий сходимости ряда (критерий Коши):

{{Утверждение
|statement=
Пусть дан положительный убывающий ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty 2^k a_{2^k}</tex>
|proof=
<tex>S_{2^n} = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) + \ldots + (a_{2^{n - 1} + 1} + \ldots + a_{2^n})</tex>

В силу убывания последовательности <tex>a</tex>, внутри скобки самым большим является первое слагаемое, а самым маленьким {{---}} последнее.

Тогда <tex>S_{2^n} \geq 2a_2 + 2a_4 + 4a_8 + \ldots + 2^{n - 1}a_{2^n}</tex>.

Если сумму справа домножить на <tex>2</tex>, получим исследуемую сумму. Значит, из сходимости <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty 2^k a_{2^k}</tex> следует сходимость <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex>.

Теперь оценим <tex>S_{2^n}</tex> сверху. Если оставлять первые слагаемые, и ещё больше увеличить сумму, брав предыдущее к ним, получим:

<tex>S_{2^n} \leq 2a_1 + 2a_2 + 4a_4 + \ldots + 2^{n - 1}a_{2^{n - 1}}</tex>

Из этого получаем обратное следствие
}}

Применим этот критерий для исследования ряда <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac1{n^p}</tex>, <tex>p > 0</tex>.

При <tex>p = 1</tex> получаем гармонический ряд.

<tex>a_n = \frac1{n^p}</tex> убывает.

<tex>2^na_{2^n} = 2^n \frac1{2^{np}} = \left(\frac1{2^{p - 1}}\right)^n</tex>.

<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty 2^n a_{2^n} =</tex> <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty \left(\frac1{2^{p-1}}\right)^n =</tex> <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty q^n</tex>

По формуле суммы геометрицеской прогрессии,
<tex>S_n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}</tex>

Значит, (<tex>S_n</tex> сходится <tex>\iff</tex> <tex>q^{n + 1} \to 0</tex>) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>q \in (0; 1)</tex>.

В частности, гармонический ряд расходится.

== Сравнение ряда с геометрической прогрессией (признак Даламбера и радикальный признак Коши)==

На основе сравнения рядов можно получать принципы их сходимости, то есть теоремы, в которых формируется условие на поведение слагаемых ряда, гарантирующих его сходимость.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} положительный ряд.
# Если <tex>\frac{a_{n + 1}}{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q</tex>, то при <tex>q < 1</tex> ряд сходится, при <tex>q > 1</tex> ряд расходится, при <tex>q = 1</tex> возможны оба варианта.(признак Даламбера)
# Пусть <tex>\sqrt[n]{a_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} q</tex>. Тогда выполняются такие же соотношения, что и в пункте 1.(Радикальный признак Коши)
|proof=
Будем руководствоваться тем, что поведение конечного числа слагаемых не влияет на сходимость ряда.

1.1. <tex>q < 1</tex>. <tex>\exists \varepsilon_0:\ q + \varepsilon_0 < 1</tex>

По определению предела <tex>\exists N\ \forall n > N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n} < q + \varepsilon_0</tex>

Выпишем эти неравенства с <tex>n \in [N; m]</tex> и перемножим их:

<tex>\frac{a_{m + 1}}{a_N} < (q + \varepsilon_0)^{m - N + 1}</tex>.

<tex>a_m < a_N (q + \varepsilon_0)^{-N} (q + \varepsilon_0)^m</tex>

Значит, интересующий нас ряд мажорируется бесконечной убывающей прогрессией. Значит, по правилу сравнения, он сходится

1.2. <tex>q > 1</tex>. <tex>\exists \varepsilon_0:\ q - \varepsilon_0 > 1</tex>.

<tex>\exists N\ \forall n > N:\ \frac{a_{n + 1}}{a_n} > q - \varepsilon_0 > 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>a_{n + 1} > a_n)</tex>

Последовательность возрастает. Ряд расходится.

2. Полностью копирует пункт 1.

<tex>q < 1:\ \exists N\ \forall n>N:\ \sqrt[n]{a_n} < q + \varepsilon_0 < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>a_n < (q + \varepsilon_0)^n</tex>.

Ряд мажорируется бесконечной убывающей прогресией.
}}

== Интегральный признак Коши ==

{{Утверждение
|statement=
Пусть при <tex>x \geq 1</tex> определена функция <tex>y = f(x)</tex>, <tex>y</tex> убывает, <tex>y \geq 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)</tex>.
|proof=
Пусть <tex>x \in [n; n + 1]</tex>. Тогда, в силу убывания функции, <tex>f(n) \geq f(x) \geq f(n + 1)</tex>. Так как функция убывает, определённый интеграл существует. Проинтегрируем и воспользуемся тем, что <tex>\Delta x_k = 1</tex>:

<tex>f(n) \geq \int\limits_n^{n+1}f(x) dx \geq f(n + 1)</tex>.

Просуммируем начиная с <tex>n = 1</tex>.

<tex>\sum\limits_{k = 1}^n f(k) \geq \int\limits_1^{n + 1} f(x) dx \geq \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} f(k)</tex>

Сходимость несобственного интеграла с положительной функцией определяется теоремой Вейерштрасса о монотонности функции, всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^A f(x) dx</tex>, но по <tex>A</tex> они возрастают <tex>\Rightarrow</tex> всё сводится к ограниченности <tex>\int\limits_1^{n + 1}</tex>. Но установленное неравенство показывает, что их ограниченность равносильна ограниченности частичных сумм <tex>f(k)</tex>. Значит, ряд и интеграл равносходятся.
}}

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac1{n \ln n}</tex>. <tex>f(x) = \frac1{x \ln x}</tex>

<tex>\int f(x) = \int \frac1{\ln n} d \ln x = \ln \ln x</tex>

Значит, по интегральному признаку Коши, даже добавление логарифма в знаменатель не помогло гармоническому ряду стать сходящимся. И ничто ему не поможет!

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Положительные ряды