Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Минимальная охватывающая окружность множества точек

2021-01-10T21:28:46Z

138.68.105.35: опечатка

{{ready}}
== Описание ==
Минимальная охватывающая окружность множества точек (smallest enclosing disc) - это задача, в которой необходимо по заданному набору точек найти окружность минимального радиуса, которая содержит все точки множества.

==Алгоритм ==
Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана.

Рассмотрим метод <tex> MinDisc </tex>, который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдокодом:

MinDisc(S)
Let P - random permutation of S
Let D2 - be the smallest enclosing disc for {p1, p2}.
for i = 3 to n {
if pi <tex> \in </tex> Di−1 then Di = Di−1 // point is inside. nothing to do here
else Di = MinDiscWithPoint ({p1,...,pi−1}, pi) // point is lying on the boundary of minimal circle
}
return Dn

Как вы заметили, мы использовали выше метод <tex> MinDiscWithPoint </tex> - это метод, который по множеству точек и еще одной точке возвращают искомую окружность. При этом выделенная точка (которая передается в качестве второго аргумента) ''обязательно'' лежит ''на'' окружности. Эта функция очень похожа на предыдущую, поэтому приведу лишь ее псевдокод:

MinDiscWithPoint(S, q)
Let P - random permutation of S
Let D1 - be the smallest enclosing disc for {p1, q}.
for i = 2 to n {
if pi <tex> \in </tex> Di−1 then Di = Di−1
else Di = MinDiscWith2Points ({p1,...,pi−1}, pi, q)
}
return Dn

Как и в предыдущем случае мы использовали новый метод. <tex> MinDiscWith2Points </tex> аналогичен <tex> MinDiscWithPoint </tex>, но в нем уже передается две точки, которые будут лежать на построенной окружности. В этой функции шафлить инпут не требуется. Опишем его псевдоком:

MinDiscWith2Points(P, q1, q2)
Let D0 - be the smallest enclosing disc for {q1, q2}.
for i = 1 to n {
if pi <tex> \in </tex> Di−1 then Di = Di−1
else Di = сircumcircle (прим. описанная окружность) of a triangle {pi, q1, q2}
}
return Dn

Как мы видим больше подобных шагов делать не нужно, так как если известно, что три точки лежат на некоторой окружности, то они однозначно ее задают.

==Корректность алгоритма==
Попробуем разобраться почему этот алгоритм действительно находит искомую окружность.

Докажем несколько вспомогательных лемм. Для удобства введем общие обозначения. Пусть <tex> P </tex> и <tex> R </tex> - два '''непересекающихся''' множества точек на плоскости, Пусть <tex> p </tex> - некоторая точка из множества <tex> P </tex>.

{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=лемма 1
|statement=
Окружность минимального радиуса, содержащая все точки <tex> P </tex> внутри себя и все точки <tex> R </tex> на границе, ''уникальна''.
|proof=
[[Файл:MiniDisc.png|right|310px]]
Пусть это не так и существует две такие окружности <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>. Очевидно, что в таком случае все точки из <tex> P </tex> должны лежать внутри <tex> D_0 \cap D_1 </tex>. Пусть <tex> z </tex> - точка пересечения окружностей (смотри рисунок). Рассмотрим некоторое семейство окружностей <tex> D(\lambda), 0<=\lambda <= 1 </tex>. При этом центры этих окружностей лежат на отрезке, соединяющем центры <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, и перемещаются очевидным образом в зависимости от параметра <tex>\lambda </tex>. При этом радиус каждой из этих окружностей - расстояние от центра до точки <tex> z </tex>, описанной выше. Рассмотрим окружность <tex> D(1/2) </tex>. Заметим, что <tex> D_0 \cap D_1 </tex> лежит целиком внутри нее (по построению окружности <tex> D(1/2) </tex>), а так как <tex> D(1/2) </tex> проходит через пересечение окружностей <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>, то она проходит через все точки <tex> R </tex> (так все точки <tex> R </tex> лежат на <tex> \partial D_0 \cap \partial D_1 </tex>.). Из этого следует, что эта окружность явлется допустимой для нашей теоремы и при этом обладает '''меньшим''' радиусом, то наше предположение неверно и искомая окружность единственная.

''Далее будем называть искомую окружность <tex> md(P, R) </tex>.''
}}

{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=лемма 2
|statement=
Если <tex> p \in md(P \setminus \{p\}, R) </tex>, то <tex> md(P, R) = md(P \setminus \{p\}, R) </tex>
|proof=
Для множества <tex> P \setminus \{p\} </tex> справедливо, что для него минимальный диск по определению - это <tex> md(P \setminus \{p\}, R) </tex>, но так как <tex> p </tex> лежит внутри него, то он и является корректным диском для множества <tex> P </tex>. Но если бы в <tex> P </tex> существовал еще меньший диск, то он бы существовал бы и для <tex> P \setminus \{p\} </tex>. Значит эти диски равны(в силу единственности) и <tex> md(P, R) = md(P \setminus \{p\}, R) </tex>
}}

{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=лемма 3
|statement=
Если <tex> p \notin md(P \setminus \{p\}, R) </tex>, то <tex> md(P, R) = md(P \setminus \{p\}, R \cup {p}) </tex>
|proof=
Пусть <tex> D_0 = md(P \setminus \{p\}, R) </tex> и <tex> D_1 = md(P, R) </tex>. Рассмотрим аналогичное семейство множеств <tex> D(\lambda) </tex> как в лемме 1. Зададим это семейство с помощью окружностей <tex> D_0 </tex> и <tex> D_1 </tex>. Заметим, что <tex> p \notin D_0 </tex>, но <tex> p \in D_1 </tex>. Значит найдется такое <tex> \lambda </tex>, что точка <tex> p </tex> лежит на границе окружности <tex> D(\lambda) </tex>. Но в таком случае так как эта окружность удовлетворяет условиям теоремы и к тому же обладает не большим радиусом, чем <tex> D_1 </tex> (которая в свою очередь является минимальной охватыающей окружностью), то <tex> \lambda = 1 </tex>. Это означает, что <tex> D(\lambda) = D_1 </tex>, то точка <tex> p </tex> лежит на границе <tex> D_1 </tex>, то <tex> md(P, R) = md(P \setminus \{p\}, R \cup {p}) </tex>.
}}

Эти три доказанные леммы полностью подтверждают корректность наших действий в приведенном выше алгоритме, ведь во всех трех методах в условном операторе мы используем леммы 2 и 3, корректность которых доказана. Другими словами, алгоритм действительно найдет искомую минимальную охватывающую окружность множества точек.

==Память и время работы ==
Сначала разберемся с памятью. Тут все просто - никаких лишних затрат, кроме как на хранение точек нам требуется, то алгоритм требует <tex> O(n) </tex> памяти.

С временем работы дела обстоят интереснее. На самом деле приведенный алгоритм работает за линейное время. Докажем этот факт.

Рассмотрим некоторое множество <tex> P = \{p_1, ... p_i \} </tex> и точку <tex> q </tex>, которая лежит на границе построенной охватывающей окружности. Тогда попробуем удалить одну точку из набора <tex> P </tex>. Искомая окружность может измениться только в том случае, когда эта удаленная точка лежала на границе, а вероятность этого <tex> 2 / i </tex> (так как точек, которые образуют нашу окружность не более трех. при этом одна из этих трех точек - <tex> q </tex>).

То оценим время работы MinDiscWithPoint c помощью доказанного выше факта. На каждой итерации цикла будет происходить проверка, которая пройдет в "else" с вероятностью <tex> 2 / i </tex>. А сложность работы каждого "else" - <tex> O(i) </tex>. То суммарное время работы MinDiscWithPoint вычисляется следующим образом:

<tex> O(n) + \sum_{i=1}^{n} O(i) * (2 / i ) = O(n) </tex>.

Абсолютно аналогичным образом доказываем, что время работы <tex> MinDisc </tex> есть <tex> O(n) </tex>. То есть рассматриваемый алгоритм имеет линейную сложность.

==Источники==
''Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars-Computational Geometry Algorithms and Applications, p. 86
''

Двусторонний алгоритм

2018-11-02T20:03:04Z

138.68.105.35: /* Ценность алгоритма */

'''Двусторонний алгоритм''' (англ. ''Two Way algorithm'') — алгоритм [[Поиск подстроки в строке|поиска подстроки в строке]].

==Характерные черты==
* Требует упорядоченный алфавит,
* этап предобработки занимает <math>O(m)</math> времени и константное количество памяти,
* этап поиска за время <math>O(n)</math>, где <tex>m</tex> {{---}} длина образца, а <tex>n</tex> {{---}} длина текста.

==Описание алгоритма==
Строка <tex>x</tex> разбивается на две части <math>u</math> и <math>v</math> так, что <math>x = uv</math>. Затем фаза поиска в двустороннем алгоритме состоит в сравнении символов <math>v</math> слева направо, и затем, если на первом этапе не происходит несовпадений, в сравнении символов <math>u</math> справа налево (второй этап).
Фаза предобработки, таким образом, заключается в поиске подходящего разбиения <tex>(u, v)</tex>.
{{Определение
|definition = <tex>(u, v)</tex> {{---}} '''разбиение''' строки <tex>x</tex>, если <tex>x = uv</tex>.
}}

{{Определение
|definition = Пусть <math>(u, v)</math> {{---}} разбиение <math>x</math>. '''Повторение''' в <math>(u, v)</math> {{---}} слово <math>w</math> такое, что для него выполнены следующие условия:
# <math>w</math> {{---}} суффикс <math>u</math> или <math>u</math> {{---}} суффикс <math>w</math>.
# <math>w</math> {{---}} префикс <math>v</math> или <math>v</math> {{---}} префикс <math>w</math>.}}

{{Определение
|definition = Длина повторения в <math>(u, v)</math> называется '''локальным периодом'''; наименьший локальный период записывается как <math>r(u, v)</math>.

Каждое разбиение <math>x</math> на <math>(u, v)</math> имеет как минимум одно повторение. Очевидно, что <math>1 \leqslant r(u, v) \leqslant |x|</math>}}

{{Определение
|definition = Разбиение <math>x</math> на <math>(u, v)</math> такое, что <math>r(u, v) = per(x)</math> называется '''критическим разбиением''' <math>x</math>.
}}

Если <math>(u, v)</math> {{---}} критическое разбиение <math>x</math>, то на позиции <math>|u|</math> в <math>x</math> общий и локальный периоды одинаковы. Двусторонний алгоритм находит критическое разбиение <math>(u, v)</math> такое, что <math>|u| < per(x)</math> и длина <math>|u|</math> минимальна.
Чтобы найти критическое разбиение <math>(u, v)</math> мы сперва вычислим <math>z</math> {{---}} максимальный суффикс <math>x</math> в лексикографическом порядке, характерном для заданного алфавита <math>\leqslant</math> и максимальный суффикс <math>\widetilde{z}</math> для обратного лексикографического порядка <math>\geqslant</math>. Затем <math>(u, v)</math> выбираются так, что <math>|u| = \max(|z|, |\widetilde{z}|)</math>.

Фаза поиска в двустороннем алгоритме состоит из сравнения символов <math>v</math> слева направо и символов <math>u</math> справа налево. Когда происходит несовпадение при просмотре <math>k</math>-го символа в <math>v</math>, производится сдвиг длиной <math>k</math>. Когда происходит несовпадение при просмотре <math>u</math> или когда образец встретился в строке, производится сдвиг длиной <math>per(x)</math>.
Такие действия приводят к квадратичной работе алгоритма в худшем случае, но этого можно избежать запоминанием префикса: когда производится сдвиг длиной <math>per(x)</math>, длина совпадающего префикса образца в начале "окна" (а именно <math>m - per(x)</math>) после сдвига запоминается, чтобы не просматривать ее заново при следующем проходе.

==Псевдокод==

'''function''' twoWaySearch('''String''' pattern, '''String''' text): '''vector<int>'''
//предобработка <tex>-</tex> вычисление критической позиции (в которой строка делится на <tex>u</tex> и <tex>v</tex>)
<tex>\langle</tex>l1, p1<tex>\rangle</tex> = maxSuffix(pattern, <tex>\leqslant</tex>)
<tex>\langle</tex>l2, p2<tex>\rangle</tex> = maxSuffix(pattern, <tex>\geqslant</tex>)
<tex>\langle</tex>l, p<tex>\rangle</tex> = l1 <tex>\geqslant</tex> l2 ? <tex>\langle</tex>l1, p1<tex>\rangle</tex> : <tex>\langle</tex>l2, p2<tex>\rangle</tex>
//<tex>p</tex> <tex>-</tex> период <tex>x</tex>, <tex>l</tex> <tex>-</tex> такая критическая позиция, что <tex>l<p</tex>
'''vector<int> ''' occurences // набор всех вхождений образца в текст
'''int''' pos = 0
'''int''' memPrefix = 0
'''while''' pos + pattern.length <tex>\leqslant</tex> text.length
//первый этап: просмотр <tex>v</tex> слева направо
'''int''' i = max(l, memPrefix) + 1
'''while''' i <tex>\leqslant</tex> pattern.length '''and''' pattern[i] = text[pos + i]
i++
'''if''' i <tex>\leqslant</tex> pattern.length
pos = pos + max(i - l, memPrefix - p + 1)
memPrefix = 0
'''else'''
//второй этап: просмотр <tex>u</tex> справа налево
'''int''' j = l
'''while''' j <tex> > </tex> memPrefix '''and''' pattern[j] <tex>=</tex> text[pos + j]
j--
'''if''' j <tex>\leqslant</tex> memPrefix
occurences.pushBack(pos)
pos = pos + p
memPrefix = pattern.length - p
'''return''' occurences

== Ценность алгоритма ==
Двусторонний алгоритм отчасти похож на алгоритм Бойера-Мура (просмотр символов справа налево и сдвиг позиции при несовпадении на втором этапе), и в лучшем случае работает немногим медленнее его, а в худшем {{---}} значительно превосходит<ref>[http://monge.univ-mlv.fr/~mac/Articles-PDF/CP-1991-jacm.pdf Journal of the Association for Computing Machinery, Vol. 38, No, 1, July 1991] Оценки скорости работы</ref>, но главное отличие двустороннего алгоритма от алгоритмов Кнута-Морриса-Пратта и Бойера-Мура {{---}} константное количество затрачиваемой дополнительной памяти.

Именно этот алгоритм (в несколько модифицированном виде) используется в реализации поиска подстроки в glibc<ref>[https://github.com/bminor/glibc/blob/glibc-2.28/string/strstr.c#L88 Реализация функции strstr в glibc]</ref>.

== См. также ==
* [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта ]]
* [[Алгоритм Бойера-Мура]]

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
* [http://monge.univ-mlv.fr/~mac/Articles-PDF/CP-1991-jacm.pdf Оригинал статьи (M. Crochemore, D. Perrin)]
* [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node26.html#SECTION00260 Краткое описание алгоритма, пример работы]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Поиск подстроки в строке]]
[[Категория:Точный поиск]]