Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Независимые случайные величины

2018-02-18T16:07:11Z

142.44.193.39: Орфография

== Определения ==

{{Определение
|id=def1
|definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

=== Независимость в совокупности ===
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности<ref>[[Независимые события]]</ref>.
}}

== Примеры ==

==== Карты ====

Пусть есть колода из <tex>36</tex> карт (<tex>4</tex> масти и <tex>9</tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

<tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны

<tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex> или <tex>1</tex> при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства:
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>

Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично:

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </tex>

<tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </tex>

==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor</tex>.

Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>.

Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i~mod~3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)</tex>.

==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>, <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>, <tex>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</tex>.
Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>

<tex>При \alpha = 0, \beta = 1</tex>:

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{6} </tex>

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]

Независимые случайные величины

2018-02-18T16:05:24Z

142.44.193.39: Орфография

== Определения ==

{{Определение
|id=def1
|definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.

=== Независимость в совокупности ===
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности<ref>[[Независимые события]]</ref>.
}}

== Примеры ==

==== Карты ====

Пусть есть колода из <tex>36</tex> карт (<tex>4</tex> масти и <tex>9</tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:

<tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны

<tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналалами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex> или <tex>1</tex> при вытягивании валета, дамы, короля или туза

Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства:
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>

Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично:

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </tex>

<tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{36} </tex>

==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor</tex>.

Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>.

Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i~mod~3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)</tex>.

==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>, <tex>\xi (i) = i~mod~2</tex>, <tex>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</tex>.
Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых
<tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex>

<tex>При \alpha = 0, \beta = 1</tex>:

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \frac{5}{6} </tex>

<tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми.

== Примечания ==
<references/>

== Источники информации ==
*[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]