Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull

2016-01-05T17:53:12Z

176.114.249.43: /* Сложность */

{{ready}}
{{Определение
|definition=Выпуклой оболочкой множества точек называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих все заданные точки.}}

Ниже приводятся основные алгоритмы построения выпуклых оболочек статического множества. Используются обозначения: <tex>n</tex> - размер входных данных, <tex>k</tex> - размер оболочки.

= Алгоритм Джарвиса =

По-другому "Gift wrapping algorithm" (Заворачивание подарка).
Он заключается в том, что мы ищем выпуклую оболочку последовательно, против часовой стрелки, начиная с определенной точки.

== Описание Алгоритма ==
[[File:Graham1.png|thumb|250px|Промежуточный шаг алгоритма. Для точки <tex>p_i</tex> ищем следующую перебором.]] 
# Возьмем точку <tex>p_0</tex> нашего множества с самой маленькой у-координатой (если таких несколько, берем самую правую из них). Добавляем ее в ответ.
# На каждом следующем шаге для последнего добавленного <tex>p_i</tex> ищем <tex>p_{i + 1}</tex> среди всех недобавленных точек и <tex>p_0</tex> {{Acronym|с максимальным полярным углом относительно <tex>p_i</tex> (Если углы равны, надо сравнивать по расстоянию)|Считать углы не нужно, можно просто подставить в функцию сравнения предикат поворота}}. Добавляем <tex>p_{i + 1}</tex> в ответ. Если <tex>p_{i + 1} == p_0</tex> , заканчиваем алгоритм.

 

== Корректность ==

Точка <tex>p_0</tex>, очевидно, принадлежит оболочке. На каждом последующем шаге алгоритма мы получаем прямую <tex>p_{i-1}p_i</tex>, по построению которой все точки множества лежат слева от нее. Значит, выпуклая оболочка состоит из <tex>p_{i}</tex>-ых и только из них.

== Псевдокод ==

Inplace-реализация алгоритма. <tex>S[1..n]</tex> - исходное множество, <tex>n > 2</tex>

Jarvis(S)
find i such that S[i] has the lowest y-coordinate and highest x-coordinate
p0 = S[i]
pi = p0
k = 0
do
k++
for i = k..n
if S[i] has lower angle and higher distance than S[k] in relation to pi
swap(S[i], S[k])
pi = S[k]
while pi != p0
return k

== Сложность ==

Добавление каждой точки в ответ занимает <tex>O(n)</tex> времени, всего точек будет <tex>k</tex>, поэтому итоговая сложность <tex>O(nk)</tex>. В худшем случае, когда оболочка состоит из всех точек сложность <tex>O(n^2)</tex>.

== Ссылки ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gift_wrapping_algorithm Английская статья — Wikipedia]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%94%D0%B6%D0%B0%D1%80%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B0 Русская статья — Wikipedia]

= Алгоритм Грэхема =

Алгоритм заключается в том, что мы ищем точки оболочки последовательно, используя стек.

== Описание Алгоритма ==

[[File:Graham2.png|thumb|400px|Промежуточный шаг алгоритма. Зелеными линиями обозначена текущая выпуклая оболочка, синими - промежуточные соединения точек, красными - те отрезки, которые раньше входили в оболочку, а сейчас нет. На текущем шаге при добавлении точки <tex>p</tex> последовательно убираем из оболочки точки с <tex>i+3</tex>-ей до <tex>i+1</tex>-ой]]

# Находим точку <tex>p_0</tex> нашего множества с самой маленькой у-координатой (если таких несколько, берем самую правую из них), добавляем в ответ.
# Сортируем все остальные точки {{Acronym|по полярному углу относительно <tex>p_0</tex>|Сортировка с компаратором 'Предикат поворота'}}.
# Добавляем в ответ <tex>p_1</tex> - самую первую из отсортированных точек.
# Берем следующую по счету точку <tex>t</tex>. Пока <tex>t</tex> и две последних точки в текущей оболочке <tex>p_i</tex> и <tex>p_{i-1}</tex> образуют неправый поворот (вектора <tex>p_i t</tex> и <tex>p_{i-1} p_i</tex>), удаляем из оболочки <tex>p_i</tex>.
# Добавляем в оболочку <tex>t</tex>.
# Делаем п.5, пока не закончатся точки.

== Корректность ==

Докажем, что на каждом шаге множество <tex>p_i</tex>-тых является выпуклой оболочкой всех уже рассмотренных точек. Доказательство проведем по индукции.

* База. Для трех первых точек утверждение, очевидно, выполняется.

* Переход. Пусть для <tex>i-1</tex> точек оболочки совпадают. Докажем, что и для <tex>i</tex> точек они совпадут.

Рассмотрим истинную оболочку <tex>ch(S \cup {i}) = ch(S) \cup i \setminus P</tex>, где <tex>P</tex> - множество всех точек из <tex>ch(S)</tex>, видимых из <tex>i</tex>. Так как мы добавляли точки в нашу оболочку против часовой стрелки и так как <tex>i</tex>-тая точка лежит в <tex>ch(S \cup i)</tex>, то <tex>P</tex> состоит из нескольких подряд идущих последних добавленных в оболочку точек, и именно их мы удаляем на текущем шаге. Поэтому наша оболочка и истинная для <tex>i</tex> точек совпадают.

Тогда по индукции оболочки совпадают и для <tex>i = n</tex>.

== Псевдокод ==

Inplace-реализация алгоритма. <tex>S[1..n]</tex> - исходное множество, <tex>n > 2</tex>

Graham(S)
find i such that S[i] has the lowest y-coordinate and highest x-coordinate
swap(S[i], S[1])
sort S[2..n] by angle in relation to S[1]
k = 2
for p = 3..n
while S[k - 1], S[k], S[p] has non-right orientation
k--
swap(S[p], S[k + 1])
return k + 1

== Сложность ==

Сортировка точек занимает <tex>O(n \log n)</tex> времени. При обходе каждая точка добавляется в ответ не более одного раза, поэтому сложность этой части - <tex>O(n)</tex>. Суммарное время — <tex>O(n \log n)</tex>.

== Ссылки ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan Английская статья — Wikipedia]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%93%D1%80%D1%8D%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0 Русская статья — Wikipedia]

= Алгоритм Эндрю =

Алгоритм, очень похожий на алгоритм Грехема. Он заключается в том, что мы находим самую левую и самую правую точки, ищем для точек над и под этой прямой выпуклую оболочку Грехемом - {{Acronym|для них начальные точки будут лежать на <tex>\pm inf</tex>, а сортировка по углу относительно далекой точки аналогична сортировке по координате|в этом легко убедиться, подставив в предикат поворота точку с 'бесконечно' координатой}}; после этого объединяем две оболочки в одну.

== Описание Алгоритма ==
[[File:andrew1.png|thumb|400px|Промежуточный шаг алгоритма. Зелеными линиями обозначена текущая выпуклая оболочка, синими - промежуточные соединения точек, красными - те отрезки, которые раньше входили в оболочку, а сейчас нет. На текущем шаге при добавлении точки <tex>p</tex> последовательно убираем из оболочки точки с <tex>i+3</tex>-ей до <tex>i+1</tex>-ой]]
# Находим самую левую и самую правую точки множества - <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex>.
# Делим множество на две части: точки над и под прямой.
# Для каждой половины ищем выпуклую оболочку Грехемом с условием, что сортируем не по полярному углу, а по координате.
# Сливаем получившиеся оболочки.

 

== Корректность ==

 
См. доказательство алгоритма Грехема.
 

== Псевдокод ==

Inplace-реализация алгоритма. <tex>S[1..n]</tex> - исходное множество, <tex>n > 2</tex>

Andrew(S)
sort S[1..n] by x-coordinate backward(than by y backward)
k = 2
for p = 3..n
while S[k - 1], S[k], S[p] has non-right orientation
k--
swap(S[p], S[k + 1])
k++
sort S[k + 1..n] by x-coordinate (than by y)
for p = k + 1..n
while S[k - 1], S[k], S[p] has non-right orientation
k--
swap(S[p], S[k + 1])
return k + 1

== Сложность ==

Сортировка точек занимает <tex>O(n \log n)</tex> времени. При обходе каждая точка добавляется в ответ не более одного раза, поэтому сложность двух обходов - <tex> 2 \cdot O(n)</tex>. Суммарное время - <tex>O(n \log n)</tex>. Также можно отметить тот факт, что Эндрю в целом работает быстрее чем Грэхем, так как использует всего <tex>O(n)</tex> поворотов, в то время как Грэхем использует <tex>O(n \log n)</tex> поворотов.

== Ссылки ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan#Notes Одно предложение о нем]

= Алгоритм Чена =

Является комбинацией двух алгоритмов - Джарвиса и Грехема. Недостатком Грэхема является необходимость сортировки всех точек по полярному углу, что занимает достаточно много времени <tex>O(n \log n)</tex>. Джарвис требует перебора всех точек для каждой из <tex>k</tex> точек оболочки, что в худшем случае занимает <tex>O(n^2)</tex>.

== Описание Алгоритма ==

# Разобьем все множество на произвольные группы по <tex>m</tex> штук в каждой. Будем считать, что <tex>m</tex> нам известно. Тогда всего групп окажется <tex>r = n / m</tex>.
# Для каждой группы запускаем Грехема.
# Начиная с самой нижней точки ищем саму выпуклую оболочку Джарвисом, но перебираем не все точки, а по одной из каждой группы.

== Сложность ==

На втором шаге алгоритма в каждой группе оболочка ищется за <tex>O(m \log m)</tex>, общее время - <tex>O(r m \log m) = O(n \log m)</tex>. На третьем шаге поиск каждой следующей точки в каждой группе занимает <tex>O(\log m)</tex>, так как точки уже отсортированы, и мы можем найти нужную бинпоиском. Тогда поиск по всем группам займет <tex dpi="130">O(r \log m) = O(\frac{n}{m} \log m)</tex>. Всего таких шагов будет <tex>k</tex>, значит общее время - <tex dpi="130">O(\frac{kn}{m} \log m)</tex>.
Итоговое время - <tex>O(n (1 + \frac{k}{m}) \log m)</tex>. Несложно видеть, что минимум достигается при <tex>m = k</tex>. В таком случае сложность равна <tex>O(n \log k)</tex>.

== Поиск <tex>m</tex> ==

Как заранее узнать <tex>k</tex>? Воспользуемся следующим методом. Положим <tex>m = 2^{2^t}</tex>. Начиная с маленьких <tex>m</tex> будем запускать наш алгоритм, причем если на третьем шаге Джарвис уже сделал <tex>m</tex> шагов, то мы выбрали наше <tex>m</tex> слишком маленьким, будем увеличивать, пока не станет <tex>m \ge k</tex>.
Тогда общее время алгоритма - <tex> \sum_{t=0}^{O(\log\log k)} O\left(n \log(2^{2^t})\right) = O(n) \sum_{t=0}^{O(\log\log k)} O(2^t) = O\left(n \cdot 2^{1+O(\log\log k)}\right) = O(n \log k).</tex>

== Ссылки ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chan%27s_algorithm Английская статья — Wikipedia]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A7%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Русская статья — Wikipedia]

= Алгоритм QuickHull =

== Описание Алгоритма ==
[[File:hull.png|thumb|250px|Промежуточный шаг алгоритма. Для прямой <tex>p_i p_1</tex> нашли точку <tex>p</tex>. Над прямыми <tex>p_i p</tex> и <tex>p p_1</tex> точек нет, поэтому переходим к следующей прямой <tex>p_0 p_i</tex>.]]

# Найдем самую левую точку <tex>p_0</tex> и самую правую точку <tex>p_1</tex> (Если таких несколько, выберем среди таких нижнюю и верхнюю соответственно).
# Возьмем все точки выше прямой <tex>p_0 p_1</tex>.
# Найдем среди этого множества точку <tex>p_i</tex>, наиболее отдаленную от прямой (если таких несколько, взять самую правую).
# Рекурсивно повторить шаги 2-3 для прямых <tex>p_0 p_i</tex> и <tex>p_i p_1</tex>, пока есть точки.
# Добавить в ответ точки <tex>p_0 .. p_i .. p_1</tex>, полученные в п. 3.
# Повторить пункты 2-5 для <tex>p_1 p_0</tex> (то есть для "нижней" половины).
# Ответ - объединение списков из п. 5 для верхней и нижней половины.

 

== Корректность ==

[[File:hull1.png|thumb|200px|]]

Очевидно, что выпуклая оболочка всего множества является объединением выпуклых оболочек для верхнего и нижнего множества. Докажем, что алгоритм верно строит оболочку для верхнего множества, для нижнего рассуждения аналогичны.
Точки <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex> принадлежат оболочке.

* Пусть какая-то точка входит в нашу оболочку, но не должна.

Назовем эту точку <tex>t</tex>. По алгоритму эта точка появилась как самая удаленная от некой прямой <tex>t_1 t_2</tex>. Так как <tex>t</tex> не входит в оболочку, то существует прямая <tex>t_3 t_4</tex> из настоящей выпуклой оболочки, что <tex>t</tex> лежит снизу от прямой. Тогда какая-то из <tex>t_3</tex> и <tex>t_4</tex> удалена от прямой дальше <tex>t</tex>, что противоречит алгоритму.

* Наоборот, пусть какой-то точки <tex>t</tex> в нашей оболочке нет, а должна быть.

Пойдем вниз рекурсии в те ветки, где есть <tex>t</tex>. В какой-то момент <tex>t</tex> окажется внутри некоторого треугольника. Но тогда возникает противоречие с тем, что <tex>t</tex> принадлежит выпуклой оболочке.

Таким образом, наша оболочка совпадает с истинной, а значит алгоритм корректен.

== Реализация ==

Заметим, что длина высоты, опущенная из точки <tex>t</tex> на отрезок <tex>ab</tex>, пропорциональна векторному произведению <tex>[bt \cdot ba]</tex>, поэтому для сравнения можно использовать именно это.

== Псевдокод ==

Inplace-реализация алгоритма. <tex>S[1..n]</tex> - исходное множество. <tex>quick\_hull()</tex> - рекурсивная функция, находящая оболочку подмножества <tex>S</tex>. В реализации в конце каждого подмножества находятся эл-ты, точно не принадлежащие оболочке.

QuickHull(S)
find i such that S[i] has the highest x-coordinate and lowest y-coordinate
swap(S[1], S[i])
find i such that S[i] has the lowest x-coordinate and lowest y-coordinate
swap(S[n], S[i])
k = partition1(S) // разбиваем на те эл-ты, которые лежат над прямой и на остальные
a = quick_hull(S, 1, k)
b = quick_hull(S, k + 1, n);
swap(S[a..k], S[k + 1, b])
return start + (a - 1) + (b - k - 1) 
quick_hull(S, start, end)
find i such that S[i], S[start], S[end] has maximum value
(a, b) = partition2(S, start, end, S[i]) //свапаем эл-ты S так, чтобы сначала были все эл-ты над прямой S[start]S[i], потом S[i]S[end], потом все остальное
c = quick_hull(S, start, a)
d = quick_hull(S, a + 1, b)
swap(S[c..a], S[a + 1..d])
return start + (a - c) + (d - b)

== Сложность ==

Пусть время, необходимое для нахождения оболочки над некой прямой и множеством точек <tex>S</tex> есть <tex>T(S)</tex>
Тогда <tex>T(S) = O(\|S\|) + T(A \in S) + T(B \in S)</tex>, где <tex>A, B</tex> - множества над полученными прямыми. Отсюда видно, что в худшем случае, алгоритм тратит <tex>O(n^2)</tex>. На рандомных же данных это число равно <tex>O(n \log n)</tex>

== Ссылки ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/QuickHull Английская статья — Wikipedia]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull