Задача о динамической связности оффлайн

2020-02-12T08:05:53Z

176.215.5.216: Очевидно некорректная оценка

{{Задача
|definition = Имеется [[Основные_определения:_граф,_ребро,_вершина,_степень,_петля,_путь,_цикл#Неориентированные_графы|неориентированный граф]] из <tex>n</tex> вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать <tex>m</tex> запросов трёх типов:
* добавить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>,
* удалить ребро между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex>,
* проверить, лежат ли вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в одной компоненте связности.
В графе могут быть кратные рёбра и петли.
}}
В этой статье приведено решение задачи в offline, то есть ответы на все запросы будут получены после обработки всех запросов, а не по мере их поступления.

== Решение упрощённой задачи ==
Если нет удалений рёбер, задачу можно решить при помощи [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|системы непересекающихся множеств]]. Каждая компонента связности {{---}} одно множество в СНМ, и при добавлении рёбер они объединяются.

Время работы такого решения: <tex>O(m \cdot \alpha (n))</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)#Функция Аккермана|обратная функция Аккермана]].

== Алгоритм ==
=== Построение дерева отрезков ===
Рассмотрим массив запросов. Каждое ребро в графе существует на некотором отрезке запросов: начиная с запроса добавления и заканчивая запросом удаления (либо концом запросов, если ребро не было удалено). Для каждого ребра можно найти этот отрезок, пройдя по массиву запросов и запоминая, когда какое ребро было добавлено.

Пусть есть <tex>k</tex> рёбер, <tex>i</tex>-е соединяет вершины <tex>v_i</tex> и <tex>u_i</tex>, было добавлено запросом <tex>L_i</tex> и удалено запросом <tex>R_i</tex>.

Построим на массиве запросов [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]], в каждой его вершине будем хранить список пар. <tex>i</tex>-е рёбро графа нужно добавить на отрезок <tex>[L_i,R_i]</tex>. Это делается аналогично тому, как в дереве отрезков происходит добавление на отрезке (процесс описан в статье "[[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления]]"), но без <tex>push</tex>: нужно спуститься по дереву от корня и записать пару <tex>u_i,v_i</tex> в вершины дерева отрезков.

Теперь чтобы узнать, какие рёбра существуют во время выполнения <tex>i</tex>-го запроса, достаточно посмотреть на путь от корня дерева отрезков до листа, который соответствует этому запросу {{---}} рёбра, записанные в вершинах этого пути, существуют во время выполнения запроса.

=== Ответы на запросы ===
Обойдём дерево отрезков в глубину, начиная с корня. Будем поддерживать граф, состоящий из рёбер, которые содержатся на пути от текущей вершины дерева отрезков до корня. При входе в вершину добавим в граф рёбра, записанные в этой вершине. При выходе из вершины нужно откатить граф к состоянию, которое было при входе. Когда мы добираемся до листа, в граф уже добавлены все рёбра, которые существуют во время выполнения соответствующего запроса, и только они. Поэтому если этот лист соответствует запросу третьего типа, его следует выполнить и сохранить ответ.

Для поддержания такого графа и ответа на запросы будем использовать [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|систему непересекающихся множеств]]. При добавлении рёбер в граф объединим соответствующие множества в СНМ. Откатывание состояния СНМ описано ниже.

=== СНМ с откатами ===
Для того, чтобы иметь возможность откатывать состояние СНМ, нужно при каждом изменении любого значения в СНМ записывать в специальный массив, что именно изменилось и какое было предыдущее значение. Это можно реализовать как массив пар (указатель, значение).

Чтобы откатить состояние СНМ, пройдём по этому массиву в обратном порядке и присвоим старые значения обратно. Для лучшего понимания ознакомьтесь с приведённой ниже реализацией.

Нужно заметить, что эвристику сжатия путей в этом случае применять не следует. Эта эвристика улучшает асимптотическое время работы, но это время работы не истинное, а амортизированное. Из-за наличия откатов к предыдущим состояниям эта эвристика не даст выигрыша. СНМ с ранговой эвристикой же работает за <tex>O(\log n)</tex> на запрос истинно.

Запоминание изменений и откаты не влияют на время работы, если оно истинное, а не амортизированное. Действительно: пусть в СНМ произошло <tex>r</tex> изменений. Каждое из них будет один раз занесено в массив и один раз отменено. Значит, запись в массив и откаты работают за <tex>\Theta(r)</tex>. Но и сами изменения заняли <tex>\Theta(r)</tex> времени, значит, откаты не увеличили асимптотическое время работы.

Вместо описанного способа откатывания состояния СНМ можно использовать [[Персистентные структуры данных|персистентный]] СНМ, но этот вариант сложнее и имеет меньшую эффективность. 

== Время работы ==
Каждое из <tex>O(m)</tex> рёбер записывается в <tex>O(\log m)</tex> вершин дерева отрезков. Поэтому операций <tex>\mathrm{union}</tex> в СНМ будет <tex>O(m \log m)</tex>. Каждая выполняется за <tex>O(\log n)</tex> (СНМ с ранговой эвристикой). Откаты не влияют на время работы.

Можно считать, что <tex>n = O(m)</tex>, так как в запросах используется не более <tex>2m</tex> вершин.

Время работы: <tex>O(m \log m \log n) = O(m \log^2 m)</tex>.

== Реализация на C++ ==
'''#include''' <bits/stdc++.h>

'''using''' '''namespace''' std;
'''typedef''' pair < '''int''' , '''int''' > ipair;
'''const''' '''int''' N = 100321;

// СНМ
'''int''' dsuP[N], dsuR[N];
// В этот массив записываются все изменения СНМ, чтобы их можно откатить
// При изменении какого-то значения в СНМ в hist записывается пара < указатель, старое значение >
vector < pair < '''int'''*, '''int''' > > hist;

// Для элемента из СНМ возвращает корень дерева, в котором он находится
'''int''' dsuRoot('''int''' v)
{
'''while''' (dsuP[v] != -1)
v = dsuP[v];
'''return''' v;
}

// Объединяет два множества. Используется ранговая эвристика.
// При любом изменении содержимого массивов dsuP и dsuR
// в hist записывается адрес и старое значение
'''void''' dsuMerge('''int''' a, '''int''' b)
{
a = dsuRoot(a);
b = dsuRoot(b);
'''if''' (a == b)
'''return''';
'''if''' (dsuR[a] > dsuR[b])
{
hist.emplace_back(&dsuP[b], dsuP[b]);
dsuP[b] = a;
} '''else''' '''if''' (dsuR[a] < dsuR[b])
{
hist.emplace_back(&dsuP[a], dsuP[a]);
dsuP[a] = b;
} '''else'''
{
hist.emplace_back(&dsuP[a], dsuP[a]);
hist.emplace_back(&dsuR[b], dsuR[b]);
dsuP[a] = b;
++dsuR[b];
}
}

'''struct''' Query
{
'''int''' t, u, v;
bool answer;
};
'''int''' n, m;
Query q[N];

// Дерево отрезков, в каждой вершине которого хранится список рёбер
vector < ipair > t[N*4];

// Эта функция добавляет ребро на отрезок
// [l r] - отрезок, на который добавляется ребро
// uv - ребро, c - текущая вершина дерева отрезков,
// [cl cr] - отрезок текущей вершины дерева отрезков
'''void''' addEdge('''int''' l, '''int''' r, ipair uv, '''int''' c, '''int''' cl, '''int''' cr)
{
'''if''' (l > cr || r < cl)
'''return''';
'''if''' (l <= cl && cr <= r)
{
t[c].push_back(uv);
'''return''';
}
'''int''' mid = (cl + cr) / 2;
addEdge(l, r, uv, c*2+1, cl, mid);
addEdge(l, r, uv, c*2+2, mid+1, cr);
}

// Обход дерева отрезков в глубину
'''void''' go('''int''' c, '''int''' cl, '''int''' cr)
{
'''int''' startSize = hist.size();
// Добавляем рёбра при входе в вершину
'''for''' (ipair uv : t[c])
dsuMerge(uv.first, uv.second);

'''if''' (cl == cr)
{
// Если эта вершина - лист, то отвечаем на запрос
'''if''' (q[cl].t == 3)
q[cl].answer = (dsuRoot(q[cl].u) == dsuRoot(q[cl].v));
} '''else''' {
'''int''' mid = (cl + cr) / 2;
go(c*2+1, cl, mid);
go(c*2+2, mid+1, cr);
}

// Откатываем изменения СНМ
'''while''' (('''int''')hist.size() > startSize)
{
*hist.back().first = hist.back().second;
hist.pop_back();
}
}

'''int''' main()
{
ios::sync_with_stdio('''false''');
// Формат входных данных:
// n и m, затем в m строках запросы: по три числа t, u, v
// t - тип (1 - добавить ребро, 2 - удалить, 3 - принадлежат ли одной компоненте)
// Нумерация вершин с нуля
cin >> n >> m;
'''for''' ('''int''' i = 0; i < n; ++i) // Инициализация СНМ
dsuP[i] = -1;

// В этом массиве для каждого ещё не удалённого ребра хранится
// на каком запросе оно было создано
set < pair < ipair, '''int''' > > edges;
'''for''' ('''int''' i = 0; i < m; ++i)
{
cin >> q[i].t >> q[i].u >> q[i].v;
// Поскольку рёбра неориентированные, u v должно означать то же самое, что и v u
'''if''' (q[i].u > q[i].v) swap(q[i].u, q[i].v);
// При добавлении ребра кладём его в set
'''if''' (q[i].t == 1)
edges.emplace(ipair(q[i].u, q[i].v), i);
// При удалении ребра берём из set время его добавления - так мы узнаём отрезок заросов,
// на котором оно существует. Если есть несколько одинаковых рёбер, можно брать любое.
'''else''' '''if''' (q[i].t == 2)
{
'''auto''' iter = edges.lower_bound(make_pair(ipair(q[i].u, q[i].v), 0));
addEdge(iter->second, i, iter->first, 0, 0, m - 1);
edges.erase(iter);
}
}
// Обрабатываем рёбра, которые не были удалены
'''for''' ('''auto''' e : edges)
addEdge(e.second, m - 1, e.first, 0, 0, m - 1);

// Запускаем dfs по дереву отрезков
go(0, 0, m - 1);
// Выводим ответ.
// При обходе дерева отрезков запросы обрабатываются в том же порядке, в котором они даны,
// поэтому ответ можно выводить прямо в go без заполнения answer
'''for''' ('''int''' i = 0; i < m; ++i)
'''if''' (q[i].t == 3)
{
'''if''' (q[i].answer)
cout << "YES\n";
'''else'''
cout << "NO\n";
}

'''return''' 0;
}

== Замечания ==
* Дерево отрезков можно строить не на всех запросах, а только на запросах третьего типа. Это даст выигрыш по скорости и памяти, особенно если таких запросов немного по сравнению с общим числом запросов.
* Помимо проверки, лежат ли две вершины в одной компоненте связности, можно получать и другую информацию, которую можно получить из СНМ, напрмер:
** Размер компоненты связности, которая содержит вершину <tex>v</tex>
** Количество компонент связности
* Эту идею можно использовать и для других задач. Вместо СНМ можно использовать любую структуру данных, в которую можно добавлять, но не удалять.
** Например, динамический рюкзак: добавлять предмет в него можно за <tex>O(w)</tex> (<tex>w</tex> {{---}} максимальный вес), а удалять нельзя. Аналогично тому, как в dynamic connectivity offline добавляются и удаляются рёбра, можно удалять элементы из рюкзака.

== См. также ==
* [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев)|Система непересекающихся множеств]]
* [[Дерево отрезков. Построение|Дерево отрезков]]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Связность в графах]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Задача о динамической связности оффлайн