Классы Sharp P, Sharp P-Complete

2017-03-24T07:39:07Z

176.59.5.177: /* Примеры задач из #P */

== Класс #P ==
{{Определение
|definition =<tex>\#P</tex> представляет класс задач, решением которых является количество успешных (завершающихся в допускающих состояниях) путей вычислений для недетерминированной МТ, работающей за полиномиальное время. Отличается от большинства рассмотренных классов тем, что задачи требуют в качестве ответа не <tex>``0"</tex> или <tex>``1"</tex>, а натуральное число.
<br> Более формально: <tex>f : \{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}</tex> принадлежит <tex>\#P</tex>, если существует <tex>p \in Poly</tex> и машина Тьюринга <tex>M</tex> такая, что для любого <tex>x \in \{0,1\}^* : f(x) = | \{y \in \{0,1\}^{p(|x|)} : M(x,y) = 1 \} |</tex>.
}}
Вопрос, являются ли задачи из <tex>\#P</tex> //эффективно разрешимыми// остается открытым. Класс <tex>FP</tex> - аналог класса <tex>P</tex> для задач, ответ на которые представляется не битовым значением, а натуральным числом. Подсчет числа сертификатов как минимум столь же сложно, как и проверка наличия сертификата, а значит, если доказать равенство <tex>\#P=FP</tex>, то автоматически будет доказано <tex>NP=P</tex>. Однако из <tex>NP=P</tex> вовсе не следует <tex>\#P=FP</tex>. Если <tex>PSPACE = P</tex>, то <tex>\#P=FP</tex>, так как подсчет числа сертификатов может быть выполнен за полиномиальную память.

== Примеры задач из #P ==
*[[#SAT]]
* <tex>\#CYCLE</tex> - имея ориентированный граф <tex>G</tex>, посчитать число простых циклов. Аналогичная задача, отвечающая на вопрос, существует ли в заданном ориентированном графе простой цикл, может быть решена за линейное время при помощи поиска в ширину. Проблема подсчета значительно сложнее.

{{Теорема
|statement=
Если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда <tex>P=NP</tex>.

|proof=
[[Файл:dir_grap.png|thumb|300px| <tex>deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|</tex>]]
Для графа <tex>G</tex> с n вершинами построим граф <tex>G'</tex> такой, что в <tex>G</tex> есть Гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда в <tex>G'</tex> есть <tex>n^{n^2}</tex> циклов. Чтобы получить <tex>G'</tex>, заменим каждое ребро <tex>(u,v)</tex> из <tex>G</tex> на блок <tex>H</tex>. Блок состоит из <tex>m = n * \log{n} + 1</tex> уровней. <tex>G</tex> представляет из себя ацикличный граф, а значит циклы в <tex>G'</tex> соответствуют циклам в <tex>G</tex>. Кроме того, существует <tex>2^m</tex> различных путей между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> внутри блока, следовательно простому циклу длины <tex>l</tex> в <tex>G</tex> соответствует цикл длины <tex>2^{(ml)}</tex> в <tex>G'</tex>.
<br>
Заметим, что если граф <tex>G</tex> содержит гамильтонов цикл, то в <tex>G'</tex> существует минимум <tex>2^{m(n-1)} > n^{n^2}</tex> циклов.
<br>
Проверим в обратную сторону. Если в <tex>G</tex> не существует Гамильтонова цикла, то самый длинный цикл в <tex>G</tex> имеет длину не больше <tex>n-1</tex> и число циклов не может превысить <tex>n^{n-1}</tex>. Таким образом, в <tex>G'</tex> будет не более чем <tex>(2^m)^{n-1} * n^{n-1} < n^{n^2}</tex> циклов.му входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.
<br>
Преобразование графа <tex>G</tex> в <tex>G'</tex> можно выполнить за полином от количества вершин. Таким образом, если <tex>\#CYCLE \in FP</tex>, тогда сразу же <tex>HAM \in P</tex>. А так как<tex> HAM \in NP</tex>, то <tex>NP = P</tex>.
}}

==Класс #P-Complete==
{{Определение
|definition= <tex>f : \{0, 1\}^* \rightarrow \{0, 1\}^*</tex> является <tex>\#P</tex>-полной, если <tex> f \in \#P</tex> и получение для <tex>f</tex> алгоритма работающего за полиномиальное время влечет равенство <tex> \#P=FP</tex>.
}}

Для более формального определения будем использовать МТ с оракулом <tex> О = \{\big \langle x, i \big \rangle: f(x)_i = 1\}</tex>. Для нашего типа задач оракул будет отвечать на вопросы вида

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Классы Sharp P, Sharp P-Complete