Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-13T08:22:48Z

178.178.14.179: /* Препроцессинг */ fixup

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например на момент входа в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{---}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]] для <tex>\pm 1RMQ</tex>, т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет <tex>(2n - 1)</tex>, таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n)</tex>. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке {{---}} <tex>O(1)</tex>.

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-13T08:21:44Z

178.178.14.179: /* Пример */

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{---}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]] для <tex>\pm 1RMQ</tex>, т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет <tex>(2n - 1)</tex>, таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n)</tex>. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке {{---}} <tex>O(1)</tex>.

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-13T08:19:55Z

178.178.14.179: /* Сложность */ O(1) query algorithm used

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]] для <tex>\pm 1RMQ</tex>, т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет <tex>(2n - 1)</tex>, таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n)</tex>. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке {{---}} <tex>O(1)</tex>.

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-13T08:05:08Z

178.178.14.179: /* Запрос */ order fixup

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex>, где <tex>I[u] \le I[v]</tex>, будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1)</tex>, т. е. дерево отрезков можно построить за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. <tex>O(\log n).</tex>

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-13T08:01:10Z

178.178.14.179: /* Доказательство корректности алгоритма */ changes of contradiction condition

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex> будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>I[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>I[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>I[u]</tex> и <tex>I[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>. Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.
}}.

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1)</tex>, т. е. дерево отрезков можно построить за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. <tex>O(\log n).</tex>

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Сведение задачи LCA к задаче RMQ

2012-06-12T20:53:59Z

178.178.14.179: /* Запрос */ family mixup

== Постановка задачи LCA ==
{{Определение
|definition = '''Наименьшим общим предком (least common ancestor)''' двух узлов <tex>u</tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w</tex>, который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u</tex>, так и <tex>v</tex>, имеет наибольшую глубину.
}}
Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

== Алгоритм ==
=== Препроцессинг ===
Для каждой вершины <tex>T</tex> определим глубину вершину с помощью следующей рекурсивной формулы:
:<tex>depth(u)= \begin{cases}
0 & u = root(T),\\
depth(v) + 1 & u = son(v)
\end{cases}.</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.

Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>vtx</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>I[u]</tex>, возвращающей любой индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например при входе в вершину).

=== Запрос ===
Будем считать, что <tex>rmq(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос <tex>lca(u, v)</tex> будет <tex>vtx[rmq(d,I[u], I[v])]</tex>.

=== Доказательство корректности алгоритма ===
{{Теорема
|statement=
Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>depth[I[u], I[v]]</tex>.
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке <tex>depth[I[u]..I[v]]</tex>. Допустим обратное. Все потомки <tex>w</tex> имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.
}}

== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png|thumb|left|рис. 1]]
<div style='clear:left;'></div>

== Сложность ==

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]]. Длина массива глубин будет равна <tex>(2n - 1)</tex>, т. е. дерево отрезков можно построить за <tex>O(n).</tex> Таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т. е. <tex>O(\log n).</tex>

== См.также ==
*[[Метод двоичного подъема]]
*[[Решение RMQ с помощью разреженной таблицы]]
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]