Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2012-02-13T22:02:57Z

178.178.2.220:

= Постановка задачи =
Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный автомат]] с наименьшим количеством состояний.

= Алгоритм Хопкрофта=
Если в ДКА существуют два [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентных состояния]], то при их объединении мы получим [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный ДКА]], так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея алгоритма состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.

Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний.
# Меньший из них помещается в очередь.
# Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер.
# Перебираются все символы из алфавита <tex>\Sigma</tex>, где <tex>c</tex> {{---}} текущий символ.
# Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>c</tex> переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
# Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также меньший из двух подклассов добавляется в очередь.
# Пока очередь не пуста, алгоритм выполняет п.3 – п.6.

===Псевдокод===
<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>W</tex> {{---}} очередь.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
if <tex> |F| \le |Q \setminus F|</tex>
<tex>W</tex>.push(<tex>F</tex>)
else
<tex>W</tex>.push(<tex>Q \setminus F</tex>)
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex>
while not <tex>W</tex>.isEmpty()
<tex>W</tex>.pop(<tex>S</tex>)
for all <tex>a \in \Sigma</tex>
for all <tex>R</tex> in <tex>P</tex>
<tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (S, a) </tex>
<tex>R_2 = R \setminus R_1</tex>
if <tex> |R_1| \ne 0</tex> and <tex>|R_2| \ne 0</tex>
replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex>
if <tex>R</tex> in <tex>W</tex>
replace <tex>R</tex> in <tex>W</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex>
else
if <tex> |R_1| \le |R_2|</tex>
<tex>W</tex>.push(<tex>R_1</tex>)
else
<tex>W</tex>.push(<tex>R_2</tex>)
=Корректность алгоритма=

=Время работы алгоритма=
Благодаря системе добавления классов состояний в очередь, каждое ребро будет рассмотрено не более чем <tex>\log{n}</tex> раз. А так как ребер у нас порядка <tex> |\Sigma| * n </tex> то получаем <tex> O(n\log{n})</tex>
= Литература =
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* ''J. E. Hopcroft.'' An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton. Technical Report CS-71-190, Stanford University, January 1971.

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

2012-02-13T20:57:21Z

178.178.2.220:

= Постановка задачи =
Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентный автомат]] с наименьшим количеством состояний.

= Минимизация ДКА =
Понятие [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентности состояний]] позволяет объединить состояния в классы следующим образом.
# Все состояния в классе эквивалентны.
# Любые два состояния, выбранные из разных класов, неэквивалентны.
Таким образом, основная идея минимизации ДКА состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности.
===Пример минимизации ДКА===
[[Изображение:Automaton1.png]][[Изображение:Automaton2.png]]

Первый класс состоит из состояния <tex>A</tex>, а второй из эквивалентных состояний <tex>B</tex> и <tex>C</tex>.
= Алгоритм =
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний.
# Меньший из них помещается в очередь.
# Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер.
# Перебираются все символы из алфавита <tex>\Sigma</tex>, где <tex>c</tex> {{---}} текущий символ.
# Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>c</tex> переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
# Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также меньший из двух подклассов добавляется в очередь.
# Пока очередь не пуста, алгоритм выполняет п.3 – п.6.

===Псевдокод===
<tex>Q</tex> {{---}} множество состояний ДКА.
<tex>F</tex> {{---}} множество терминальных состояний.
<tex>W</tex> {{---}} очередь.
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА.
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
if <tex> |F| \le |Q \setminus F|</tex>
<tex>W</tex>.push(<tex>F</tex>)
else
<tex>W</tex>.push(<tex>Q \setminus F</tex>)
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex>
while not <tex>W</tex>.isEmpty()
<tex>W</tex>.pop(<tex>S</tex>)
for all <tex>a \in \Sigma</tex>
for all <tex>R</tex> in <tex>P</tex>
<tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (S, a) </tex>
<tex>R_2 = R \setminus R_1</tex>
if <tex> |R_1| \ne 0</tex> and <tex>|R_2| \ne 0</tex>
replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex>
if <tex>R</tex> in <tex>W</tex>
replace <tex>R</tex> in <tex>W</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex>
else
if <tex> |R_1| \le |R_2|</tex>
<tex>W</tex>.push(<tex>R_1</tex>)
else
<tex>W</tex>.push(<tex>R_2</tex>)

==Время работы алгоритма==
Благодаря системе добавления классов состояний в очередь, каждое ребро будет рассмотрено не более чем <tex>\log{n}</tex> раз. А так как ребер у нас порядка <tex> |\Sigma| * n </tex> то получаем <tex> O(n\log{n})</tex>
= Литература =
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
* ''J. E. Hopcroft.'' An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton. Technical Report CS-71-190, Stanford University, January 1971.

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))