Алгоритм Касаи и др.

2019-07-27T13:34:07Z

178.234.40.81: /* Псевдокод */

'''Алгоритм Касаи, Аримуры, Арикавы, Ли, Парка''' (англ. ''Kasai, Arimura, Arikawa, Lee, Park algorithm'') {{---}} алгоритм, позволяющий за линейное время вычислить длину наибольших общих префиксов (англ. ''longest common prefix'', ''LCP'') для всех соседних суффиксов строки, отсортированных в лексикографическом порядке.

==Обозначения==
Введём следующие обозначения:
* <tex>S</tex> {{---}} данная строка.
* <tex>S_{i}</tex> {{---}} суффикс строки <tex>S</tex>, начинающийся в <tex>i</tex>-ом символе.
* <tex>Suf</tex> {{---}} [[Суффиксный массив | суффиксный массив]].
* <tex>Suf^{-1}</tex> {{---}} массив, обратный суффиксному, который может быть получен немедленно, если задан массив <tex>Suf</tex>. Если <tex>Suf[k] = i</tex>, то <tex>Suf^{-1}[i] = k</tex>.
* <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z]})</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса строк <tex>S_{Suf[x]}</tex> и <tex>S_{Suf[z]}</tex>.
* <tex>lcp[i]</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса соседних строк <tex>i-1</tex> и <tex>i</tex>, то есть <tex>lcp[i] = LCP(S_{Suf[i-1]}, S_{Suf[i]})</tex>.

==Некоторые свойства LCP==
{{Утверждение
|id = fact1
|about= №1
|statement=
<tex>LCP(S_{Suf[y - 1]}, S_{Suf[y]}) \geqslant LCP(S_{Suf[x]},S_{Suf[z]}), x < y \leqslant z</tex>
|proof=
<tex>LCP</tex> между двумя суффиксами {{---}} минимум <tex>LCP</tex> всех пар соседних суффиксов между ними в суффиксном массиве <tex>Suf</tex>. То есть <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z]}) = \min\limits_{x < y \leqslant z}LCP(S_{Suf[y - 1]},S_{Suf[y]})</tex>.
Отсюда следует, что <tex>LCP</tex> пары соседних суффиксов в массиве <tex>Suf</tex> больше или равно <tex>LCP</tex> пары суффиксов, окружающих их.
}}
Также заметим, что <tex>LCP(S_{Suf[x]}, S_{Suf[z]}) = \min\limits_{i = x + 1 \ldots z}lcp[i]</tex>.
{{Утверждение
|id = fact2
|about= №2
|statement=
Если <tex>LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]}) > 1</tex>, тогда <tex>Suf^{-1}[Suf[x - 1] + 1] < Suf^{-1}[Suf[x] + 1]</tex>
|proof=
Рассмотрим пару суффиксов, соседних в массиве <tex>Suf</tex>. Тогда если их значение <tex>LCP</tex> больше <tex>1</tex>, то можно удалить первый символ этих суффиксов и их лексикографический порядок относительно друг друга сохранится. То есть строка <tex>S_{Suf[x] + 1}</tex> будет идти следом за строкой <tex>S_{Suf[x-1] + 1}</tex> и останется лексикографически больше нее.
}}

{{Утверждение
|id = fact3
|about= №3
|statement=Если <tex>LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]} ) > 1</tex>, тогда <tex>LCP(S_{Suf[x-1]+1} , S_{Suf[x]+1}) = LCP(S_{Suf[x-1]} , S_{Suf[x]} ) - 1</tex>
|proof=
В этом же случае, значение <tex>LCP</tex> между <tex>S_{Suf[x-1]+1}</tex> и <tex>S_{Suf[x]+1}</tex> на один меньше значения <tex>LCP</tex> между <tex>S_{Suf[x-1]}</tex> и <tex>S_{Suf[x]}</tex>.
}}

===Пример===
[[Файл:kasai.png|400px|thumb|right|Пояснительная картинка к утверждениям 2 и 3]]
Рассмотрим строку <tex>S = aabaaca\$</tex>. Её суффиксный массив:
{| class="wikitable"
|-
!<tex>i</tex>
| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>
|-
!<tex>Suf[i]</tex>
| <tex>7</tex> || <tex>6</tex> || <tex>0</tex> || <tex>3</tex> || <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex>
|}
Распишем суффиксный массив по столбикам для удобного нахождения <tex>LCP</tex>:
{| class="wikitable"
|-
!<tex>i</tex>
| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>
|-
!<tex>Suf[i]</tex>
| <tex>7</tex> || <tex>6</tex> || <tex>0</tex> || <tex>3</tex> || <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex>
|-
!<tex>0</tex>
| <tex>\$</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>b</tex> || <tex>c</tex>
|-
!<tex>1</tex>
| || <tex>\$</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>b</tex> || <tex>c</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex>
|-
!<tex>2</tex>
| || || <tex>b</tex> || <tex>c</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex>
|-
!<tex>3</tex>
| || || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex> || <tex>c</tex> ||
|-
!<tex>4</tex>
| || || <tex>a</tex> || <tex>\$</tex> || <tex>c</tex> || || <tex>a</tex> ||
|-
!<tex>5</tex>
| || || <tex>c</tex> || || <tex>a</tex> || || <tex>\$</tex> ||
|-
!<tex>6</tex>
| || || <tex>a</tex> || || <tex>\$</tex> || || ||
|-
!<tex>7</tex>
| || || <tex>\$</tex> || || || || ||
|}
Строим массив <tex>LCP</tex>:
{| class="wikitable"
|-
!<tex>i</tex>
| <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>
|-
!<tex>lcp[i]</tex>
| <tex>\bot</tex> || <tex>0</tex> || <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>1</tex> || <tex>1</tex> || <tex>0</tex> || <tex>0</tex>
|}
Например <tex>lcp[3] = 2</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса <tex>aa</tex> суффиксов <tex>S_{Suf[2]} = aabaaca\$</tex> и <tex>S_{Suf[3]} = aaca\$</tex>.
===Вспомогательные утверждения===

Теперь рассмотрим следующую задачу: рассчитать <tex>LCP</tex> между суффиксом <tex>S_{i}</tex> и его соседним суффиксом в массиве <tex>Suf</tex>, при условии, что значение <tex>LCP</tex> между <tex>S_{i-1}</tex> и его соседним суффиксом известны. Для удобства записи пусть <tex>p=Suf^{-1}[i - 1]</tex> и <tex>q = Suf^{-1}[i]</tex>. Так же пусть <tex>j - 1 = Suf[p-1]</tex> и <tex>k = Suf[q - 1]</tex>. Проще говоря, мы хотим посчитать <tex>lcp[q]</tex>, когда задано <tex>lcp[p]</tex>.

{{Лемма
|id = lemma
|statement=
Если <tex>LCP(S_{j-1}, S_{i-1}) > 1</tex>, тогда <tex>LCP(S_k,S_i) \geqslant LCP(S_j,S_i)</tex>.
|proof=
Так как <tex>LCP(S_{j-1},S_{i-1}) > 1</tex>, имеем <tex>Suf^{-1}[j] < Suf^{-1}[i]</tex> из [[#fact2 | утверждения №2]]. Так как <tex>Suf^{-1}[j] \leqslant Suf^{-1}[k] = Suf^{-1}[i] - 1</tex>, имеем <tex>LCP(S_{k} , S_{i}) \geqslant LCP(S_{j} , S_{i})</tex> из [[#fact1 | утверждения №1]].
}}

{{Теорема|statement=
Если <tex>lcp[p] = LCP(S_{j-1}, S_{i-1}) > 1</tex>, то <tex>lcp[q] = LCP(S_{k}, S_{i}) \geqslant lcp[p] - 1</tex>
|proof=
<tex>LCP(S_{k}, S_{i}) \geqslant LCP(S_{j} , S_{i})</tex> (по [[#lemma | лемме]]).

<tex>LCP(S_{j} , S_{i}) = LCP(S_{j-1}, S_{i-1}) - 1</tex> (по [[#fact3 | утверждению №3]]).

Значит, <tex>LCP(S_{k}, S_{i}) \geqslant LCP(S_{j-1}, S_{i-1}) - 1</tex>.
}}

==Алгоритм==
Представим алгоритм <tex>\mathrm{buildLCP}</tex> который вычисляет массив <tex>LCP</tex>, зная суффиксный массив. Исходя из выше написанной теоремы, нам не нужно сравнивать все символы, когда мы вычисляем <tex>LCP</tex> между суффиксом <tex>S_{i}</tex> и его соседним суффиксом в массиве <tex>Suf^{-1}</tex>. Чтобы вычислить <tex>LCP</tex> всех соседних суффиксов в массиве <tex>Suf^{-1}</tex> эффективно, будем рассматривать суффиксы по порядку начиная с <tex>S_1</tex> и заканчивая <tex>S_n</tex>.

===Псевдокод===
Алгоритм принимает на вход строку длиной <tex>n</tex>, с добавленным специальным символом <tex>\$</tex> и суффиксный массив этой строки, и возвращает массив <tex>lcp</tex>.
'''int[]''' buildLCP(str: '''string''', suf: '''int[]''')
'''int''' n <tex>=</tex> str.length
'''int[len]''' lcp
'''int[len]''' pos <font color=green> // pos[] {{---}} массив, обратный массиву suf </font>
'''for''' i = 0 '''to''' n - 1
pos[suf[i]] <tex>=</tex> i
'''int''' k <tex>=</tex> 0
'''for''' i = 0 '''to''' n - 1
'''if''' k > 0
k--
'''if''' pos[i] == n - 1
lcp[n - 1] <tex>=</tex> -1
k <tex>=</tex> 0
'''continue'''
'''else'''
'''int''' j <tex>=</tex> suf[pos[i] + 1]
'''while''' max(i + k, j + k) < n '''and''' str[i + k] == str[j + k]
k++
lcp[pos[i]] <tex>=</tex> k
'''return''' lcp

===Асимптотика===
Таким образом, начиная проверять <tex>LCP</tex> для текущего суффикса не с первого символа, а с указанного, можно за линейное время построить <tex>LCP</tex>. Покажем, что построение <tex>LCP</tex> таким образом действительно требует <tex>O(n)</tex> времени. Действительно, на каждой итерации текущее значение <tex>LCP</tex> может быть не более
чем на единицу меньше предыдущего. Таким образом, значения <tex>LCP</tex> в сумме могут увеличиться не более, чем на <tex>2n</tex> (с точностью до константы). Следовательно, алгоритм построит <tex>LCP</tex> за <tex>O(n)</tex>.

== См. также ==
* [[Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки]]

==Источники информации==
* [[wikipedia:ru:Алгоритм_Касаи | Википедия {{---}} Алгоритм Касаи]]
* [http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.118.8221 T.Kasai, G.Lee, H.Arimura, S.Arikawa, K.Park - Linear-Time Longest-Common-Prefix Computation in Suffix Arrays and Its Application]

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Суффиксный массив]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм Касаи и др.