Викиконспекты - Вклад участника [ru]

О нелинейных операторных уравнениях

2013-06-12T22:56:22Z

178.66.99.109:

{{В разработке}}

[[Теория Гильберта-Шмидта|<<]]

Ранее мы рассматривали уравнения вида <tex> y = \lambda x - \mathcal{A} x </tex>, где <tex> y </tex> дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать <tex> \sigma(\mathcal{A}) </tex>.

Сложнее, когда задано уравнение вида <tex>\mathcal{T}(x) = 0</tex> или <tex>\mathcal{T}(x) = x</tex>, где <tex> T: X \xrightarrow[nonlinear]{} X </tex> {{---}} произвольный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>.

В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.

== Простые итерации ==

Решаем уравнение <tex> x = \mathcal{T}(x) </tex>. Составляем последовательность <tex> x_{n+1} = \mathcal{T}(x_n) </tex> и изучаем сходимость последовательности <tex> \{ x_n \} \xrightarrow[]{?} x^* </tex>.

Если <tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор, то <tex> x_{n+1} \to \mathcal{T} x^*, \mathcal{T} x_n \to \mathcal{T} x^* </tex> и, по единственности предела, получаем <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>.

Во втором семестре у нас было определение [[Дифференцируемые_отображения_в_нормированных_пространствах|производной Фреше]]: <tex> \mathcal{T}(x+\Delta x) -\mathcal{T}(x) = \mathcal{T}'_x (\Delta x) + o(\Delta x)</tex>. <tex> \mathcal{T}'_x </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор.

<tex> \frac { \| o(\Delta x) \|} { \| \Delta x \| } \to 0 </tex>

{{Теорема
|about=Локальная теорема о простой итерации
|statement=
Пусть известно, что существует <tex> \overline{x}: \mathcal{T}(\overline{x}) = \overline{x} </tex> и <tex> \| \mathcal{T}(\overline{x})' \| \le q < 1 </tex>.

Тогда существует такой шар <tex> V_{\delta} (\overline x) </tex>, что если <tex> x_0 \in V_{\delta} (\overline x) </tex>, то:
* Метод простых итераций корректно определен: <tex> \mathcal{T}x_n \in V_{\delta} (\overline x), n \ge 0</tex>.
* <tex> x_n \to \overline x </tex>

|proof=

Положим <tex> \varepsilon = \frac {1-q}2 </tex>.

В силу определения производной Фреше существует <tex> \delta > 0: \| \Delta x \| < \delta \implies \| \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}(\overline x) - \mathcal{T}'(\overline x) \cdot \Delta x \| < \varepsilon \| \Delta x \| </tex>.

Убедимся в том, что такая <tex> \delta </tex> подходит в качестве радиуса шара из условия теоремы:

Предположим, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) </tex>.

<tex> \| x_{n+1} - \overline x \| = \| \mathcal{T}x_n - \mathcal{T} \overline x\| \le </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| + \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| </tex>.

Рассмотрим первое слагаемое: <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies \| x_n - \overline x \| < \delta </tex>, а значит, <tex> \| \mathcal{T} x_n - \mathcal{T} \overline x - \mathcal{T}' (\overline x) (x_n - \overline x) \| < \varepsilon \| x_n - \overline x \| </tex>.

Второе слагаемое: <tex> \| \mathcal{T}'(\overline x) (x_n - \overline x)\| \le \| \mathcal{T}'(\overline x) \| \| x_n - \overline x \| \le q \| x_n - \overline x \| </tex>

Складывая полученное: <tex> \varepsilon \| x_n - \overline x \| + q \| x_n - \overline x \| \le (\frac {1-q}2 + q) \delta = \frac {1+q}2 \delta < \delta </tex>.

Окончательно мы получили, что <tex> x_n \in V_\delta (\overline x) \implies x_{n+1} \in V_\delta (\overline x) </tex>, то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что <tex> \| x_{n+1} - \overline x \| \le \frac {1+q}2 \| x_n - \overline x \| \le \hdots \le (\frac {1+q}2)^{n+1} \| x_0 - \overline x \| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, то есть <tex> x_n \to \overline x </tex>.

}}

== Метод Ньютона-Канторовича ==

Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида <tex> \mathcal{T} x = 0, \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывный оператор из <tex> X </tex> в <tex> X </tex>, <tex>X</tex>{{---}} нормированное пространство.

Предположим, что <tex> \mathcal{T} (\overline x) = 0 </tex>. Получим схему метода Ньютона-Канторовича.

<tex> x_0 </tex> {{---}} начальное приближение.

<tex> \mathcal{T} (\overline x) = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) + \hdots </tex>. Обрежем последнюю часть: <tex> 0 = \mathcal{T}(x_0) + \mathcal{T}'(x_0) \cdot (x_0 - \overline x) </tex>.

Обозначим <tex> \Gamma(x_0) = (\mathcal{T}'(x_0))^{-1} </tex>.

<tex> -\mathcal{T}(x_0) = \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) </tex>

Домножим равенство с обеих сторон на <tex> \Gamma(x_0) </tex>:

<tex> -\Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) = \Gamma(x_0) \mathcal{T}'(x_0) \cdot (\overline x - x_0) = \overline x - x_0 </tex>.

<tex> \overline x = x_0 - \Gamma(x_0) \mathcal{T}(x_0) </tex>.

Теперь положим <tex> x_{n+1} = x_n - \Gamma(x_n) \mathcal{T} (x_n) </tex> и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции

<tex> \mathcal{F}(x) = x - \Gamma(x) \mathcal{T} (x)</tex>

<tex> x_{n+1} = \mathcal{F}(x_n) </tex>

Покажем, что <tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>, то есть <tex> q = 0 </tex> из условия локальной теоремы о простой итерации.

{{Утверждение
|statement=<tex> \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>
|proof=

<tex> \| \mathcal{F} (\overline x + \Delta x) - \mathcal{F} (\overline x) \| </tex>

<tex>= \| \overline x + \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) - \overline x + \Gamma(\overline x) \mathcal{T} (\overline x) \| </tex>

<tex>= \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \|</tex>

Запишем <tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex> через значение <tex> \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) </tex>:

<tex> 0 = \mathcal{T}(\overline x) </tex>

<tex> = \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) + \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot (\overline x - (\overline x + \Delta x)) + o(\overline x - (\overline x + \Delta x)) </tex>

<tex>= \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>, откуда <tex> \mathcal{T}(\overline x + \Delta x) = \mathcal{T}'(\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + o(\Delta x) </tex>.

Подставим это равенство в выражение выше: <tex> \| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T} (\overline x + \Delta x) \| </tex>

<tex> =
\| \Delta x - \Gamma(\overline x + \Delta x) \mathcal{T}' (\overline x + \Delta x) \cdot \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x) \cdot o(\Delta x) \| </tex>

<tex> = \| \Delta x - \Delta x + \Gamma(\overline x + \Delta x)) \cdot o(\Delta x) \| </tex>.

Итого: <tex> \| \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) \| \le \| \Gamma(\overline x + \Delta x) \| \| o(\Delta x) \| </tex>, откуда <tex> \mathcal{F}(\overline x + \Delta x) - \mathcal{F}(\overline x) = o(\Delta x) \implies \mathcal{F}'(\overline x) = 0 </tex>

}}

== Теорема Шаудера ==

Рассмотрим другую идею решения <tex> \mathcal{T} x = x </tex>. Оно основывается на том факте, что если функция <tex> f </tex> отображает отрезок <tex> [a, b] </tex> в себя, то существует такая точка <tex> c \in [a, b] : c = f(c) </tex>.

Обобщение этого факта для <tex> \mathbb{R}^n </tex> называется теоремой Брауэра:

{{Теорема
|author=Брауэр
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное выпуклое замкнутое подмножество <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> F </tex> непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя. Тогда <tex> \exists x^*: F(x^*) = x^* </tex>.
}}

Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, <tex> D \subset X </tex> {{---}} ограничено в <tex> X </tex>.
<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} непрерывное отображение <tex> D \mapsto X </tex>. Говорят, что <tex> \mathcal{T} </tex> ''вполне непрерывно'' на <tex> D </tex>, если <tex> \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно в <tex> X </tex>.
}}

{{Теорема
|author=Шаудер
|about=о неподвижной точке
|statement=
Пусть <tex> M </tex> {{---}} ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства <tex> X </tex> и <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывно отображает <tex> M </tex> в себя.

Тогда <tex> \exists x^* \in M : x^* = Tx^* </tex>.
}}

Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэра. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.

=== Вспомогательные факты ===

{{Утверждение
|about=Факт Первый
|statement=
Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex> (<tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists N: \forall n > N, \forall x \in D : \| \mathcal{T}_n(x) - \mathcal{T}(x) \| < \varepsilon</tex>).

Тогда <tex> \mathcal{T} </tex> вполне непрерывен на <tex> D </tex>.

|proof=

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> по равномерной сходимости, <tex> \exists n_0: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_{n_0}(x) \| < \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

По предположению, <tex> \mathcal{T}_{n_0} </tex> {{---}} вполне непрерывный: существует конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> для <tex> \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>.

<tex> \forall y \in \mathcal{T}(D), y = \mathcal{T}x </tex>. Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_{n_0}(x) \in \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex> и подберем такое <tex> y_j </tex>, что <tex> \| y_j - \mathcal{T}_{n_0}x \| < \varepsilon </tex>.

<tex> \| y - y_j \| = \| \mathcal{T}x - y_j \| \le \| \mathcal{T}x - \mathcal{T}_{n_0}x \| + \| \mathcal{T}_{n_0}x - y_j \| </tex>. Первое слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> n_0 </tex> и равномерной сходимости. Второе слагаемое <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> y_j </tex> из <tex> \varepsilon </tex>-сети.

Окончательно, <tex> \exists y_1, \hdots, y_p : \forall y \in \mathcal{T}(D) \exists y_j: \| y - y_j \| < 2 \varepsilon </tex>. Значит, мы получили <tex> 2\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

{{Утверждение
|about=Факт Второй
|statement=

Рассмотрим <tex> \mathcal{T}_n </tex> {{---}} последовательность вполне непрерывных операторов на <tex> D </tex>, <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>.

Тогда множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_n(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}(D) </tex> относительно компактно.

|proof=

По равномерной сходимости, <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists n_0: \forall n > n_0 \forall x \in D: \| \mathcal{T}(x) - \mathcal{T}_n(x) \| < \varepsilon </tex>.

Рассмотрим множество <tex> \mathcal{T}_1(D) \cup \mathcal{T}_2(D) \cup \hdots \cup \mathcal{T}_{n_0}(D) </tex>. Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств.

<tex> \forall \varepsilon > 0 </tex> рассмотрим <tex> \varepsilon </tex>-сеть для этого множества: <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>. Проверим, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> k \varepsilon </tex>-сеть для этого множества, где число <tex> k </tex> определим позже.

Возьмем произвольный <tex> y \in \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами <tex> y </tex>. Пусть, для начала, <tex> y \in \mathcal{T}_n(D) </tex>.

Если <tex> n \le n_0 </tex>, то <tex> \exists y_j : \| y - y_j \| < \varepsilon </tex>.

Пусть <tex> n > n_0, y \in \mathcal{T}_n(D) \implies y = \mathcal{T}_n x</tex>.

<tex> \| y - y_j \| </tex>

<tex> = \| \mathcal{T}_n x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - y_j \| </tex>

<tex> \le \| \mathcal{T}_n x - \mathcal{T} x \| + \| \mathcal{T} x - \mathcal{T}_{n_0} x \| + \| \mathcal{T}_{n_0} x - y_j \| </tex>.

Первые два слагаемых <tex> \le \varepsilon </tex> по равномерной сходимости, третье <tex> \le \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varepsilon </tex>-сети для <tex> n_0 </tex>.

Аналогичную оценку получаем, если <tex> y \in \mathcal{T}(D) </tex>.

В итоге, получили, что <tex> y_1, \hdots, y_p </tex> {{---}} <tex> 3\varepsilon </tex>-сеть для <tex> \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{T}_n(D) \cup \mathcal{T}(D) </tex>.

}}

=== Проекторы Шаудера ===

Основная идея данного доказательства {{---}} построение проекторов Шаудера.

<tex> \mathcal{T} </tex> {{---}} вполне непрерывен на ограниченном <tex> D </tex>, <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} относительно компактно.

<tex> \forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \in M, \hdots, y_p \in M </tex> {{---}} конечная <tex> \varepsilon </tex>-сеть.

Построим следующую функцию: <tex> \forall j = 1, \hdots, p, \forall y \in M: </tex>

<tex> \mu_j(y) = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \| y - y_j \| \ge \varepsilon \\
\varepsilon - \| y - y_j \| & \mbox{if } \| y - y_j \| < \varepsilon \end{cases}
</tex>

Легко проверить, что для любого <tex> j </tex> функция <tex> \mu_j </tex> непрерывна на <tex> M </tex>. {{TODO|t=Легко? Так давайте сделаем это.}}

Поскольку <tex> \{ y_j \} </tex> {{---}} <tex> \varepsilon </tex>-сеть, то <tex> \forall y </tex> все <tex> \mu_j(y) </tex> не могут быть равны нулю одновременно.

Обозначим <tex> S(y) = \sum\limits_{j=1}^p \mu_j(y) </tex>. По предыдущему утверждению, <tex> \forall y: S(y) > 0 </tex>

{{Определение
|definition=

<tex dpi = 140> P_\varepsilon (y) = \sum\limits_{j=1}^p \frac {\mu_j(y)} {S(y)} y_j </tex> {{---}} ''проектор Шаудера''.

}}

Коэффициенты <tex> \frac {\mu_j(y)} {S(y)} </tex> обозначим за <tex> \alpha_j(y) </tex>. Из определения следует, что <tex> \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j(y) = 1 </tex>, то есть, <tex> P_\varepsilon(y) </tex> есть выпуклая комбинация точек <tex> \varepsilon </tex> сети для любого <tex> y </tex>.

<tex> P_\varepsilon(M) \subset \mathcal{L}(y_1, \hdots, y_p) </tex>

Если <tex> M = \mathcal{T}(D) </tex> {{---}} выпуклое множество, то <tex> P_\varepsilon(y) \in M </tex>, как выпуклая комбинация точек <tex> y_1, \hdots, y_p </tex>.

Рассмотрим <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y_j - \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j y \| = \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| </tex>.

Если <tex> \| y_j - y \| > \varepsilon </tex>, то <tex> \alpha_j(y) = 0 </tex>, поэтому, продолжая цепочку неравенств, <tex> \| \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j (y_j - y) \| \le \varepsilon \sum\limits_{j=1}^p \alpha_j \le \varepsilon </tex>.

Получили, что <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, когда <tex> \varepsilon \to 0 </tex>.

Каждый из операторов <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} </tex> конечномерен: <tex> \operatorname{dim} R(P_\varepsilon \mathcal{T}) < +\infty </tex>.

По неравенству, полученному чуть выше, также имеем <tex> \| P_\varepsilon (\mathcal{T} x) - \mathcal{T} x \| \le \varepsilon \, \forall x \in D </tex>.

В итоге мы имеем следующую теорему:

{{Теорема
|statement=
Проекторы Шаудера оператора <tex> \mathcal{T} </tex> равномерно сходятся к <tex> \mathcal{T} </tex>: <tex> P_\varepsilon \mathcal{T} \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>, то есть любой вполне непрерывный оператор является равномерным пределом последовательности конечномерных операторов.
}}

Соединяя с теоремой Брауэра, получим:

<tex> M </tex> {{---}} выпуклое ограниченное множество, оператор <tex> \mathcal{T} : M \to M </tex> является вполне ограниченным.

Определим последовательность <tex> \mathcal{T}_n = P_{\frac 1n} \mathcal{T} </tex>. <tex> \mathcal{T}_n : M \to M_n </tex>, где <tex> M_n </tex> {{---}} конечномерное пространство.

Применяя теорему Брауэра, получаем, что <tex> \forall n: \exists x_n \in M_n: x_n = \mathcal{T}_n x_n = x_n </tex>.

Учитывая, что <tex> M_1 \cup M_2 \cup \hdots </tex> относительно компактно, из <tex> \{ x_n \} </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность: <tex> \exists x_{n_k} \to x^* \in M </tex>.

<tex> \| x^* - \mathcal{T}x^* \| = \| \lim(x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k}) \| </tex>.

По выбору <tex> x_{n_k} </tex>: <tex> x_{n_k} = \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} </tex>.

По равномерной сходимости <tex> \mathcal{T}_n \rightrightarrows \mathcal{T} </tex>: <tex> \| \mathcal{T}_{n_k} x_{n_k} - \mathcal{T} x_{n_k} \| \le \varepsilon </tex>, начиная с <tex> k_0 </tex> для всех <tex> x \in M </tex>.

Откуда, окончательно, получаем, что искомый предел равен <tex> 0 </tex>, и <tex> \| x^* - \mathcal{T} x^* \| = 0 </tex>, и <tex> x^* = \mathcal{T} x^* </tex>. Теорема Шаудера доказана.

[[Файл:Thats_all_forks.jpg|600px]]

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Теория Гильберта-Шмидта

2013-06-12T22:55:43Z

178.66.99.109:

{{В разработке}}

[[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|<<]][[О нелинейных операторных уравнениях|>>]]
__TOC__

В этом параграфе будем иметь дело с Гильбертовым пространством <tex>\mathcal{H}</tex>, но над полем <tex>\mathbb{C}</tex>.

# (над <tex>\mathbb{R}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex>
# (над <tex>\mathbb{C}</tex>): <tex>\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}</tex>

В конечномерном пространстве <tex>\mathbb{R}^n = \{\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\} </tex> (<tex>x_i \in \mathbb{R}</tex>) скалярное произведение двух векторов определялось как <tex>\langle \bar{x}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_n y_n</tex>.

В <tex>\mathbb{C}^n = \{\langle z_1, z_2, \ldots, z_n \rangle\}</tex> (<tex>z_i \in \mathbb{C}</tex>) же, <tex> \langle \bar{z}, \bar{y} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_i \overline{y_i}</tex>.

Комплексное сопряжение добавлено для того, чтобы выполнялась первая аксиома скалярного произведения: <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex>:
<tex>\langle \overline{z}, \overline{z} \rangle = \sum\limits_{k=1}^n z_k \overline{z_k} = \sum\limits_{k=1}^n |z_k|^2 \in \mathbb{R}, > 0</tex>.

Нас будут интересовать только линейные ограниченные операторы <tex>\mathcal{A} : \mathcal{H} \to \mathcal{H}</tex>.

{{Определение
|definition=Оператор <tex>\mathcal{A}</tex> в гильбертовом пространстве называется ''самосопряжённым'' (<tex>\mathcal{A} = \mathcal{A}^*</tex>), если <tex>\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle</tex>.
}}

Посмотрим, что же такое ''самосопряжённость'' для конечномерного оператора в <tex>\mathbb{C}^n</tex>. В <tex>\mathbb{C}^n</tex> линейный оператор представляет из себя матрицу <tex>A = \{a_{ij}\}</tex>.

{{Утверждение
|statement=Оператор <tex>\mathcal{A} : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n</tex> самосопряжён <tex>\iff</tex> <tex>A = \overline{A^T}</tex>.
|proof=<tex>Az = \{a_{ij}\} \cdot \left(\begin{array}{c}z_1\\\vdots\\z_n\end{array}\right) = </tex> <tex>\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)_{i=1..n}</tex>.

<tex>\langle \mathcal{A}z, y \rangle = \langle Az, y\rangle = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n (Az)_i \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} z_j\right)\overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij} z_j \overline{y_i} = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n \overline{\overline{a_{ij}}}\cdot\overline{y_i}\right)z_j = </tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^n z_j \overline{\left(\sum\limits_{i=1}^n\overline{a_{ij}}y_i\right)} = </tex> <tex>\langle z, By \rangle = </tex> <tex>\langle z, \overline{A^T} y \rangle</tex>
}}

<tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \langle x, \mathcal{A}x \rangle </tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle = \overline{\langle x, \mathcal{A}x \rangle} \implies \langle \mathcal{A}x, x\rangle \in \mathbb{R}</tex>, так как если комплексное число совпадает со своим сопряжением, то его мнимая часть равна нулю.

Рассмотрим <tex>\lambda = \mu + i\nu \in \mathbb{C}</tex>, <tex>\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}</tex>.

<tex>\| (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x \|^2 = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x+i\nu x \rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + \langle(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, i\nu x\rangle + \langle i\nu x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> [<tex>\mu \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый
<tex> (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>] <tex> = \|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2 + (-i\nu)\langle (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle + i\nu\langle x, (\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\rangle = </tex> <tex>\|(\mu\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|^2 + |\nu|^2\cdot\|x\|^2</tex>

Итого: <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый, а <tex>\lambda \in \mathbb{C}</tex>, то <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>.
|proof=Доказательство разбивается на два случая: <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex> и <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>

* Случай 1. <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>:

<tex>\lambda \in \mathbb{R} \implies (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^* = \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex>

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^\bot</tex>

* Случай 2. <tex>\lambda \notin \mathbb{R}</tex>:

из неравенства <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex> при <tex>x \ne 0</tex> вытекает <tex>\operatorname{Ker}(\overline{\lambda}\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, так как для <tex>\lambda \notin \mathbb R</tex>, <tex>|\nu| \ne 0</tex>.

<tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = (\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})^*)^\bot = \mathcal{H}</tex>.
}}

== Теоремы о спектре самосопряженного оператора ==

=== Вещественность спектра ===

{{Теорема
|statement = Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряженный, то <tex> \sigma (\mathcal{A}) \subset \mathbb{R} </tex>.
|proof = Проверим, что если <tex> \operatorname{Im} \lambda \ne 0</tex>, то <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>.
<tex>\lambda = \mu + i\nu</tex>, <tex>\nu\ne0</tex>, <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\| > 0</tex>

<tex>\operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{0\}</tex>, <tex>\operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \mathcal{H}</tex> (всюду плотно в <tex> \mathcal H </tex>).

С другой стороны, неравенство <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\|\ge|\nu|\cdot\|x\|</tex> даёт априорную оценку <tex>y=(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x</tex>, откуда следует, что
<tex>R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex> — замкнуто.

Значит, <tex>\mathcal{H} = R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>

<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> — биективен на <tex>\mathcal{H}</tex>. <tex>\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|</tex> гарантирует, что обратный оператор ограничен, и, как следствие, непрерывен. Значит, <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

}}

=== Критерии вхождения в спектр и резольвентное множество ===

{{Теорема
|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор. Тогда
1. <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A}) \iff \exists m > 0 : \forall x \in \mathcal{H} : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\|</tex>
2. <tex>\lambda \in \sigma(\mathcal{A}) \iff \exists x_n : \|x_n\| = 1 : \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x_n\| \to 0 </tex>
|proof='''Замечание''': второе свойство означает, что спектр самосопряжённого оператора состоит из почти собственных чисел

Докажем первый пункт

<tex>\implies</tex>: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>, то есть резольвентный оператор определен.

<tex>\left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \le \left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\| \| (\lambda I - A) x\|</tex>

Возьмем <tex>m=\frac{1}{\left\| \frac{1}{\lambda I - A} \right\|}</tex>, тогда:

<tex>\| (\lambda I - A) x\| \ge m \left\| \frac{1}{\lambda I - A} (\lambda I - A) x\right\| \ge m \|x\|</tex>

<tex>\Longleftarrow</tex>: Существование резольвентного оператора, определенного на <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) </tex> следует из [[Теорема Банаха об обратном операторе#invlb|одной из теорем об обратных операторах]]. Покажем, что <tex> R(\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A}) = \mathcal{H} </tex>. По одному из предыдущих утверждений, <tex>\mathcal{H} = \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>. Поскольку <tex> \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge m\|x\| </tex>, то <tex> \operatorname{Ker} (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \{ 0 \} </tex>. Так как оператор <tex> \lambda\mathcal{I}-\mathcal{A} </tex> допускает, по условию, априорную оценку решений, то <tex> R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}) = \operatorname{Cl} R(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})</tex>, откуда следует, что резольвентный оператор непрерывен и определен на всем <tex> \mathcal{H} </tex>.

Второй пункт — просто логическое отрицание первого.
}}

Выше мы убедились, что <tex>\langle \mathcal{A}x, x \rangle \in \mathbb{R}</tex>

{{Определение
|definition=<tex>m_- = \inf\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\| = 1} \langle \mathcal{A}x, x \rangle</tex>
}}

Очевидно, что <tex>m_- \le m_+</tex>

<tex>\forall x \in \mathcal{H} : x = \|x\| \frac{x}{\|x\|} = \|x\|z</tex>, где <tex>\|z\| = 1</tex>:
<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle = \|x\|^2 \langle\mathcal{A}z, z\rangle \le m_+ \|x\|^2</tex>

Аналогично, <tex> \langle\mathcal{A}x, x\rangle \ge m_- \|x\|^2 </tex>

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> — самосопряженный оператор. Тогда:
# <tex>\sigma(\mathcal{A}) \subset [m_-; m_+]</tex>
# <tex>m_+, m_- \in \sigma(\mathcal{A})</tex>
|proof=
'''Пункт 1.''' Докажем, что из того, что <tex>\lambda > m_+</tex> следует, что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>. Аналогично докажем для <tex>m_-</tex>

Нужно проверять только <tex>\lambda \in \mathbb{R}</tex>

Пусть <tex>\lambda > m_+</tex>. Проверим, что выполняется критерий вхождения в <tex>\rho(\mathcal{A})</tex> из предыдущей теоремы

<tex>(\lambda - m_+) \cdot \|x\|^2 =</tex> <tex>(\lambda - m_+) \langle x, x \rangle =</tex> <tex>\langle \lambda x, x\rangle - \langle m_+x, x\rangle \le </tex> <tex>\langle \lambda x, x \rangle - \langle \mathcal{A}x, x \rangle = </tex> <tex>\langle (\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \le</tex> [неравенство Шварца] <tex>\le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \cdot \|x\|</tex>

Итого: <tex>(\lambda-m_+)\|x\| \le \|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \implies \lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>

'''Пункт 2.''' Докажем, что <tex>m_+ \in \sigma(\mathcal{A})</tex>

Проверим критерий принадлежности спектру из предыдущей теоремы.

<tex>m_+ = \sup\limits_{\|x\|=1} \langle \mathcal{A}x, x\rangle</tex>

По определению <tex>\sup</tex> подбираются <tex>x_n : \|x_n\| = 1</tex>, <tex>\langle \mathcal{A}x_n, x_n\rangle \to m_+</tex>

<tex>\langle \mathcal{A}x, x\rangle \le m_+ \cdot \langle x, x\rangle \iff \langle (m_+\mathcal{I}-\mathcal{A})x, x\rangle \ge 0</tex>

<tex>\mathcal{L} = m_+\mathcal{I} - \mathcal{A}</tex>, <tex>\mathcal{L}=\mathcal{L}^*</tex>

Далее будем использовать обозначение <tex>[x, y] = \langle \mathcal{L}x, y\rangle</tex>.

Так как <tex>\langle \mathcal{L}x, x \rangle \ge 0</tex>, мгновенно проверяем, что <tex>[\_, \_]</tex> удовлетворяет аксиомам скалярного произведения, а значит, для <tex>[\_, \_]</tex> выполняется неравенство Шварца:

<tex>|[x, y]|^2 \le [x, x] \cdot [y, y] </tex>

Надо: <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>

<tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n \rangle \to 0</tex>

<tex>|\langle \mathcal{L}x, y \rangle|^2 \le \langle\mathcal{L}x, x\rangle \cdot \langle \mathcal{L}y, y \rangle</tex>

Подставим <tex>x = x_n</tex>, <tex>y = \mathcal{L}x_n</tex>:

<tex>|\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> <tex>\langle \mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2x_n, \mathcal{L}x_n\rangle </tex>

<tex>\|\mathcal{L}x_n\|^4 = |\langle\mathcal{L}x_n, \mathcal{L}x_n\rangle|^2 \le</tex> [по неравенству выше] <tex>\langle\mathcal{L}x_n, x_n\rangle \cdot \langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n\rangle</tex>. Первый множитель стремится к нулю. Проверив ограниченность второго, убедимся, что <tex>\mathcal{L}x_n \to 0</tex>.

<tex>\langle \mathcal{L}^2 x_n, \mathcal{L}x_n \rangle \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}^2 x_n\| \cdot \|\mathcal{L}x_n\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{L}\|^3 \cdot \|x_n\|^2 = </tex> <tex>\|\mathcal{L}^3\| < M</tex>

}}

=== Теорема о спектральном радиусе ===

{{Утверждение
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый оператор, то <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \|\mathcal{A}\|</tex>
|proof=Ранее мы доказывали, что <tex>r_\sigma(\mathcal{A}) = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\|\mathcal{A}^n\|}</tex>

Если проверить, что <tex>\|\mathcal{A}^{2^n}\| = \|\mathcal{A}\|^{2^n}</tex>, то, по предыдущему утверждению, теорема будет верна: <tex>\sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}^{2^n}\|} = \sqrt[2^n]{\|\mathcal{A}\|^{2^n}} = \|\mathcal{A}\|</tex>

Очевидно, достаточно проверить это утверждение только для <tex>n = 1</tex>. Остальное получится автоматически.

<tex>\langle\mathcal{A}x, \mathcal{A}x \rangle = \|\mathcal{A}x\|^2</tex>

По самосопряжённости:

<tex> = \langle x, \mathcal{A}^2x \rangle \le</tex> [по неравенству Шварца] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\|\cdot\|x\| \le</tex> [<tex>\|x\| \le 1</tex>] <tex>\le \|\mathcal{A}^2x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\| \cdot \|x\| \le </tex> <tex>\|\mathcal{A}^2\|</tex>

Итого: <tex>\|\mathcal{A}\|^2 \le \|\mathcal{A}^2\|</tex>. Осталось доказать обратное неравенство.

<tex>\|\mathcal{A}^2 x \| = </tex> <tex>\|\mathcal{A}(\mathcal{A}x)\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{A}x\| \le</tex> <tex>\|\mathcal{A}\|^2</tex>
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — компактный, то <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> состоит только из счётного числа собственных чисел <tex>\lambda_i</tex>. Обозначим за <tex>M_{\lambda_i} </tex> собственные подпространства. В силу самосопряжённости, <tex>M_{\lambda_i} \perp M_{\lambda_j}</tex>.

Собственные подпространства конечномерны (<tex>\dim M_\lambda < +\infty</tex>). Можно считать, что в каждом из них определён ортонормированный базис.

== Теорема Гильберта-Шмидта ==

{{Теорема
|author=Гильберт, Шмидт
|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор в гильбертовом пространстве <tex>\mathcal{H}</tex>, а <tex>M_{\lambda_i}</tex> — его (оператора) собственные подпространства, то <tex>\mathcal{H} = M_{\lambda_1} \oplus M_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus M_{\lambda_n} \oplus \cdots </tex>
|proof=Обозначим за <tex>M = \bigoplus\limits_n M_{\lambda_n}</tex>, <tex>M^\bot</tex> — ортогональное дополнение <tex>M</tex> до <tex>\mathcal{H}</tex> (<tex>\mathcal{H} = M \oplus M^\bot</tex>).

Нужно проверить, что <tex>M^\bot = \{0\}</tex>

Элементарно проверяется, что <tex>\forall M_\lambda : \mathcal{A}(M_\lambda) \subset M_\lambda</tex>:
<tex>\forall x \in M_\lambda : \mathcal{A}x = \lambda x \in M_\lambda</tex>

Проверим, что <tex>\mathcal{A}(M^\bot) \subset M^\bot</tex>: <tex>\forall x \in M^\bot : \mathcal{A}x \perp</tex> любому <tex>M_\lambda \implies \mathcal{A}x \in M^\bot</tex>

<tex>y \in M_\lambda : \langle \mathcal{A}x, y\rangle = \langle x, \mathcal{A}y\rangle = \langle x, \lambda y \rangle = |\lambda|\langle x, y \rangle</tex>, <tex>x\in M^\bot</tex>, <tex>\langle x, y \rangle = 0</tex>

Значит, <tex>\mathcal{A}(M^\bot)\subset M^\bot</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{A}_0 = \mathcal{A}|_{M^\bot}</tex>

<tex>M^\bot</tex> — гильбертово пространство, <tex>\mathcal{A}_0</tex> — самосопряжённое, <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = \|\mathcal{A}_0\|</tex>

Но все собственные числа <tex>\mathcal{A}</tex> задействованы в <tex>M_\lambda</tex> <tex>r_\sigma(\mathcal{A}_0) = 0 \implies \|\mathcal{A}_0\| = 0 \implies</tex> оператор тривиальный <tex>M^\bot = \operatorname{Ker} \mathcal{A}_0</tex>

Если бы у <tex>\mathcal{A}</tex> было нетривиальное ядро, то оно стало бы собственным подпространством, значит, было бы задействовано в <tex>\bigoplus</tex>. Значит, <tex>\operatorname{Ker} \mathcal{A}_0 = \{0\}</tex>.
}}

Если <tex>\mathcal{A}</tex> — самосопряжённый компактный оператор, то ОНС базис <tex>\mathcal{H}</tex> можно построить из собственных векторов <tex>\varphi_1, \ldots \varphi_n, \ldots</tex>.

Любой <tex>x \in \mathcal{H}</tex> можно разложить в ряд Фурье по свойствам гильбертова пространства. Значит,

<tex>\mathcal{A}x = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle x, \varphi_n\rangle \mathcal{A}\varphi_n = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n \langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Получаем структуру сопряжённого компактного оператора: <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex> (<tex>\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A}</tex> непрерывно обратим) <tex>\implies y = \sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>, <tex>y = \lambda x - \mathcal{A}x</tex>

<tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \langle y, \varphi_n\rangle \varphi_n = \sum \lambda\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n - \sum\lambda_n\langle x, \varphi_n\rangle\varphi_n = \sum(\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle \varphi_n</tex>.

Можно приравнять коэффициенты: <tex>\langle y, \varphi_n\rangle = (\lambda-\lambda_n)\langle x, \varphi_n\rangle</tex>.

<tex>\langle x, \varphi_n\rangle = \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}</tex> (в знаменателе нуля быть не может, потому что <tex>\lambda \in \rho(\mathcal{A})</tex>).

<tex>R_\lambda(y) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\langle y, \varphi_n\rangle}{\lambda-\lambda_n}\varphi_n</tex>.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Альтернатива Фредгольма — Шаудера

2013-06-12T22:54:45Z

178.66.99.109:

[[Базис Шаудера |<<]][[Теория Гильберта-Шмидта|>>]]

__TOC__

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

Фредгольмом в начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

Пусть <tex>X</tex> — <tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon X \to X</tex>, <tex> A </tex> — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: <tex>y</tex> дано, когда <tex>Tx=y</tex> разрешимо относительно <tex>x</tex>?

<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Будем считать <tex> \lambda = 1 </tex>

{{Утверждение
|statement=
<tex>A</tex> {{---}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>
|proof=
<tex>T = I - A</tex>

<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>.

Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.

Допустим, что <tex>\dim \operatorname{Ker}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Так как <tex>A</tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A</tex> — компактный, то <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A</tex> компактен, тогда <tex> R(T) </tex> замкнуто.
|proof=
[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\forall x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T)</tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка.

Пусть <tex>y \in R(T) \Rightarrow Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \Rightarrow T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \Rightarrow \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>.

<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>.

Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>.

В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>.

<tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>.

Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>.

То есть, <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>.

<tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex>

Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.
}}

Докажем теперь два утверждения.

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.
Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.
|proof=
Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием.

<tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex>

Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>.

<tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>.

Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>.

Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго).
<tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>.

Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса:

<tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex>

Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>.

<tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>.

Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex> T^{n+p-1}(z) = T^{n+p}(x_{n+p}) + T^{n+p-1}(Ax_n) </tex>.

Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) </tex>.

Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

}}

{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.
Тогда <tex> R(T) = X \Leftrightarrow \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.
|proof=
<tex> \Longrightarrow </tex>:

Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>.

<tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>.

Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению.

Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>.

Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> \Longleftarrow </tex>:

Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>.

<tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>.

Тогда, применив первый пункт к <tex>T^*</tex>, получим <tex> \operatorname{Ker} T^* = {0} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.
}}

== Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

{{Теорема
|about=
альтернатива Фредгольма-Шаудера
|statement=
Пусть <tex>A:X \to X</tex> — компактный оператор и <tex>T = A - \lambda I</tex>. Тогда возможно только две ситуации:
# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex>
# <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>
|proof=
# <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>, то есть <tex> R(T) = X </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда <tex> y = Tx </tex> действительно разрешимо для всех <tex> y </tex>
# <tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\} </tex>, по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T) </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе]], <tex> \operatorname{Cl} R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>. Рассмотрим <tex> y = Tx </tex>, очевидно, оно разрешимо, когда <tex> y \in R(T) </tex>, то есть, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp </tex>.
}}

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==
Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.

# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.
# <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:

{{Теорема
|statement=
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0.
|proof=
Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>.

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.

То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>.
Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})</tex>
Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Базис Шаудера

2013-06-12T22:53:50Z

178.66.99.109:

[[Компактный оператор |<<]][[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|>>]]

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.

{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве <tex>X</tex> называется множество его элементов <tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots</tex> такое, что у любого <tex>x</tex> в <tex>X</tex> существует единственное разложение <tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i</tex>.
}}

Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в <tex>L_p(E)</tex> и <tex>C[a, b]</tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}

Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>

Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.

В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:

<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>

Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.

Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.

Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
}}

Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>

Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.

По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.

Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.

<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.

<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>

<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.

Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\Rightarrow</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).

Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Компактный оператор

2013-06-12T22:52:54Z

178.66.99.109:

[[ Сопряженный оператор | <<]][[ Базис Шаудера | >>]]

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
{{Определение
|definition=
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно
}}
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''', если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное подмножество <tex> X </tex> в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}

Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

=== Пример ===

Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
Пусть <tex> K(t, s) </tex> — непрерывно на <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено: <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.

Введем оператор <tex>A: C[0,1] \to C[0,1]</tex> как <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.

Зададим норму <tex> \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| </tex>.

{{Утверждение
|statement=
Оператор <tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex> — компактный.
|proof=
<tex> | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| </tex>

<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>

Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:

<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.

Рассмотрим <tex>V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}</tex> и <tex>A(V)</tex>.

<tex>\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 </tex>

<tex>\|Ax\| \le M</tex>

<tex>|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|</tex>

<tex>K(u, z)</tex> непрерывна на компакте <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex>, следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.

Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
}}

== Критерий проверки компактности ==

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, <tex>\mathcal{I}x = x</tex> — не компактен.

Для определения компактности используется [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|критерий Хаусдорфа]]: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть.

== Произведение компактных операторов ==
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>, <tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция). Тогда:

# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof = <wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}$. Проверим, что $C(V)$ — относительно компактное в $Z$, то есть надо проверить, что оно вполне ограниченно.

$A$ — компактен, то есть $W = A(V)$ относительно компактно в $Y$, поэтому $\forall \varepsilon > 0 \exists y_1 \dots y_p \forall y \in W \exists j: \| y - y_j\| \le \varepsilon$.

Обозначим $z_j = B(y_j) \in Z$. Рассмотрим произвольное $z \in C(V)$: $z = By, y = Ax, x \in V$.

$\|z - z_j\| = \|B(y - y_j)\| \le \|B\|\|y - y_j\| \le \varepsilon \|B\|$. $B$ — ограничен, таким образом, множество $\{B(y_j)\}$ будет являться $\|B\|\varepsilon$-сетью для $C(V)$, то есть $C$ будет относительно компактен.
</wikitex>
}}

{{Утверждение
|about=следствие
|statement=
Если <tex> B </tex> — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
|proof=
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
}}

== Компактность сопряженного оператора ==
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.
|proof=
(Стырено у прошлого курса)

По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.

1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1\</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.

2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.
По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.
Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>.

3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.
Норма
:<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>
не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна.

4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>:
:<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>.

5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>.

Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>.

6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:
<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>.

7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.
Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.

Таким образом, теорема доказана.
}}

{{Утверждение
|statement =
Пусть <tex> A </tex> — компактный, тогда <tex> R(A) </tex> — сепарабельно (то есть, в <tex> R(A) </tex> существует счетное всюду плотное подмножество).
|proof =
<tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| < n \} </tex> — счетное объединение шаров.

<tex> R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) </tex>

<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.

Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств — сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
}}

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]

Сопряжённый оператор

2013-06-12T22:51:00Z

178.66.99.109:

{{В разработке}}

[[Компактный оператор | >>]]

Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.

{{Определение
|definition=
<tex> E^* </tex> {{---}} множество линейных непрерывных функционалов над <tex> E </tex>, его называют пространством, сопряженным к <tex> E </tex>.<br>
Аналогично, <tex> E^{**} </tex> {{---}} пространство, сопряженное к <tex> E^* </tex>.
}}

== Естественное вложение ==
{{Утверждение
|statement=
Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.
|proof=
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.

<tex> F </tex> линейно: <tex> F_{\alpha x_1 + \beta x_2} = \alpha F_{x_1} + \beta F_{x_2} </tex>.

<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.

С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.

<tex> | F_{x_0} (f_0) | = f_0 (x_0) = \| x_0 \|, \| f_0 \| = 1 </tex>, потому получаем, что <tex> \| F_{x_0} \| \ge \| x_0 \| \implies \| F_{x_0} \| = \| x_0 \| </tex>.

Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}

{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}

Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).

<tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным.

== Сопряженный оператор ==

Пусть оператор <tex> A </tex> действует из <tex> E </tex> в <tex> F </tex>, и функционал <tex> \varphi </tex> принадлежит <tex> F^* </tex>.

Рассмотрим <tex> f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| </tex>.

Получили новый функционал <tex> f </tex>, принадлежащий <tex> E^* </tex>. <tex> \varphi \mapsto \varphi A </tex>.

<tex> \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* </tex>. <tex> A^* </tex> {{---}} '''сопряженный оператор''' к <tex> A </tex>.

{{Теорема
|statement=
Если <tex> A </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, то <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.
|proof=
Возьмем <tex> x \in E, \varphi \in F^* </tex>.

<tex> | A^* (\varphi, x) | = | \varphi (Ax) | \le \| A \| \| \varphi \| \| x \| </tex>.

Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем, что <tex> \| A^* \| \ge \| A \| </tex>, и, окончательно, <tex> \| A^* \| = \| A \| </tex>.

}}

== Примеры сопряженных операторов ==

Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.

Поскольку <tex> x \mapsto \varphi (Ax) </tex> также является линейным функционалом <tex> H \to H </tex>, то <tex> \varphi (Ax) = \langle Ax, z \rangle = \langle x, y \rangle </tex>, где <tex> y </tex> не зависит от <tex> x </tex>.

Имеем отображение <tex> z \mapsto y </tex>, тогда <tex> y = A^*(z) </tex>, и окончательно:

<tex> \langle Ax, z \rangle = \langle x, A^*z \rangle </tex>.

В гильбертовом пространстве <tex> H </tex> сопряженный оператор {{---}} тот оператор, который позволяет писать равенство выше.

{{Определение
|definition=
Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex>
}}

В случае <tex> \mathbb{R}^n </tex> (частный случай <tex> H </tex>) оператор <tex> A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </tex> представляет собой матрицу размером <tex> n \times n </tex>. Сопряженный к <tex> A </tex> оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: <tex> A^* = A^T </tex>. Для симметричной матрицы <tex> A </tex> получается <tex> A^* = A^T = A </tex>, то есть, если <tex> A </tex> {{---}} симметричная матрица, то <tex> A </tex> {{---}} самосопряженный оператор.

Рассмотрим теперь пространство <tex> E = L_p [0, 1] </tex>.

Пусть <tex> K(u, v) : [0, 1] \times [0, 1] \to \mathbb{R} </tex> {{---}} непрерывная функция на <tex> [0, 1] \times [0, 1] </tex>, <tex> x \in E </tex>.

'''Интегральный оператор''' <tex> A </tex>, действующий из <tex> L_p [0, 1] </tex> в <tex> L_p [0, 1] </tex> определяется так: <tex> A(x, s) = (Ax)(s) = \int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt </tex>. <tex> Ax \in E </tex>.

Построим сопряженный оператор:

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>,

<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').

<tex> L_p^* = L_q </tex>.

<tex> A^*(\varphi, x) = \varphi (Ax) = \int\limits_0^1 y(s) (Ax)(s) ds = \int\limits_0^1 y(s) (\int\limits_0^1 K(s, t) x(t) dt) ds = </tex> (по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования) <tex> = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>

Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

== Ортогональное дополнение ==

Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):

{{Определение
|definition=
Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.

<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>.

Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.
}}

{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=

Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>.
# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}

== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\subset</tex>:

<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>.

Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.

<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.

<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>

<tex>\supset</tex>:

Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>:

<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие.

Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.

Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>

Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}

=== Теорема 2 ===

{{Теорема
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.

Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.

2) Докажем теперь обратное включение:

<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.

Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.

Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.

Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>.

Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.

Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>.

Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.

Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Теперь перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным.

Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>.

<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>

<tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>.

<tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
}}

Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.

Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>.

Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>.

В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.

[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]