Дисперсия случайной величины

2021-03-03T19:19:07Z

178.70.161.164: Изменил ссылку на статью про математическое ожидание, до этого переходила на "Дискретная случайная величина"

{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{---}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{---}} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}

Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].

Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

{{Утверждение
|statement=В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
|proof=<tex>D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex>
<tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 </tex>
}}

== Линейность ==

{{Теорема
|statement=
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
|proof=
* Из определения:
*: <tex>D(\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =</tex>

: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>

* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины.
:Действительно,

: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =</tex> <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
}}

== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0</tex>
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]]
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{---}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} константа.
== Связь с центральным моментом ==
{{Определение
|id = def1
|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.
}}
Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.
Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.

== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
{{Задача
|definition=Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.
}}
<tex> \xi(i) = i </tex>

Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5</tex>

Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>

== См. также ==
*[[Ковариация случайных величин|Ковариация случайных величин]]
*[[Корреляция случайных величин|Корреляция случайных величин]]
== Источники информации ==
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ, 3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 {{---}} стр. 68.
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия {{---}} Дисперсия случайной величины]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Variance Wikipedia {{---}} Variance]
*[http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/3.asp#2 EXPonenta.ru {{---}} Числовые характеристики случайных величин]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Дисперсия случайной величины