Дерево Фенвика

2020-10-20T17:59:13Z

178.70.63.225: /* Реализация */

== Описание структуры ==
[[Файл:Bit.jpg|thumb|300px|По горизонтали — индексы массива <tex>T</tex> <br/> (<tex>T_i</tex> является суммой элементов массива <tex>A</tex>, индексы которых заштрихованы),<br/> по вертикали — индексы массива <tex>A</tex>]]
'''Дерево Фе́нвика''' (англ. ''Binary indexed tree'') — структура данных, требующая <tex> O(n) </tex> памяти и позволяющая эффективно (за <tex> O(\log n) </tex>) выполнять следующие операции:
* изменять значение любого элемента в массиве,
* выполнять некоторую [[Ассоциативная_операция |ассоциативную]], [[Абелева_группа |коммутативную]], [[Группа |обратимую операцию]] <tex> \circ </tex> на отрезке <tex> [i, j] </tex>.

Впервые описано Питером Фенвиком в 1994 году.

Пусть дан массив <tex> A = [a_0, a_1, ... , a_{n - 1}]</tex>.
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k</tex>, где <tex> i = 0 .. n - 1 </tex> и <tex> F(i) </tex> — некоторая функция, от выбора которой зависит время работы операций над деревом. Рассмотрим функцию, позволяющую делать операции вставки и изменения элемента за время <tex> O(\log n) </tex>. Она задается простой формулой: <tex> F(i) = i \And (i + 1) </tex>, где <tex> \And </tex> — это операция побитового логического <tex>AND</tex>. При <tex>AND</tex> числа и его значения, увеличенного на единицу, мы получаем это число без последних подряд идущих единиц.

Эту функцию можно вычислять по другой формуле: <tex> F(i) = i - 2^{h(i)} + 1, </tex> где <tex> h(i) </tex> — количество подряд идущих единиц в конце бинарной записи числа <tex> i </tex>. Оба варианта равносильны, так как функция, заданная какой-либо из этих формул, заменяет все подряд идущие единицы в конце числа на нули.

== Запрос изменения элемента ==
Нам надо научиться быстро изменять частичные суммы в зависимости от того, как изменяются элементы. Рассмотрим как изменяется массив <tex>T</tex> при изменении элемента <tex>a_k</tex>.
{{Лемма
|statement=
Для пересчёта дерева Фенвика при изменении величины <tex>a_{k}</tex> необходимо изменить элементы дерева <tex>T_{i}</tex>, для индексов <tex>i</tex> которых верно неравенство <tex>F(i) \leqslant k \leqslant i</tex> .
|proof=
<tex> T_i =\sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k , i = 0 .. n - 1 \Rightarrow</tex> необходимо менять те <tex>T_i</tex>, для которых <tex>a_{k}</tex> попадает в <tex>T_i \Rightarrow</tex> необходимые <tex> i </tex> удовлетворяют условию <tex>F(i) \leqslant k \leqslant i</tex>.
}}

{{Лемма
|statement= Все такие <tex> i </tex>, для которых меняется <tex>T_i</tex> при изменении <tex>a_k</tex>, можно найти по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, где <tex> \mid </tex> — это операция побитового логического <tex> OR </tex>.
|proof=Из доказанной выше леммы следует, что первый элемент последовательности само <tex> k </tex>. Для него выполняется равенство, так как <tex> F(i) \leqslant i </tex>. По формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> мы заменим первый ноль на единицу. Неравенство при этом сохранится, так как <tex>F(i)</tex> осталось прежним или уменьшилось, а <tex> i </tex> увеличилось. <tex> F(i) </tex> не может увеличиться, так как функция <tex> F </tex> заменяет последние подряд идущие единицы числа <tex> i </tex> на нули, а по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> у нового значения <tex> i </tex> увеличивается количество единиц в конце, что не может привести к увеличению <tex> F(i) </tex>. Докажем от противного, что нельзя рассматривать значения <tex> i </tex>, отличные от тех, которые мы получили по формуле. Рассмотрим две различные последовательности индексов. Первая последовательность получена по формуле, вторая — некоторая последовательность чисел превосходящих <tex>k</tex>. Возьмём число <tex> j </tex> из второй последовательности, которого нет в первой последовательности. Пусть <tex>F(j) \leqslant k </tex>. Уберём у <tex>j</tex> все подряд идущие единицы в конце двоичной записи, столько же цифр уберём в конце числа <tex>k</tex>. Обозначим их как <tex>j_{0}</tex> и <tex>k_{0}</tex>. Чтобы выполнялось условие <tex>F(j) \leqslant k </tex>, должно выполняться неравенство <tex>j_{0} \leqslant k_{0}</tex>. Но если <tex>j_{0} < k_{0}</tex>, то и <tex>j \leqslant k</tex>, что противоречит условию <tex>j > k</tex>. Значит, <tex>j_{0} = k_{0}</tex>. Но тогда <tex>j</tex> возможно получить по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, следовательно, <tex>F(j) > k </tex>. Получили противоречие: <tex>j</tex> можно вычислить по формуле, а это значит, что оно содержится в первой последовательности. Таким образом, нужные элементы можно искать по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>.
}}

Заметим, что <tex>F(i)</tex> возрастает немонотонно. Поэтому нельзя просто перебирать значения от <tex> k </tex>, пока не нарушается условие. Например, пусть <tex> k = 3 </tex>. При данной стратегии на следующем шаге (<tex> i = 4</tex>) нарушится условие и мы прекратим пересчитывать <tex> T_i </tex>. Но тогда мы упускаем остальные значения <tex>i</tex>, например <tex> 7 </tex>.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#EEE;padding:3px 10px"| <tex>i</tex>, десятичная запись
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>2</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>3</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>4</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>5</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>6</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>7</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>8</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>9</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>10</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:3px 10px"| <tex>i</tex>, двоичная запись
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0001</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0010</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0011</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0100</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0101</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0110</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0111</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1001</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1010</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:3px 10px"| <tex>F(i)</tex>, двоичная запись
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0010</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0100</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0100</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0110</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1000</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>1010</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:3px 10px"| <tex>F(i)</tex>, десятичная запись
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>2</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>4</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>4</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>6</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>0</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>8</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>8</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:3px 10px"| <tex>10</tex>
|}

Все <tex>i</tex> мы можем получить следующим образом: <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>. Следующим элементом в последовательности будет элемент, у которого первый с конца ноль превратится в единицу. Можно заметить, что если к исходному элементу прибавить единицу, то необходимый ноль обратится в единицу, но при этом все следующие единицы обнулятся. Чтобы обратно их превратить в единицы, применим операцию <tex>OR</tex>. Таким образом все нули в конце превратятся в единицы и мы получим нужный элемент. Для того, чтобы понять, что эта последовательность верна, достаточно посмотреть на таблицу.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i_{prev}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 011 \ldots 1</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i_{prev} + 1</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 100 \ldots 0</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i_{next}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 111 \ldots 1</tex>
|}

Несложно заметить, что данная последовательность строго возрастает и в худшем случае будет применена логарифм раз, так как добавляет каждый раз по одной единице в двоичном разложении числа <tex>i</tex>.

Напишем функцию, которая будет прибавлять к элементу <tex>a_i</tex> число <tex>d</tex>, и при этом меняет соответствующие частичные суммы. Так как наш массив содержит <tex>N</tex> элементов, то мы будем искать <tex>i_{next}</tex> до тех пор, пока оно не превышает значение <tex>N</tex>.

'''function''' modify(i, d):
'''while''' i < N
t[i] += d
i = i | (i + 1)

Часто можно встретить задачу, где требуется заменить значение элемента <tex>a_i</tex> на <tex>x</tex>. Заметим, что если вычислить разность <tex>x</tex> и <tex>a_{i}</tex>, то можно свести эту задачу к операции прибавления <tex>d</tex> к <tex>a_i</tex>.

'''function''' set(i, x):
d = x - a[i]
a[i] = x
modify(i, d)

Построение дерева можно осуществить, исходя из его описания. Но можно быстрее, если использовать функцию <tex>\mathrm {modify}</tex> для каждого элемента массива <tex>A</tex>. Тогда мы получим время работы <tex>O(n \log {n})</tex>.

'''function''' build():
'''for''' i = 0 '''to''' N - 1
modify(i, a[i])

== Запрос получения значения функции на префиксе ==
Пусть существует некоторая бинарная операция <tex>\circ</tex>. Чтобы получить значение на отрезке <tex>[i, j]</tex>, нужно провести операцию, обратную к <tex>\circ</tex>, над значениями на отрезках <tex>[0, j]</tex> и <tex>[0, i - 1]</tex>.

В качестве бинарной операции <tex> \circ </tex> рассмотрим операцию сложения.

Обозначим <tex> G_i = \mathrm {sum(i)} = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k </tex>. Тогда <tex> \mathrm {sum(i, j)} = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} </tex>.

Для нахождения <tex>\mathrm {sum(i)}</tex> будем действовать следующим образом. Берём <tex>T_i</tex>, которое является суммой элементов с индексами от <tex>F(i)</tex> до <tex>i</tex>. Теперь к этому значению нужно прибавить <tex>\mathrm {sum(F(i) - 1)}</tex>. Аналогично продолжаем складывать, пока не <tex>F(i)</tex> не станет равным <tex>0</tex>.

Покажем, что запрос суммы работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Рассмотрим двоичную запись числа <tex>i</tex>. Функция <tex>F(i)</tex> заменила его последние единицы на нули (заметим, что количество нулей в конце станет больше, чем количество единиц в конце до этого). Теперь вычтем единицу из <tex>F(i)</tex> (переход к следующему столбику). Количество единиц в конце увеличилось, по сравнению с <tex>i</tex>, так как мы заменили все нули в конце на единицы. Проводя эти действия дальше, мы придём к тому, что получили <tex>0</tex>. В худшем случае мы должны были повторять эти операции <tex>l</tex> раз, где <tex>l</tex> — количество цифр в двоичной записи числа <tex>i</tex>, что не превосходит <tex>\log_{2}{i} + 1</tex>. Значит, запрос суммы выполняется за <tex>O(\log{n})</tex>.

=== Реализация ===
Приведем код функции <tex> \mathrm {sum(i)} </tex>:
'''int''' sum(i):
result = 0
'''while''' i >= 0
result += t[i]
i = f(i) - 1
return result

==Сравнение дерева Фенвика и дерева отрезков==

* Дерево Фенвика занимает в константное значение раз меньше памяти, чем дерево отрезков. Это следует из того, что дерево Фенвика хранит только значение операции для каких-то элементов, а дерево отрезков хранит сами элементы и частичные результаты операции на подотрезках, поэтому оно занимает как минимум в два раза больше памяти.
* Дерево Фенвика проще в реализации.
* Операция на отрезке, для которой строится дерево Фенвика, должна быть обратимой, а это значит, что минимум (как и максимум) на отрезке это дерево считать не может, в отличие от дерева отрезков. Но если нам требуется найти минимум на префиксе, то дерево Фенвика справится с этой задачей. Такое дерево Фенвика поддерживает операцию уменьшения элементов массива. Пересчёт минимума в дереве происходит быстрее, чем обновление массива минимумов на префиксе.

== См. также ==
* [[Дерево отрезков. Построение |Дерево отрезков]]

==Источники информации==

* [http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=F180153B9C0CD797594314B736E2CCC5?doi=10.1.1.14.8917&rep=rep1&type=pdf Peter M. Fenwick: A new data structure for cumulative frequency]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fenwick_tree Wikipedia — Fenwick tree]
* [http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Maximal:: algo:: Дерево Фенвика]
* [http://habrahabr.ru/post/112828 Хабрахабр — Дерево Фенвика]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Дерево Фенвика]]

[[Категория: Структуры данных]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Дерево Фенвика