Матроид Вамоса

2014-06-16T13:59:14Z

178.71.140.238: /* Задание матроида */

[[Файл:Vamos_matroid_N.png|thumb|300px|right]]
'''Матроид Вамоса''' или '''куб Вамоса''' {{---}} это [[ Определение_матроида | матроид]] над восьмиэлементным множеством, который не изоморфен матричному ни над каким полем. Он назван в честь английского математика '''Питера Вамоса''' ('''Peter Vámos'''), который первым описал его в неопубликованной рукописи в 1968.

== Задание матроида ==

Пусть <tex> E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}</tex>. Матроид Вамоса <tex>V</tex> удобно задать, назвав все его [[Определение_матроида | '''зависимые''']] множества: это все подмножества <tex>E</tex>, в которых не менее пяти элементов, а также <tex>\{1, 2, 5, 6\}, \{1, 2, 7, 8\}, \{3, 4, 5, 6\}, \{3, 4, 7, 8\}, \{5, 6, 7, 8\}</tex>.
{{Теорема
|statement=Заданная конструкция является матроидом.
|proof=
Выполнение первых двух аксиом очевидно. В проверке нуждается лишь тот факт, что если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> независимые множества и <tex>|B| = 3</tex>, <tex>|A| = 4</tex>, то в <tex>A</tex> найдется такой элемент <tex>e</tex>, что <tex>B \cup \{e\}</tex> {{---}} независимое множество. Когда <tex>B \subset A</tex>, это очевидно. В противном же случае множество <tex> A \setminus B</tex> содержит по меньшей мере два различных элемента. Обозначим их через <tex>e_1</tex> и <tex>e_2</tex>. Теперь осталось заметить, что из множеств <tex>B \cup \{e_1\}</tex> и <tex>B \cup \{e_2\}</tex> хотя бы одно независимое, так как по условию нет двух зависимых множеств из четырех элементов, отличающихся одним элементом.
}}

== Свойства ==
* Все циклы матроида Вамоса имеют размер по меньшей мере равный его [[Определение_матроида| рангу]] (максимальный размер независимого множества).
* Матроид Вамоса [[Определение_матроида | изоморфен]] своему [[Двойственный_матроид | двойственному матроиду]]. Однако он не самодвойственен, так как это требует нетривиальную перестановку элементов.
* [[Многочлен_Татта | Многочлен Татта]] матроида Вамоса равен <math>x^4+4x^3+10x^2+15x+5xy+15y+10y^2+4y^3+y^4.</math>
* Матроид Вамоса не является [[Примеры_матроидов#.D0.9C.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B4|матричным]].

== Матроид Вамоса не представим ни над каким полем ==
{{Теорема
|statement=Матроид Вамоса не представим ни над каким полем. Это значит, что не существует векторного пространства и системы из восьми векторов в нем, таких что матроид линейной независимости этих векторов изоморфен матроиду Вамоса.
|proof=

Предположим, что существует изоморфный <tex>V</tex> векторный матроид <tex>M = \langle E, J \rangle</tex>, где <tex>E = \{x1, x2, {{...}} , x8 \}</tex>, и для каждого <tex>i</tex> вектор <tex>x_i</tex> соответствует элементу <tex>i</tex> матроида Вамоса.
Множество <tex>\{x1, x2, x3, x4\}</tex> является базисом <tex>M</tex>. Запишем координаты каждого вектора в этом базисе: <tex>x_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}, a_{i4})</tex>. Для дальнейшего нам понадобятся также векторы <tex>y_i = (a_{i1}, a_{i2}, 0, 0)</tex> и <tex>z_i = (0, 0, a_{i3}, a_{i4})</tex>, где <tex>i = 1, 2, {{...}} , 8</tex>.
Ввиду линейной зависимости векторов <tex>x1, x2, x5, x6</tex> получаем равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

<tex> \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} \end{vmatrix} = 0 </tex>

отсюда

<tex> \begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{63} & a_{64} \end{vmatrix} = 0 </tex>

то есть векторы <tex>z_5</tex> и <tex>z_6</tex> линейно зависимы. Заметим, что вектор <tex>z_5</tex> ненулевой (иначе были бы линейно зависимыми векторы <tex>x_1, x_2, x_5</tex>, а у нас любые три вектора линейно независимые) . Поэтому для некоторого скаляра (то есть элемента числового поля, над которым рассматривается линейное пространство) <tex> \mu </tex> имеет место равенство <tex>z_6 = \mu z_5</tex>. Точно так же из линейной зависимости четвёрок векторов <tex>\{x_1, x_2, x_7, x_8\}, \{x_3, x_4, x_5, x_6\}, \{x_3, x_4, x_7, x_8\}</tex> получаем соответственно равенства <tex>z_8 = \beta z_7, y_6 = \lambda y_5, y_8 = \alpha y_7</tex>, где греческими буквами обозначены некоторые скаляры.

Наконец, используем линейную зависимость векторов <tex>x_5, x_6, x_7, x_8</tex>. С помощью найденных соотношений будем преобразовывать определитель, составленный из координат этих векторов (при этом вместо строк определителя для
наглядности записываем поначалу соответствующие векторы):

<tex> \begin{vmatrix} x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ y_6+z_6 \\ y_7+z_7 \\ y_8+z_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ \lambda y_5+ \mu z_5 \\ y_7+z_7 \\ \alpha y_7+ \beta z_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} = </tex>
<tex> = \mu (\beta - \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} - \lambda ( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} = ( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = </tex>
<tex>( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = 0</tex>

Теперь заметим, что <tex> \mu \ne \lambda</tex> (в противном случае линейно зависимыми будут векторы <tex>x_5 = y_5 + z_5</tex> и <tex>x_6 = \lambda y_5 + \mu z_5)</tex> , а <tex> \alpha \ne \beta</tex> (иначе линейно зависимы векторы <tex>x_7</tex> и <tex>x_8</tex>) . Поэтому равен нулю один из определителей
<tex>\begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix}</tex> или <tex>\begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} </tex>, например - первый из них. Но тогда
<tex> \begin{vmatrix} x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} =0 </tex>

то есть векторы <tex>\{x3, x4, x5, x7\}</tex> линейно зависимы, что противоречит условию.
}}

== Источники информации ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1mos_matroid Wikipedia {{---}} Vámos matroid]
*[http://www.lib.susu.ac.ru/ftd?base=SUSU_METHOD&key=000305409&dtype=F&etype=.pdf Элементарное введение в матроиды]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Матроиды]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Матроид Вамоса