Мощность множества

2019-04-24T23:07:00Z

185.220.70.138: /* Континуум */ форматирование

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]

== Определения ==

{{Определение
|definition=
Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, то они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
}}

{{Определение
|definition=
[[Множества|Множество]] называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе оно называется ''бесконечным''.
}}

{{Определение
|definition=
Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
}}

<tex> A = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} </tex> {{---}} счетное множество.

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

== Мощность Q ==

{{Утверждение
|statement=
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
|proof=
<tex> B \subset A </tex>

<tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> {{---}} бесконечное множество.

<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> {{---}} также бесконечное множество.

Продолжаем этот процесс далее до бесконечности. Тогда мы получим <tex> B = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} \subset A </tex> {{---}} счетное множество.
}}

Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> {{---}} совокупность попарно различных элементов, то это {{---}} счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:
{{Утверждение
|statement=
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно, то есть, другими словами:

Если все <tex> A_n </tex> {{---}} счетное/конечное множество, то <tex>\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>

|proof=

Выпишем все элементы этих множеств в таблицу:

<tex>\ ||a^i_j||</tex>, где <tex>\ a^i_j \in A_i,\ i, j \in \mathbb N </tex>

<tex>
\begin{pmatrix}
a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\
a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\
a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \\
\vdots &\vdots &\vdots &\ddots
\end{pmatrix} </tex>

Будем нумеровать их по диагоналям:
<tex>
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots
\end{pmatrix} </tex>

Таким образом мы установили биекцию между <tex>\mathbb N </tex> и <tex>\ \bigcup\limits_n A_n </tex>, то есть <tex>\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex> , что и требовалось доказать.
}}

В частности, множество рациональных чисел <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно.

== Континуум ==

{{Определение
|definition=
Множество <tex> I = [0, 1]</tex> называется ''континуумом''.
}}

{{Утверждение
|statement=
<tex> I </tex> {{---}} несчетное множество.
|proof=
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:

Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n, ... \} </tex>

Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.

Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..

В результате выстраивается система вложенных отрезков:

<tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>

По свойству системы вложенных отрезков:

<tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>

<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.

По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.

}}

Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':

== Мощность R ==

{{Утверждение
|statement=
<tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>

С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.

Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:

<tex> x \leftrightarrow (x \cdot \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>

Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.

Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.

Применим следующий прием:

Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.

Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.

Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.

Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B
\Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>

В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>

}}

Так как <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно. <tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Мощность множества