Прямое произведение ДКА

2014-10-09T18:37:50Z

188.162.64.113: /* Пример */

{{Определение
|definition=
'''Прямым произведением''' двух [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] <tex>A_1 = \langle \Sigma_1, Q_1, s_1, T_1, \delta_1 \rangle</tex> и <tex>A_2 = \langle \Sigma_2, Q_2, s_2, T_2, \delta_2 \rangle</tex> называется ДКА <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, где:
* <tex>\Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2</tex>
* <tex>Q = Q_1 \times Q_2</tex>
* <tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>
* <tex>T = T_1 \times T_2</tex>
* <tex>\delta(\langle q_1, q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1(q_1, c), \delta_2(q_2, c) \rangle</tex>
}}

== Пример ==
[[Файл:Multi_DKA_source.png]]

Возьмем автоматы:
* <tex>A_1 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_1 = \lbrace s_1, t_1 \rbrace, s_1, T_1 = \lbrace t_1 \rbrace, \delta_1 \rangle</tex>
* <tex>A_2 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_2 = \lbrace s_2, q_2, t_{21}, t_{22} \rbrace, s_2, T_2 = \lbrace t_{21}, t_{22} \rbrace, \delta_2 \rangle</tex>.

[[Файл:Multi_DKA_result.png]]

Согласно определению:
#<tex>\Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace</tex>
#<tex>Q = \lbrace \langle s_1, s_2 \rangle, \langle s_1, q_2 \rangle, \langle s_1, t_{21} \rangle, \langle s_1, t_{22} \rangle, \langle t_1, s_2 \rangle, \langle t_1, q_2 \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle \rbrace</tex>
#<tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>
#<tex>T = \lbrace \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{22} \rangle \rbrace</tex>
#<tex>\delta :</tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(s_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(s_2, 1) \rangle = \langle t_1, s_2 \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(q_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>
#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(q_2, 1) \rangle = \langle t_1, t_{21} \rangle </tex>
#*...
{{Утверждение
|statement=Автомат <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, построенный как прямое произведение автоматов <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> будет их пересечением.
|proof=Возьмем слово <tex>\alpha</tex>, которое допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>. Выпишем все состояния в порядке допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A_1</tex> {{---}} <tex>a_{11}, a_{12}, ... , a_{1|\alpha|}</tex> и все состояния проходимые при допуске слова автоматом <tex>A_2</tex> {{---}} <tex>a_{21}, a_{22}, ... , a_{2|\alpha|}</tex>. Построим список пар <tex>\langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex>, где <tex>i = 1, 2, ..., |\alpha|</tex>. Данный список является списком состояний в процессе допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A</tex>, так как:

*<tex>\langle a_{11}, a_{21} \rangle = \langle s_1, s_2 \rangle</tex> {{---}} сохраняется стартовое состояние

*<tex>\delta_1(a_{1i-1},c) = a_{1i}</tex>, <tex>\delta_2(a_{2i-1},c) = a_{2i}</tex>, <tex>\delta( \langle a_{1i-1}, a_{2i-1} \rangle, c) = \langle \delta_1(a_{1i-1},c), \delta_2(a_{2i-1},c) \rangle = \langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex> {{---}} переходы верны

*<tex>a_{1|\alpha|} \in T_1, a_{2|\alpha|} \in T_2, \langle a_{1|\alpha|}, a_{2|\alpha|} \rangle \in T_1 \times T_2 = T</tex> {{---}} сохраняется терминальное состояние
Следовательно автомат <tex>A</tex> допускает слова, которые допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>.

Возьмем слово <tex>\beta</tex>, которое не допускает автомат <tex>A_1</tex> или автомат <tex>A_2</tex>, тогда <tex>a_{1|\beta|}</tex> или <tex>a_{2|\beta|}</tex> {{---}} нетерминальное состояние, следовательно <tex>\langle a_{1|\beta|}, a_{2|\beta|} \rangle \notin T_1 \times T_2</tex>.
}}

== Применение ==
Изменив конструкцию, можно получить автомат, допускающий разность или объединение двух языков.
=== Объединение ДКА ===
[[Файл:Multi_DKA_united.png]]

Необходимо разрешать любую цепочку, удовлетворяющую первому или второму автомату, для этого сделаем терминальными следующие вершины <tex>T = (T_1 \times Q_2) \cup (Q_1 \times T_2)</tex>. Полученный автомат удовлетворяет нашим требованиям, так как попав в какое-либо состояние из <tex>T_1</tex> или <tex>T_2</tex>, цепочка будет удовлетворять первому или второму автомату соответственно.

=== Разность ДКА ===
[[Файл:Multi_DKA_division.png]]

Рассмотрим автомат <tex>\overline{M} = \langle \Sigma , Q , s , Q \setminus T , \delta \rangle </tex>, то есть автомат <tex>M</tex>, в котором терминальные и нетерминальные состояния инвертированы, если в автомате было опущено «дьявольское состояние», его необходимо добавить и сделать терминальным. Очевидно, он допускает те и только те слова, которые не допускает автомат <tex>M</tex>, а значит, задаёт язык <tex>\overline{M}</tex>.

Заметим, что если <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} регулярные языки, то <tex>L \setminus M = L \cap \overline{M}</tex> {{---}} так же регулярный.

Следовательно, надо построить пересечение двух автоматов, предварительно инвертировав во втором терминальные и нетерминальные состояния. Заметим, что меняется только набор терминальных вершин, следовательно в итоговой конструкции произведения ДКА сделаем терминальными следующие вершины <tex>T = T_1 \times (Q_2 \setminus T_2)</tex>.

== См. также ==
* [[Детерминированные конечные автоматы]]
* [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций]]

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Deterministic_finite_automaton | Wikipedia {{---}} Deterministic finite automaton]]
* [http://www.andrew.cmu.edu/user/ko/pdfs/lecture-3.pdf Lecture "Formal languages, automata and computation" : Carnegie Mellon University in Qatar]
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 152-154.

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Прямое произведение ДКА