Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список заданий по АиСД-year2015-сем1

2015-12-01T00:17:07Z

188.162.64.3:

<wikitex>
= Алгоритмы и структуры данных, 1 семестр =
# Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(2^n)$, а вторая за истинное $O(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
# Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(\sqrt{n})$, а вторая за истинное $\Theta(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
# Пусть структура данных выполняет два типа запросов. Первый тип запроса выполняется за $O(f(s) k \log{k})$, а второй {{---}} за $O(\frac{g(s)}{k \sqrt{k}})$, причем значение $k$ можно выбрать любым натуральным числом, а $f(s)$ и $g(s)$ известны и зависят от размера структуры данных. Вам стало известно, что к структуре данных сделают $n$ запросов первого типа, и $m$ запросов второго типа. Какое $k$ нужно выбрать, чтобы среднее время работы запросов было минимальным.
# Проанализировать саморасширяющийся массив, если расширение происходит в $A$ раз ($1 < A$)
# Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в 2 раза, а при заполнении менее чем на 1/4 - сужение в 2 раза с помощью метода потеницалов. Потенциал должен зависеть только от текущего состояния стека (размера выделенного массива и числа заполненных элементов) и не должен зависеть от истории операций.
# Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в A раз, а при заполнении менее чем на B - сужение в C раз
# Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(\log n)$.
# Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(1)$.
# В массиве есть элемент, который встречается хотя бы $n/2$ раз. Требуется найти его за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
# Использования памяти без инициализации. Задан массив $a[1..n]$. Требуется поддержать две операции: $set(i, x)$ и $get(i)$. Операция $set$ должна присваивать $i$-му элементу массива значение $x$. Операция $get$ должна возвращать последнее присвоенное $i$-му элементу значение, либо 0, если присвоения не было. При этом исходно массив заполнен произвольными данными. Разрешается завести $O(1)$ дополнительных массивов (также заполненных произвольным мусором) и реализовать все операции за истинное $O(1)$.
# Счетчик Кнута. Рассмотрим массив $a[0..n-1]$. Будем считать, что в каждом элементе может быть число 0, 1 или 2 и массив представляет собой число $a[0]+a[1]\cdot 2+a[2]\cdot 4 + \ldots + a[n-1]\cdot2^{n-1}$. Требуется реализовать операцию добавления $2^k$ к числу, представленному в массиве за истинное $O(1)$ и $O(n)$ дополнительной памяти.
# Реализуйте менеджер памяти, позволяющий выделять и возвращать блоки одинакового размера за $O(1)$ времени и $O(1)$ дополнительной памяти
# Предложите реализацию стека, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в стеке"
# Стек с множественным извлечением. Добавим в стек операцию multipop(k), которая снимает вершины стека k элементов. Докажите, что амортизированная стоимость операции multipop равна $O(1)$. Сформулируйте окончательное доказательство с использованием метода потенциалов.
# Продемонстрируйте, как просимулировать очередь на двух стеках. Амортизированная стоимость операций push и pop должна быть $O(1)$.
# Предложите реализацию очереди, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в очереди". Амортизированная стоимость всех операций должна быть $O(1)$.
# Можно ли реализовать два стека на очереди (ограничений на время выполнения операций нет)?
# Задан односвязный список, каждый элемент знает следующий после себя. При этом возможно, что на самом деле список зацикливается (один из элементов ссылается как на следующий на элемент, который уже встречался в списке перед ним). Требуется проверить, зацикливается ли заданный односвязный список за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
# $d$-кучей называется структура данных аналогичная двоичной куче, только у каждой вершины по $d$ детей. Двоичная куча является 2-кучей. В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Какое оптимальное асимптотически $d$ следует выбрать?
# В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Время выполнения decreaseKey - $C_1 \log n$, а extractMin - $C_2 d \log n$. Какое $d$ следует выбрать?
# Пусть подряд выполняется $n$ операций insert в пустую биномиальную кучу. Какое среднее время операции?
# Как можно модифицировать биномиальную кучу, чтобы insert выполнялось за истинное $O(1)$, а амортизированная стоимость остальных операций не поменялась?
# Тонкие кучи. Будем называть дерево "тонким", если оно может быть получено из биномиального удалением у некоторых вершин ребенка максимального ранга. Тонкой кучей называется коллекция тонких деревьев. Ограничений на число деревьев одного ранга нет. Разработайте операции merge и extractMin для тонких куч. Амортизированная стоимость операции extractMin должна быть $O(\log n)$. Амортизированная стоимость операции merge должна быть $O(1)$.
# Разработайте операцию decreaseKey для тонкой кучи. Докажите, что амортизированное время выполнения есть $O(1)$ (используйте потенциал $2M + T$, где $M$ - число вершин, у которых удалили ребенка)
# Докажите, что операция decreaseKey в тонкой куче из предыдущего задания выполняется за истинные $O(\log n)$
# Ускорение extractMin. Докажите, что в тонкой куче можно добиться истинного $O(\log n)$ на extractMin, если обрабатывать корневой список, сливая деревья разных рангов, как при extractMin каждый раз, когда в корневом списке становится хотя бы $2\log n$ элементов.
# Докажите оценку $O(\log n)$ для реализации СНМ со сжатием путей, но когда второе дерево всегда подвешивается на первое (а не обязательно меньшее на большее)
# Докажите оценку $O(\log^* n)$ для СНМ, если вместо рангов используется число вершин в поддереве (меньшее дерево подвешивается на большее)
# Решите задачу: найти во взвешеном дереве минимальный по весу путь, состоящий ровно из $k$ ребер
# Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Приведите пример, где высота дерева в результате серии объединений будет $\Omega(n)$.
# Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Сжатие путей не проводится. Докажите или опровергните, что в среднем время работы get будет $O(\log n)$.
# Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое произвольным образом, но не проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log n)$.
# Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое случайным образом и проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log^* n)$.
# Для каких $a$ определен $\log^*_a x$?
# Докажите, что если для $a$ и $b$ определен $\log^*_a x$ и $\log^*_b x$, то $\log^*_a x = O(\log^*_b x)$.
# Постройте массив, в котором сортировка выбором делает максимальное число обменов
# Предложите алгоритм, который вычисляет число обменов, которое делает сортировка выбором, за $O(n \log n)$.
# Найдите минимальное число сравнений для сортировки 4 элементов
# Найдите минимальное число сравнений для сортировки 5 элементов
# Постройте массив, в котором сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов
# Укажите способ посчитать число массивов, в которых сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов, за полиномиальное время.
# Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти
# Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(1)$ дополнительной памяти
# Докажите, что любой алгоритм, проверяющий, есть ли в массиве два одинаковых элемента с использованием только сравнений элементов, работает за $\Omega(n \log n)$
# Укажите способ для алгоритма QSort с выбором среднего элемента в качестве элемента построить массив, на котором происходит максимальное число сравнений элементов
# Укажите способ для любого детерминированного алгоритма выбора разделяющего элемента построить массив, на котором алгоритм QSort работает за $\Omega(n^2)$
# Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n^2)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве.
# Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n \log n)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве. Указание: зная порядок на подстроках длины $L$ порядок на подстроках длины $2L$ можно восстановить за $O(n)$.
# Пусть известно, что массив длины $n$ из чисел от 1 до $n$ получен с помощью генератора случайных чисел, каждое число независимо получено с помощью равномерного распределения. Предложите модификацию алгоритма сортировки подсчетом, который сортирует данный массив за $O(n)$ используя лишь $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти (обе оценки должны выполняться в среднем).
# Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
# Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию и затем циклическим сдвигом получившегося массива. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
# Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $2^k$. Предложите алгоритм определения за $O(1)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска.
# Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $n$. Предложите алгоритм определения за $O(\log n)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска. h
# Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 одного знака.
# Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 разных знаков, или одно из них равно 0.
# Предложите алгоритм с временем работы $O(n)$ для следующей задачи: задан массив из неотрицательных чисел и число $k$, определите число отрезков с суммой, не превышающей $k$. Также проанализируйте, работает ли ваш алгоритм, если массив может содержать отрицательные числа: постройте контрпример или докажите, что работает.
# Запросы на статическом массиве: задано число $k$ и запросы {{---}} посчитать ассоциативную необратимую функцию на отрезке длины от $k$ до $2k$. Ответ на запросы за $O(1)$ и препроцессинг за $O(n)$.
# Запросы: 1. set(i, x) {{---}} $a_i := x$ (x {{---}} неотрицательно), 2. get(s) {{---}} найти такое минимальное $y$, что $\sum\limits_{i=1}^y a_i \ge s$, $\sum\limits_{i=1}^{y - 1} a_i < s$ за $O(\log{n})$.
# Обработайте $q$ запросов на прибавление на отрезке, получите конечный массив длины $n$, за $O(n + q)$.
# Обработайте запросы за $O(\log{n})$. Первый {{---}} присвоить значение элементу, второй {{---}} задан отрезок, найти подотрезок с максимальной суммой, содержащийся в этом отрезке.
# Сведите задачу к запросам изменения в точке и функции на отрезке за $O(\log{n})$. Задача {{---}} отвечать на запросы: прибавление на отрезке и минимум на отрезке.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Поступают запросы: изменить элемент, найти на заданном отрезке элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
# В дереве отрезков любой отрезок можно разбить на $O(\log n)$ непересекающихся отрезков дерева. Предложите способ выделить $O(n \log n)$ отрезков в массиве индексов 1..$n$, чтобы любой отрезок можно было разбить на $O(1)$ непересекающихся отрезков из выбранного множества
# Дано $n$ точек на плоскости. Требуется найти наибольшую последовательность точек, в которой при переходе к следующей точке обе координаты строго возрастают, за $O(n \log n)$.
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти точку, покрытую максимальным числом прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам с $L$ по $R$ заданное число, получить произведение на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить значение к элементам на отрезке, найти элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: найти $k$-й по величине элемент на отрезке с $i$-го по $j$-й. Время на запрос $O(\log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить сумму на отрезке. Время на запрос $O(\log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить минимум на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти площадь объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти периметр объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Решите за $O(\sqrt{n}\log{n})$ на запрос амортизированно. Поступают запросы: развернуть отрезок и посчитать количество элементов на отрезке от $x$ до $y$.
# Решите предыдущую задачу за $O(\sqrt{n\log{n}})$ на запрос истинно.
# Решите с помощью персистентного дерева отрезков. Дано $n$ точек. Поступают запросы в online: прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, нужно найти $k$-ю точку по возрастанию $y$-координаты, среди лежащих внутри этого прямоугольника. Время работы: $O(\log{n})$ на запрос.
# Решите предыдущую задачу без персистентного дерева отрезков.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число и вывести сумму сумм всех подотрезков отрезка.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число, умножить все элементы на отрезке на заданное число, вывести $i$-й элемент массива.
# Модифицировать алгоритм Фараха-Колтона-Бендера, чтобы массив precalc занимал только $O(K \log{K})$ бит памяти для каждой маски.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(1)$.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$" и "изменить вес ребра". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес ребра" и "прибавить ко всем ребрам на пути от $v$ до $u$ число $d$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
# Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашены в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы: $O(V)$.

</wikitex>

Список заданий по АиСД-year2015-сем1

2015-12-01T00:14:50Z

188.162.64.3:

<wikitex>
= Алгоритмы и структуры данных, 1 семестр =
# Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(2^n)$, а вторая за истинное $O(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
# Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(\sqrt{n})$, а вторая за истинное $\Theta(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
# Пусть структура данных выполняет два типа запросов. Первый тип запроса выполняется за $O(f(s) k \log{k})$, а второй {{---}} за $O(\frac{g(s)}{k \sqrt{k}})$, причем значение $k$ можно выбрать любым натуральным числом, а $f(s)$ и $g(s)$ известны и зависят от размера структуры данных. Вам стало известно, что к структуре данных сделают $n$ запросов первого типа, и $m$ запросов второго типа. Какое $k$ нужно выбрать, чтобы среднее время работы запросов было минимальным.
# Проанализировать саморасширяющийся массив, если расширение происходит в $A$ раз ($1 < A$)
# Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в 2 раза, а при заполнении менее чем на 1/4 - сужение в 2 раза с помощью метода потеницалов. Потенциал должен зависеть только от текущего состояния стека (размера выделенного массива и числа заполненных элементов) и не должен зависеть от истории операций.
# Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в A раз, а при заполнении менее чем на B - сужение в C раз
# Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(\log n)$.
# Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(1)$.
# В массиве есть элемент, который встречается хотя бы $n/2$ раз. Требуется найти его за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
# Использования памяти без инициализации. Задан массив $a[1..n]$. Требуется поддержать две операции: $set(i, x)$ и $get(i)$. Операция $set$ должна присваивать $i$-му элементу массива значение $x$. Операция $get$ должна возвращать последнее присвоенное $i$-му элементу значение, либо 0, если присвоения не было. При этом исходно массив заполнен произвольными данными. Разрешается завести $O(1)$ дополнительных массивов (также заполненных произвольным мусором) и реализовать все операции за истинное $O(1)$.
# Счетчик Кнута. Рассмотрим массив $a[0..n-1]$. Будем считать, что в каждом элементе может быть число 0, 1 или 2 и массив представляет собой число $a[0]+a[1]\cdot 2+a[2]\cdot 4 + \ldots + a[n-1]\cdot2^{n-1}$. Требуется реализовать операцию добавления $2^k$ к числу, представленному в массиве за истинное $O(1)$ и $O(n)$ дополнительной памяти.
# Реализуйте менеджер памяти, позволяющий выделять и возвращать блоки одинакового размера за $O(1)$ времени и $O(1)$ дополнительной памяти
# Предложите реализацию стека, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в стеке"
# Стек с множественным извлечением. Добавим в стек операцию multipop(k), которая снимает вершины стека k элементов. Докажите, что амортизированная стоимость операции multipop равна $O(1)$. Сформулируйте окончательное доказательство с использованием метода потенциалов.
# Продемонстрируйте, как просимулировать очередь на двух стеках. Амортизированная стоимость операций push и pop должна быть $O(1)$.
# Предложите реализацию очереди, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в очереди". Амортизированная стоимость всех операций должна быть $O(1)$.
# Можно ли реализовать два стека на очереди (ограничений на время выполнения операций нет)?
# Задан односвязный список, каждый элемент знает следующий после себя. При этом возможно, что на самом деле список зацикливается (один из элементов ссылается как на следующий на элемент, который уже встречался в списке перед ним). Требуется проверить, зацикливается ли заданный односвязный список за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
# $d$-кучей называется структура данных аналогичная двоичной куче, только у каждой вершины по $d$ детей. Двоичная куча является 2-кучей. В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Какое оптимальное асимптотически $d$ следует выбрать?
# В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Время выполнения decreaseKey - $C_1 \log n$, а extractMin - $C_2 d \log n$. Какое $d$ следует выбрать?
# Пусть подряд выполняется $n$ операций insert в пустую биномиальную кучу. Какое среднее время операции?
# Как можно модифицировать биномиальную кучу, чтобы insert выполнялось за истинное $O(1)$, а амортизированная стоимость остальных операций не поменялась?
# Тонкие кучи. Будем называть дерево "тонким", если оно может быть получено из биномиального удалением у некоторых вершин ребенка максимального ранга. Тонкой кучей называется коллекция тонких деревьев. Ограничений на число деревьев одного ранга нет. Разработайте операции merge и extractMin для тонких куч. Амортизированная стоимость операции extractMin должна быть $O(\log n)$. Амортизированная стоимость операции merge должна быть $O(1)$.
# Разработайте операцию decreaseKey для тонкой кучи. Докажите, что амортизированное время выполнения есть $O(1)$ (используйте потенциал $2M + T$, где $M$ - число вершин, у которых удалили ребенка)
# Докажите, что операция decreaseKey в тонкой куче из предыдущего задания выполняется за истинные $O(\log n)$
# Ускорение extractMin. Докажите, что в тонкой куче можно добиться истинного $O(\log n)$ на extractMin, если обрабатывать корневой список, сливая деревья разных рангов, как при extractMin каждый раз, когда в корневом списке становится хотя бы $2\log n$ элементов.
# Докажите оценку $O(\log n)$ для реализации СНМ со сжатием путей, но когда второе дерево всегда подвешивается на первое (а не обязательно меньшее на большее)
# Докажите оценку $O(\log^* n)$ для СНМ, если вместо рангов используется число вершин в поддереве (меньшее дерево подвешивается на большее)
# Решите задачу: найти во взвешеном дереве минимальный по весу путь, состоящий ровно из $k$ ребер
# Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Приведите пример, где высота дерева в результате серии объединений будет $\Omega(n)$.
# Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Сжатие путей не проводится. Докажите или опровергните, что в среднем время работы get будет $O(\log n)$.
# Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое произвольным образом, но не проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log n)$.
# Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое случайным образом и проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log^* n)$.
# Для каких $a$ определен $\log^*_a x$?
# Докажите, что если для $a$ и $b$ определен $\log^*_a x$ и $\log^*_b x$, то $\log^*_a x = O(\log^*_b x)$.
# Постройте массив, в котором сортировка выбором делает максимальное число обменов
# Предложите алгоритм, который вычисляет число обменов, которое делает сортировка выбором, за $O(n \log n)$.
# Найдите минимальное число сравнений для сортировки 4 элементов
# Найдите минимальное число сравнений для сортировки 5 элементов
# Постройте массив, в котором сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов
# Укажите способ посчитать число массивов, в которых сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов, за полиномиальное время.
# Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти
# Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(1)$ дополнительной памяти
# Докажите, что любой алгоритм, проверяющий, есть ли в массиве два одинаковых элемента с использованием только сравнений элементов, работает за $\Omega(n \log n)$
# Укажите способ для алгоритма QSort с выбором среднего элемента в качестве элемента построить массив, на котором происходит максимальное число сравнений элементов
# Укажите способ для любого детерминированного алгоритма выбора разделяющего элемента построить массив, на котором алгоритм QSort работает за $\Omega(n^2)$
# Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n^2)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве.
# Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n \log n)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве. Указание: зная порядок на подстроках длины $L$ порядок на подстроках длины $2L$ можно восстановить за $O(n)$.
# Пусть известно, что массив длины $n$ из чисел от 1 до $n$ получен с помощью генератора случайных чисел, каждое число независимо получено с помощью равномерного распределения. Предложите модификацию алгоритма сортировки подсчетом, который сортирует данный массив за $O(n)$ используя лишь $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти (обе оценки должны выполняться в среднем).
# Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
# Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию и затем циклическим сдвигом получившегося массива. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
# Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $2^k$. Предложите алгоритм определения за $O(1)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска.
# Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $n$. Предложите алгоритм определения за $O(\log n)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска. h
# Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 одного знака.
# Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 разных знаков, или одно из них равно 0.
# Предложите алгоритм с временем работы $O(n)$ для следующей задачи: задан массив из неотрицательных чисел и число $k$, определите число отрезков с суммой, не превышающей $k$. Также проанализируйте, работает ли ваш алгоритм, если массив может содержать отрицательные числа: постройте контрпример или докажите, что работает.
# Запросы на статическом массиве: задано число $k$ и запросы {{---}} посчитать ассоциативную необратимую функцию на отрезке длины от $k$ до $2k$. Ответ на запросы за $O(1)$ и препроцессинг за $O(n)$.
# Запросы: 1. set(i, x) {{---}} $a_i := x$ (x {{---}} неотрицательно), 2. get(s) {{---}} найти такое минимальное $y$, что $\sum\limits_{i=1}^y a_i \ge s$, $\sum\limits_{i=1}^{y - 1} a_i < s$ за $O(\log{n})$.
# Обработайте $q$ запросов на прибавление на отрезке, получите конечный массив длины $n$, за $O(n + q)$.
# Обработайте запросы за $O(\log{n})$. Первый {{---}} присвоить значение элементу, второй {{---}} задан отрезок, найти подотрезок с максимальной суммой, содержащийся в этом отрезке.
# Сведите задачу к запросам изменения в точке и функции на отрезке за $O(\log{n})$. Задача {{---}} отвечать на запросы: прибавление на отрезке и минимум на отрезке.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Поступают запросы: изменить элемент, найти на заданном отрезке элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
# В дереве отрезков любой отрезок можно разбить на $O(\log n)$ непересекающихся отрезков дерева. Предложите способ выделить $O(n \log n)$ отрезков в массиве индексов 1..$n$, чтобы любой отрезок можно было разбить на $O(1)$ непересекающихся отрезков из выбранного множества
# Дано $n$ точек на плоскости. Требуется найти наибольшую последовательность точек, в которой при переходе к следующей точке обе координаты строго возрастают, за $O(n \log n)$.
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти точку, покрытую максимальным числом прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам с $L$ по $R$ заданное число, получить произведение на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить значение к элементам на отрезке, найти элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: найти $k$-й по величине элемент на отрезке с $i$-го по $j$-й. Время на запрос $O(\log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить сумму на отрезке. Время на запрос $O(\log n)$.
# Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить минимум на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти площадь объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти периметр объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
# Решите за $O(\sqrt{n}\log{n})$ на запрос амортизированно. Поступают запросы: развернуть отрезок и посчитать количество элементов на отрезке от $x$ до $y$.
# Решите предыдущую задачу за $O(\sqrt{n\log{n}})$ на запрос истинно.
# Решите с помощью персистентного дерева отрезков. Дано $n$ точек. Поступают запросы в online: прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, нужно найти $k$-ю точку по возрастанию $y$-координаты, среди лежащих внутри этого прямоугольника. Время работы: $O(\log{n})$ на запрос.
# Решите предыдущую задачу без персистентного дерева отрезков.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число и вывести сумму сумм всех подотрезков отрезка.
# Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число, умножить все элементы на отрезке на заданное число, вывести $i$-й элемент массива.
# Модифицировать алгоритм Фараха-Колтона-Бендера, чтобы массив precalc занимал только $O(K \log{K})$ памяти для каждой маски.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(1)$.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$" и "изменить вес ребра". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
# Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес ребра" и "прибавить ко всем ребрам на пути от $v$ до $u$ число $d$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
# Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашены в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы: $O(V)$.

</wikitex>

Вычислительная геометрия

2015-01-18T09:20:59Z

188.162.64.3: /* Аффинное пространство */

* [[Представление чисел с плавающей точкой]]
* [[Предикат "левый поворот"]]
* [[Интервальная арифметика]]
* [[Adaptive precision arithmetic]]
* [[Алгоритм Бентли-Оттмана]]
* [[Конфигурация]]
* [[Трапецоидная карта]]
* [[Алгоритм Киркпатрика детализации триангуляции]]
* [[Пересечение окружностей]]
* [[Упрощение полигональной цепи]]
* [[Ортогональный поиск]]
* [[Триангуляция полигонов (ушная + монотонная)]]

----

* [[Список тем]]
* [[Список тем (year 2012)]]
* [[Обсуждение:Вычислительная геометрия#Сдача конспектов | Сдача конспектов]]
* [[Обсуждение:Вычислительная геометрия#Презентации | Сдача презентаций]]
* [[Обсуждение:Вычислительная геометрия#Условия и чекеры | Условия и чекеры]]

----

* [[CMake_Tutorial|Туториал по cmake]]
* [[Тестирование с использованием Google Test]]
== Базовые алгоритмы и структуры данных ==
* [[Квадродеревья | Квадродерево, сжатое квадродерево]]
* [[ Skip quadtree: определение, время работы | Skip quadtree: определение, время работы, запрос точек в прямоугольнике ]]
* [[ К-d деревья и перечисление точек в произвольном прямоугольнике (статика) | К-d деревья и перечисление точек в произвольном прямоугольнике (статика) ]]
* [[ Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree) | Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree) ]]
* [[ Дерево интервалов (interval tree) и пересечение точки с множеством интервалов | Дерево интервалов (interval tree) и пересечение точки с множеством интервалов ]]
* [[ Пересечение прямоугольника с множеством прямоугольников (PST) | Пересечение прямоугольника с множеством прямоугольников (PST) ]]

== Аффинное пространство ==
* [[ Пересечение отрезков и поворот: определение, свойства, вычисление | Пересечение отрезков и поворот: определение, свойства, вычисление ]]
* [[ Принадлежность точки выпуклому и невыпуклому многоугольникам | Принадлежность точки выпуклому и невыпуклому многоугольникам ]]
* [[ Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree) | Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (segment tree) ]]
* [[ Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull | Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull ]]
* [[ Динамическая выпуклая оболочка (достаточно log^2 на добавление/удаление) | Динамическая выпуклая оболочка (достаточно log^2 на добавление/удаление) ]]
* [[ Выпуклая оболочка в n-мерном пространстве | Выпуклая оболочка в n-мерном пространстве ]]
* [[ Триангуляция полигонов (ушная + монотонная)#Ушной метод | Триангуляция многоугольника за n^2]]
* [[ Триангуляция полигонов (ушная + монотонная) | Триангуляция многоугольника заметающей прямой ]]
* [[ Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками | Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками ]]
* [[ Пересечение множества отрезков | Пересечение множества отрезков ]]
* [[ Snap rounding | Snap rounding ]]
* [[ ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых | ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых ]]
* [[ Пересечение многоугольников (PSLG overlaying) | Пересечение многоугольников (PSLG overlaying) ]]
* [[ Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья) | Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья) ]]
* [[ Алгоритм Киркпатрика детализации триангуляции | Локализация в ППЛГ. Алгоритм Киркпатрика ]]
* [[ Трапецоидная карта | Трапецоидная карта ]]
* [[ Пересечение отрезков на сфере | Пересечение отрезков на сфере ]]
* [[BSP-дерево]]

== Скалярное произведение и мера ==
* [[ Диаметр множества точек (вращающиеся калиперы) | Диаметр множества точек (вращающиеся калиперы) ]]
* [[ Сумма Минковского (определение, вычисление) | Сумма Минковского (определение, вычисление) ]]
* [[ Минимальная охватывающая окружность множества точек | Минимальная охватывающая окружность множества точек ]]
* [[ Visibility graph и motion planning | Visibility graph и motion planning ]]
* [[ Триангуляция Делоне | Триангуляция Делоне ]]
* [[ Диаграмма Вороного | Диаграмма Вороного ]]
* [[Motorcycle graph]]
* [[Straight skeleton]]

== Добавьте в нужное место ==
* [[Алгоритм Балабана]]

[[Категория: Вычислительная геометрия]]

Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

2015-01-06T09:36:18Z

188.162.64.3: /* Алгоритм */

== Описание ==
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.
* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
* Конец.

== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==

Пусть нам дан произвольный НКА: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = \{q_d \mid q_d \subset 2^Q \}</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \{ \delta(a, c) \mid a \in q \}</tex>.

===Доказательство эквивалентности===
{{Теорема
|statement=
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
}}

== Алгоритм Томпсона ==
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.
Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

===Алгоритм===
* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
* <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.
* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
'''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''):
<tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>)
<tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
'''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>
<tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>)
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
<tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
'''for''' <tex>p \in p_d</tex>
<tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \delta(p, c) \}</tex>
<tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex>
'''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex>
<tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>)
<tex>Q_d</tex>.add(<tex>q_d</tex>)
<tex>T_d</tex> = <tex>\{q_d \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q_d\}</tex>
'''return''' <tex>\langle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex>

===Асимптотика===
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

===Пример===
Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]:

[[Файл:DKA.png|250px]]

По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем:

[[Файл:NKA_definition.png|250px]]

#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, 2\}</tex>, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1, 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}</tex>.

В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному:

[[Файл:NKA_algorithm.png|250px]].

== См. также ==

* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
* [[Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]

== Источники информации ==
* ''Серебряков В.А.'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

2015-01-06T09:35:06Z

188.162.64.3: /* Алгоритм */

== Описание ==
Алгоритм Томпсона строит по [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] эквивалентный [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] следующим образом:
* Начало.
* '''Шаг 1.''' Помещаем в очередь <tex>Q</tex> множество, состоящее только из стартовой вершины.
* '''Шаг 2.''' Затем, пока очередь не пуста выполняем следующие действия:
** Достаем из очереди множество, назовем его <tex>q</tex>
** Для всех <tex>c \in \Sigma</tex> посмотрим в какое состояние ведет переход по символу <tex>c</tex> из каждого состояния в <tex>q</tex>. Полученное множество состояний положим в очередь <tex>Q</tex> только если оно не лежало там раньше. Каждое такое множество в итоговом ДКА будет отдельной вершиной, в которую будут вести переходы по соответствующим символам.
** Если в множестве <tex>q</tex> хотя бы одна из вершин была терминальной в НКА, то соответствующая данному множеству вершина в ДКА также будет терминальной.
* Конец.

== Построение эквивалентного ДКА по НКА ==

Пусть нам дан произвольный НКА: <tex>\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle</tex>.

Построим по нему следующий ДКА: <tex>\langle \Sigma , Q_d, s_d \in Q_d, T_d \subset Q_d, \delta_d : Q_d \times \Sigma \to Q_d \rangle</tex>, где:
# <tex>Q_d = \{q_d \mid q_d \subset 2^Q \}</tex>,
# <tex>s_d = \{s\}</tex>,
# <tex>T_d = \{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>,
# <tex>\delta_d(q, c) = \{ \delta(a, c) \mid a \in q \}</tex>.

===Доказательство эквивалентности===
{{Теорема
|statement=
Построенный ДКА эквивалентен данному НКА.
|proof=
#Докажем, что любое слово, которое принимает НКА, будет принято построенным ДКА. Заметим, что <tex>\forall q \in q_d, \forall c \in \Sigma, \forall p \in \delta(q, c): p \in \delta_d(q_d, c)</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат НКА: <tex>\langle s, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle u_m, \varepsilon \rangle, u_m \in T</tex>. Проверим, что построенный ДКА тоже принимает это слово. Заметим, что <tex>s \in s_d</tex>, а, значит, исходя из нашего наблюдения, мы получаем, что <tex>u_1 \in {u_d}_1</tex>, где <tex>{u_d}_1 = \delta_d(s, w_1)</tex>. Далее, несложно заметить, что <tex>\forall i \leqslant m : u_i \in {u_d}_i</tex>, где <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_i, w_{i + 1} \dots w_m\rangle</tex>. Таким образом, <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>, а из определения терминальных состояний в построенном ДКА мы получаем, что <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, то есть наш ДКА тоже принимает cлово <tex>w</tex>.
#Докажем, что любое слово, которое принимает построенный ДКА, принимает и НКА. Сначала сделаем наблюдение, что если <tex>q_d=\{q\}</tex>, и мы из него достигли по строке <tex>S</tex> какого-то состояния <tex>p_d</tex>, то <tex>\forall p \in p_d</tex> существует путь из <tex>q</tex> в <tex>p</tex> в НКА по строке <tex>S</tex>. Рассмотрим слово <tex>w=w_1 \dots w_m</tex>, которое принимает автомат ДКА: <tex>\langle s_d, w_1w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_1, w_2 \dots w_m \rangle \vdash \langle {u_d}_m, \varepsilon \rangle, {u_d}_m \in T_d</tex>. Проверим, что НКА тоже принимает это слово. Так как <tex>s_d = \{s\}</tex>, и мы из <tex>s_d</tex> достигли <tex>{u_d}_m \in T_d</tex>, возьмём любое терминальное состояние <tex>u_m \in {u_d}_m</tex>. По нашему наблюдению в НКА есть путь из <tex>s</tex> в <tex>u_m</tex> по строке <tex>w</tex>, а, значит, НКА принимает это слово.
Таким образом, множества слов, допускаемых ДКА и НКА, совпадают, то есть они эквивалентны.
}}

== Алгоритм Томпсона ==
Данный алгоритм преобразовывает НКА в эквивалентный ДКА. Будем использовать вышеуказанный способ построения с одним дополнением {{---}} не будем учитывать состояния недостижимые из стартового.
Поэтому в алгоритме используется обход в ширину.

===Алгоритм===
* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} очередь состояний, соответствующих множествам, состоящих из состояний НКА.
* <tex>\mathtt{Q_d}</tex> {{---}} массив множеств, соответствующих состояниям ДКА.
* <tex>\mathtt{s}</tex> {{---}} стартовое состояние НКА.
'''Automaton''' getDFAbyNFA(<tex>\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex> : '''Automaton'''):
<tex>P</tex>.push(<tex>\{s\}</tex>)
<tex>Q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
'''while''' <tex>P</tex> <tex> \neq </tex> <tex>\varnothing </tex>
<tex>P</tex>.pop(<tex>p_d</tex>)
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
<tex>q_d</tex> = <tex>\varnothing</tex>
'''for''' <tex>p \in p_d</tex>
<tex>q_d</tex> = <tex>q_d \cup \{ \delta(p, c) \}</tex>
<tex>\delta_d(p_d, q_d)</tex> = <tex>c</tex>
'''if''' <tex>q_d \notin Q_d</tex>
<tex>P</tex>.push(<tex>q_d</tex>)
<tex>Q_d</tex>.add(<tex>q_d</tex>)
<tex>T_d</tex> = <tex>\{q \in Q_d \mid \exists p \in T : p \in q\}</tex>
'''return''' <tex>\langle \Sigma, Q_d, \{s\}, T_d, \delta_d \rangle</tex>

===Асимптотика===
Так как количество подмножеств множества состояний НКА не более, чем <tex>2^n</tex>, а каждое подмножество мы обрабатываем ровно один раз за время <tex>O(n)</tex>, получаем верхнюю оценку времени работы алгоритма {{---}} <tex>O(n \cdot 2^n)</tex>.

===Пример===
Пусть нам дан [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированный конечный автомат]]:

[[Файл:DKA.png|250px]]

По нашему заданию эквивалентного ДКА мы получаем:

[[Файл:NKA_definition.png|250px]]

#Помещаем в очередь множество из одной стартовой вершины — <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\{1\}\}</tex>.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, a) = \{1, 2\}</tex>, кладём множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь: <tex>Q = \{\{1, 2\}\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1\}, b) = \{1\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Достаём из очереди множество <tex>\{1, 2\}</tex>: <tex>Q = \{\}</tex>.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, a) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#<tex>q_d(\{1, 2\}, b) = \{1, 2\}</tex>, нам не надо класть множество <tex>\{1, 2\}</tex> в очередь, так как оно уже там было.
#Помечаем все терминальные вершины, в данном случае — <tex>\{1, 2\}</tex>.

В итоге получаем ДКА, эквивалентный исходному:

[[Файл:NKA_algorithm.png|250px]].

== См. также ==

* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
* [[Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний]]
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]

== Источники информации ==
* ''Серебряков В.А.'' Теория и реализация языков программирования. М.: МЗ-Пресс, 2003 (1-е изд.) и 2006 (2-е изд) — С. 294. — ISBN 5-94073-094-9

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]