1outtreesumwc

2016-06-06T14:23:37Z

188.162.65.20: /* Источники информации */ исправлена первая категория

<tex dpi = "200" >1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>

{{Задача
|definition=
Необходимо составить расписание на одном станке работ с произвольными временами выполнения. Минимизировать нужно взвешенную сумму времен завершения работ. Зависимости между работами заданы исходящим [[Дерево, эквивалентные определения | деревом]] {{---}} работа, которая соответствует корню, доступна в начале, все другие работы зависят от одной работы {{---}} отца в дереве.
}}
Тривиальным примером подобной задачи является демонтаж сложного механизма.

== Свойства оптимального расписания ==

Докажем некоторые свойства оптимального расписания, которые мы будем использовать в доказательстве корректности алгоритма.

Введем некоторые обозначения для удобства. За <tex>\mathrm{edges} </tex> обозначим список всех ребёр дерева. Для всех работ <tex>i = 1, \ldots, n</tex> обозначим за <tex>S(i)</tex> всех потомков <tex>i</tex> в дереве зависимостей, включая саму работу <tex>i</tex>, введём новый параметр работы <tex>q_i = \dfrac{w_i}{p_i}</tex>.

Для подмножества работ <tex>I \subseteq \{1, \ldots, n\}</tex> определим:

<tex>w(I) = \sum\limits_{i \in I} w_i, p(I) = \sum\limits_{i \in I} p_i, q(I) = \dfrac{w(I)}{p(I)}</tex>

Два непересекающихся множества работ <tex>I, J \subseteq \{1, \ldots, n\}</tex> будем называть '''параллельными''' <tex>(I \sim J)</tex>, если для всех <tex>i \in I, j \in J</tex> выполняется: <tex>i</tex> не является ни предком, ни потомком <tex>j</tex>. Если множества состоят из одной работы <tex>I = \{i\},\ J = \{j\}</tex>, будем писать <tex>i \sim j</tex>. Каждое расписание представлено перестановкой <tex>\pi</tex>.

{{Лемма
|id=lemma1
|statement= Пусть <tex>\pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, <tex>I</tex> и <tex>J</tex> {{---}} два таких параллельных блока (множества работ, выполняемых последовательно) из <tex>\pi</tex>, что <tex>J</tex> выполняется сразу после <tex>I</tex>. Пусть <tex>\pi'</tex> {{---}} расписание, полученное из <tex>\pi</tex> перестановкой <tex>I</tex> и <tex>J</tex>. Тогда выполяются следующие пункты:
:<tex>(a)~ I \sim J \Rightarrow q(I) \geqslant q(J)</tex>
:<tex>(b)</tex> Если <tex>I \sim J</tex> и <tex>q(I) = q(J)</tex>, то <tex>\pi'</tex> {{---}} оптимальное расписание.
|proof=
<tex>(a)</tex>

:Пусть <tex>f = \sum w_i C_i</tex>. Так как <tex>\pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, то <tex>f(\pi) \leqslant f(\pi')</tex>. Таким образом:

:<tex>0 \leqslant f(\pi') - f(\pi) = w(I) p(J) - w(J) p(I)</tex>

:Поделим на <tex>p(I)p(J)</tex>:

:<tex>q(I) = \dfrac{w(I)}{p(I)} \geqslant \dfrac{w(J)}{p(J)} = q(J) </tex>

<tex>(b)</tex>

:Если <tex>q(I) = q(J) </tex>, то <tex>f(\pi) = f(\pi') </tex>, следовательно расписание <tex>\pi'</tex> оптимально.
}}

{{Теорема
|id = theorem1
|statement = Пусть <tex>i, ~j</tex> работы такие, что <tex>i</tex> {{---}} предок <tex>j</tex>, и <tex> q_j = \max \{q_k \mid ~ (i, k) \in \mathrm{edges} \}</tex>. 
Тогда существует оптимальное расписание, в котором работа <tex>j</tex> идёт сразу после работы <tex>i</tex>
|proof =
Каждое расписание может быть представлено последовательностью работ в порядке, в котором они выполняются. Пусть <tex> \pi </tex> будет оптимальной такой последовательностью. Также предположим, что количество работ между <tex> i </tex> и <tex> j </tex> равное <tex> l </tex> было бы минимальным. Можно считать, что <tex> l > 0 </tex>. Тогда расписание можно представить следующим образом:

[[Файл:JobBlock.jpg]]

Рассмотрим <tex>2</tex> случая.

'''Случай 1''': <tex> k \in S(i) </tex>

:Работа <tex> j </tex> не является потомком работы <tex> k </tex> , иначе у неё было бы <tex>2</tex> предка. Следовательно, <tex> k \sim j </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] <tex> q(k) \geqslant q(j) </tex>, а по условию выбора <tex> j </tex> имеем <tex> q(j) \geqslant q(k) </tex>, значит, <tex> q(j) = q(k) </tex>. Опять же из [[#lemma1 | леммы]] следует, что работы <tex> k </tex> и <tex> j </tex> можно поменять местами, не ухудшив расписание. Это противоречит тому, что мы выбрали минимальное <tex> l </tex>.

'''Случай 2''': <tex> k \not\in S(i) </tex>

:Пусть <tex> h </tex> будет последней работой в расписании между <tex> i </tex> и <tex> j\ ( </tex>включая работу <tex> i) </tex>, которая принадлежит <tex> S(i) </tex>, то есть для всех работ <tex> r </tex> в множестве <tex> K </tex>, назначенных между <tex> h </tex> и <tex> j </tex>, имеем, что <tex> r \not\in S(i) </tex>. Так как наш [[Основные определения теории графов | граф]] зависимостей работ является исходящим деревом и <tex>(i, j) \in \mathrm{edges} </tex>, то любой предок работы <tex> j </tex> также является и предком работы <tex> i </tex>. Поэтому никакая работа из <tex> K </tex> не является предком <tex> j\ (</tex>иначе бы она не смогла стоять после <tex> i) </tex> или потомком, значит, <tex> K \sim j </tex>. Из этого следует, что <tex> q(K) \geqslant q(j) </tex>.

:Работа <tex> h \in S(i) </tex> не является потомком какой-либо работы <tex> r \in K </tex>. В противном же случае получалось, что <tex> r \in S(i) </tex>, значит, <tex> h </tex> является не последней работой из <tex> S(i) </tex> между <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Поэтому <tex> h \sim K </tex>, откуда тут же следует, что <tex> q(h) \geqslant q(K) \geqslant q(j) </tex>. По определению <tex> j </tex> имеем, что <tex> q(j) \geqslant q(h) </tex>, следовательно <tex> q(j) = q(h) = q(K) </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] мы можем поменять блоки <tex> K </tex> и <tex> j </tex> не нарушив оптимальности расписания.

Таким образом мы можем менять соседние работы или блоки работ, пока <tex> j </tex> не окажется сразу за <tex> i </tex>.
}}

== Алгоритм ==
Доказанная в предыдущем пункте [[#theorem1 | теорема]] уже даёт основную идею алгоритма: взять работу <tex> j </tex>, отличную от корня дерева, с максимальным значением <tex> q_j </tex> и поставить её в расписании сразу после своего непосредственного предка <tex> i </tex>. Так как существует оптимальное расписание, в котором работа <tex> j </tex> идёт сразу после <tex> i </tex>, то мы можем объедить вершины графа в одну вершину <tex> J_i = \{i, j\}</tex>, которая представляет собой последовательность <tex> \pi_i \colon i, j </tex>. Все сыновья работы <tex> j </tex> станут сыновьями новой вершины <tex> J_i </tex>.

Будем повторять процесс слияния вершин, пока не останется всего одна вершина.

Таким образом каждая вершина <tex> i </tex> представляется множеством работ <tex> J_i </tex> и соответствующей этому множеству последовательностью <tex> \pi_i </tex>. На очередном шаге алгоритма мы находим вершину <tex> j </tex>, отличную от корня, с максимальным значением <tex> q_j </tex>. Пусть <tex> par </tex> {{---}} непосредственный предок работы <tex> j </tex>. Тогда нам надо найти такую вершину <tex> i </tex>, что <tex> par \in J_i </tex>. После этого мы объединяем обе вершины, заменяя <tex> J_i </tex> и <tex> \pi_i </tex> на <tex> J_i \cup J_j </tex> и <tex> \pi_i \circ \pi_j </tex>, где <tex> \pi_i \circ \pi_j </tex> {{---}} это конкатенация последовательностей <tex> \pi_i </tex> и <tex> \pi_j </tex>.

Детали описаны в алгоритме ниже, в котором
* <tex> E(i) </tex> обозначает последнюю работу в последовательности <tex> \pi_i </tex>,
* <tex> P(i) </tex> обозначает предка в графе зависимостей, а после слияния с какой-то вершиной <tex> j </tex> {{---}} предыдущую работу в последовательности <tex> \pi_j </tex>.

w[root] = <tex> - \infty </tex>
'''for''' i = 1..n
E[i] = {i}
J[i] = {i}
q[i] = w[i] \ p[i]
L = {1, ... , n}
'''while''' L <tex> \ne </tex> {root} // пока в списке работ не останется только корень
Найти работу j <tex> \in </tex> L с маскимальным значением q[j]
par = P[j]
Найти i, что par <tex> \in </tex> J[i]
w[i] += w[j]
p[i] += p[j]
q[i] = w[i] / w[j] // пересчитаем значения в вершине
P[j] = E[i] // предком работы j теперь будет последняя работа в <tex> \pi_i </tex>
E[i] = E[j] // последней работой в <tex> \pi_i </tex> теперь будет последняя работа в <tex> \pi_j </tex>
J[i] = J[i] <tex> \cup </tex> J[j]
L = L \ {j}
Вначале делаем присваивание <tex> w(root) = -\infty </tex>, чтобы корень никогда не выбрался на шаге выбора вершины с максимальным значением <tex> q </tex>. В реализации же можно просто дополнительно проверять на равенство с корнем, чтобы избежать переполнений или испортить значение <tex>-\infty</tex>.

После завершения этой процедуры оптимальное расписание можно восстановить с конца, зная <tex> E(root) </tex> и массив <tex> P </tex>.

Если для получения работы <tex> j </tex> с минимальным значением <tex> q(j) </tex> использовать очередь с приоритетами, а для поиска родителям вершины использовать систему непересекающихся множеств, то время работы алгоритма будет <tex> \mathcal{O}(n\log{n}) </tex>.

Проиллюстрируем работу алгоритма на следующем примере.

[[Файл:JobsOuttrees.jpg|650px]]

Первой выберется работа с номером <tex> 5 </tex>. Она объединиться со своим родителем <tex> 2 </tex> и допишется в конец <tex> \pi_2 </tex>. Потом выберется работа <tex> 4 </tex>, потом <tex> \{2, 5\} </tex> и т. д. Процесс будет продолжаться, пока не останется одна вершина. Ответ {{---}} оптимальная последовательность работ {{---}} содержится в <tex> \pi_1 </tex>, который написан внутри последней вершины.

== Доказательство оптимальности алгоритма ==
{{Теорема
|id = theorem2
|statement = Алгоритм <tex> 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex> строит оптимальное расписание.
|proof =
Доказательство проведём по индукции. Очевидно, что для одной вершины алгоритм построит оптимальное расписание. Пусть теперь он может составить оптимальную последовательность назначенных работ числом меньше <tex> n </tex>. Пусть также работы <tex> i, j </tex> {{---}} работы, которые объединятся на первом шаге алгоритма. Тогда оптимальное расписание <tex> R </tex> можно представить следующим образом:

<tex> \pi \colon \pi (1), \ldots, \pi (k), i, j, \pi (k + 3), \ldots, \pi (n) </tex>

После объединения работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> в одну расписание <tex> R' </tex> примет такой вид:

<tex> \pi ' \colon \pi (1), \ldots, \pi (k), I, \pi (k + 3), \ldots, \pi (n) </tex>

где <tex> I = \{i, j\}, ~w(I) = w(i) + w(j), p(I) = p(i) + p(j)</tex>. Обозначим за <tex> f_n(\pi ), ~f_{n-1}(\pi ') </tex> целевые функции для последовательностей <tex> \pi </tex> и <tex> \pi ' </tex> соответственно. Тогда

<tex> f_n(\pi ) - f_{n-1}(\pi') = w(i)p(i) + w(j)(p(i) + p(j)) - (w(i) + w(j))(p(i) + p(j)) = -w(i) p(j)\ (*) </tex>

Следовательно, расписание <tex> R </tex> будет оптимальным тогда и только тогда, когда расписание <tex> R' </tex> будет оптимальным. А по предположению индукции наш алгоритм составит оптимальное расписание для последовательности <tex> \pi ' </tex>.

Теперь разделим обе части равенства <tex> (*) </tex> на <tex> w(i)w(j) </tex>. Получим, что расстояние между целевыми функциями равно

<tex> -\dfrac{p(j)}{w(j)} = -\dfrac{1}{q(j)} </tex>

Это расстояние минимально (по модулю), так как мы выбирали работу <tex> j </tex> с максимальным значением <tex> q(j) </tex>. Из этих утверждений и следует оптимальность построенного алгоритмом расписания.
}}

== Применение алгоритма в задаче с intree-зависимостью ==
Сведем задачу <tex> S_{in} = 1 \mid intree \mid \sum w_i C_i </tex> к решенной задаче <tex>S_{out} = 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i </tex> следующим образом:
* Развернем все ребра, теперь если работа <tex> i </tex> зависела от работы <tex> j </tex>, работа <tex> j </tex> будет зависеть от <tex> i </tex>.
* Заменим все стоимости <tex> w_i </tex> на противоположные <tex> w'_i = - w_i</tex>.
{{Утверждение
|statement=Развернутое оптимальное расписание соответствующей задачи <tex> S_{out} </tex> с весами <tex> w'_i </tex> является оптимальным расписанием для задачи <tex> S_{in} </tex>
|proof=
Полученное расписание будет допустимым, так как расписание для <tex> S_{out} </tex> было допустимым, и в нем никакие две работы не пересекались и не прерывались. Развернув, мы не могли нарушить это свойство. Также из-за того, что мы развернули расписание, мы добились того, что все работы выполняются в правильном порядке (в расписании для <tex> S_{out} </tex> из-за того, что все ребра были развернуты, порядок был нарушен для всех работ). Таким образом, получили что расписание — допустимое.

Пусть с помощью задачи <tex> S_{out} </tex> мы получили последовательность работ <tex> 1 \dots n </tex>. Распишем по определению значение целевой функции для <tex> S_{out} </tex>:
<tex>\sum -w_i C_i = \sum \limits_{i=1}^n ( -w_i \sum \limits_{j=1}^i p_j ) = \\
\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i+1}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i = \\
\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i p_i - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i </tex>
Заметим, что первое слагаемое соответствует целевой функции <tex> \sum w_i C_i </tex> для последовательности <tex> n \dots 1 </tex>, а второе и третье слагаемые — константы, зависящие только от входных данных и не зависящие от перестановки работ. Таким образом, оптимальное значение для <tex> S_{out} </tex> также минимизирует <tex> S_{in} </tex>.
}}
== Источники информации ==
* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 73 - 78

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Теория расписаний]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

1outtreesumwc