Линейные уравнения высших порядков

2015-11-30T15:58:01Z

188.162.65.42: /* Общее решение ЛОДУ */

==Определение==
{{Определение|definition=<tex>y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)</tex> {{---}} называется линейным уравнением n-ного порядка.}}
{{Определение|definition= если <tex>f(x)\equiv 0</tex> то уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.}}
пусть <tex>\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y</tex>, тогда уравнение имеет вид <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>. 
<tex>\alpha(y)</tex> называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка.
Очевидно, что <tex>\alpha (\Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)</tex>.

==Свойства решения однородного уравнения==
Если <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> {{---}} решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то <tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} решение.
Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.
{{Определение|definition= функции <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> называются линейно зависимыми(ЛЗ), если
<tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \Sigma_{k = 0}^{n} \alpha_k^2 = 0</tex>.
иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).}}
{{Утверждение|statement=если <tex>y_1(x),\dots, y_n(x)</tex> - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.
|proof=пусть <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0 </tex> при некотором наборе <tex>\alpha_i</tex> , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.
тогда <tex>y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n</tex>, где <tex>\alpha_m \neq 0</tex> }}
==Фундаментальная система решений ЛОДУ==
{{Определение|definition=Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ.}}
{{Определение|definition=Определитель Вронского набора <tex>y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)</tex> имеет вид:
 
<tex>
W(x) =\begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\
y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x)
\end{vmatrix}</tex>}}
{{Теорема|about=критерий ЛНЗ решений ЛОДУ|statement= пусть <tex>y_1(x), \dots , y_n(x)</tex> - некоторая совокупность решений уравнения <tex>\alpha(y) = 0</tex>.
Тогда она образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда <tex>W(x) \neq 0</tex> на (a, b).
|proof=
рассмотрим сумму <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)</tex>, и найдем набор <tex>\alpha_1, \dots, \alpha_n</tex>, при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему:
<tex>
\left\{\begin{matrix}
\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\
\alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0
\\
\dots
\\
\alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0
\end{matrix}\right.
</tex> 
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.}}

==Общее решение ЛОДУ==
{{Утверждение|about=Формула Остроградского-Лиувиля|statement=Определитель Вронского равен <tex dpi="145">W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}</tex>, где <tex>p_1(x)</tex> {{---}} коэффицент при
<tex>y^{(n - 1)}</tex> 
если <tex>W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x</tex> 
если <tex>W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x</tex>}}
{{Теорема|about=структура общего решения ЛОДУ|statement=пусть <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) тогда общее решение имеет вид:
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex>
|proof= <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно.
Покажем, что <tex>(\ast) </tex> - общее решение:
<tex>
\left\{\begin{matrix}
y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)
\\
y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x)
\\
\dots
\\
y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x)

\end{matrix}\right.
</tex> {{---}} эта система разрешима относительно <tex>C_i, \forall i=1..n</tex>, так как <tex>W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow</tex>
 
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} есть общее решение <tex>\alpha(y) = 0</tex>
}}

==Общее решение ЛНДУ==
{{Теорема|statement=
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ
|proof=
обозначаем: 
<tex>y_{p.i.}</tex> {{---}} частное решение ЛНДУ. 
<tex>z_{c.h.}</tex> {{---}} общее решение ЛОДУ.
<tex>y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?</tex> 
пусть <tex>y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}</tex> 
рассмотрим <tex>y(x) = y_1(x) + z(x)</tex>. <tex>\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)</tex>. Но <tex>\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow</tex> 
<tex>f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0</tex>. Значит y - действительно общее решение <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>
}}

Ковариантность и контравариантность

2015-06-21T08:40:00Z

188.162.65.42: /* Ковариантные и Контрвариантные векторы в E */

{{Теорема
|statement= <tex>e^k= \sum\limits^n_{i=1}{g^{ki}e_i} (1)</tex>; <tex>e_k= \sum\limits^n_{i=1}{g_{ki}e^i} (2)</tex>, где <tex>\Vert g^{ki}\Vert=\Vert g_{ki}\Vert^{-1}</tex>
|proof= <tex>{\{e^i\}}_{i=1}^n</tex> - базис <tex>E \Longrightarrow e_k = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i}</tex>(разложение единственно)

Тогда <tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = \left\langle \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}e^i};e_j\right\rangle = \sum\limits^n_{i=1}{\alpha_{ki}\left\langle e^i;e_j\right\rangle} = \alpha_{kj}</tex> (т.к. <tex>\left\langle e^i;e_j\right\rangle = \delta^i_j</tex>)

<tex>\left\langle e_k;e_j\right\rangle = g_{kj}</tex>, т.е <tex>g_{kj}=\alpha_{kj}</tex>

Переход от <tex>(2)</tex> к <tex>(1)</tex> производится путём умножения на обратную матрицу:

<tex>G^{-1} \vert e_{(k)} = G\cdot e^{(i)}</tex> - и приходим к равенству <tex>(1)</tex>
}}

=Ковариантные и Контрвариантные векторы в E=

пусть <tex>x =! \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i</tex> и <tex>x =! \sum\limits_{k=1}^n \xi_k e^k</tex>

{{Лемма
|about = 1
|statement =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ (3)</tex> 
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ (4)</tex> 
здесь <tex>g_{ki}</tex> и <tex>g^{ik}</tex> - [[метрический тензор]]
|proof =
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex> 
<tex>\xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k =^{(1)} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k (\sum\limits_{i=1}^n g^{ki} e_i) = \sum\limits_{i=1}^n ( \sum\limits_{k=1}^n \xi_k g^{ki}) e_i</tex> 
<tex>\xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k</tex>
 
аналогично <tex>(4)</tex>
}}

Далее {{---}} <tex>E</tex> над <tex>R</tex>

<tex> g_{ik} = g_{ki} \Rightarrow \xi^i = \sum\limits_{k=1}^n g^{ki} \xi_k \ ( \tilde{3})</tex>

<tex> g^{ik} = g^{ki} \Rightarrow \xi_i = \sum\limits_{k=1}^n g_{ki} \xi^k \ ( \tilde{4})</tex>

{{Определение
|definition=
<tex>\{ \xi^1 \cdots \xi^n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОНТРвариантными'''. 
<tex>\{ \xi_1 \cdots \xi_n\}</tex> {{---}} координаты вектора <tex>x</tex> в базисе <tex> \{e^i\}_{i=1}^{n}</tex> называются '''КОвариантными'''.
}}

{{Определение
|definition=
Операция ковариантных координат на контрвариантные в соответствии с <tex>(\tilde{3})</tex> называется операцией поднятия индекса координаты.
}}

{{Определение
|definition=
Операция контрвариантных координат на ковариантные в соответствии с <tex>(\tilde{4})</tex> называется операцией опускания индекса координаты.
}}

Рассмотрим <tex>g^{ik} \xi_e </tex> {{---}} свертка к <tex>\xi^{i}</tex> (валентность {{---}} <tex>(2,1)</tex>)

Рассмотрим <tex>\omega^{ik}_l = \omega^{ik.}_{..l}</tex>

Тогда: 1) <tex>\omega^{.k.}_{i.l} = g_is \omega^{sk.}_{..l}</tex>

2) <tex>\omega^{ikl}_{...} = g^{lt} \omega^{ik.}_{..t}</tex>

NB: Если <tex>g_{ik} = g^{ik} = \delta^i_k</tex> и <tex>G = G^{-1} = E \Rightarrow</tex>

1) <tex> \langle x;y \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \xi^i \eta^i </tex>

2) <tex> \xi^i = \xi_i ; \ e^i = e_i</tex>

{{Теорема
|statement=
пусть <tex> x = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^k e_k </tex> 
<tex>\{e_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{f_i\}_{i=1}^{n}</tex> - сопряженные базисы 
<tex>g_{ik}</tex> - [[метрический тензор]] 
тогда <tex>Gx = \sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_{ki} f^i</tex>, где <tex>Gx,f^i \in E^{*}</tex>

|proof=
<tex dpi = "160">Gx = G(\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k e_k) =
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k Ge_k =^{(2)}
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k G(\sum\limits_{i=1}^{n}g_{ki}e^{i}) =
\sum\limits_{k=1}^{n} \xi^k(\sum\limits_{i=1}^{n} g_{ki}Ge^i) =
\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^k g_ki f^i</tex>
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Линейные уравнения высших порядков

Ковариантность и контравариантность