Гипотеза Хивуда

2019-12-31T17:40:55Z

188.17.80.207: /* Теорема о нижней границе хроматического числа поверхности */

{{Определение
|id = Heawood number
|definition =
'''Хроматическим числом поверхности поверхности <tex>S_n</tex>''' или '''<tex>n</tex>-ым числом Хивуда''' называется число <tex>\chi \left( S_n \right)</tex>, равное максимальному хроматическому числу графа, который можно уложить на поверхность <tex>n</tex>-ого рода.
}}

==Теорема о нижней границе хроматического числа поверхности==

{{Теорема
|about=
Теорема Рингеля и Янгса
|statement=
Для любого положительного целого числа <tex>n</tex> хроматическое число поверхности <tex>n</tex>-ого рода <tex>\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.
|proof=

Воспользуемся формулой Эйлера <tex>V + F - E = 2 - 2n</tex>. Давайте докажем нижнюю границу на <tex>E</tex>. Максимизируем число граней: каждая из них может быть треугольником. Тогда для <tex>E</tex> существует неулучшаемая нижняя граница:

<tex>E \geqslant 3 \left( V - 2 + 2n \right)</tex>

<tex>n \geqslant \dfrac{1}{6} E - \dfrac{1}{2} \left( V - 2 \right)</tex>.

Рассмотрим полный граф <tex>K_p</tex>, тогда получаем, что

<tex>\gamma \left( K_p \right) \geqslant \dfrac{1}{6} \dfrac{p (p - 1)}{2} - \dfrac{p - 2}{2}</tex>

<tex>\gamma \left( K_p \right) \geqslant \left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}</tex>, функция монотонно возрастает при <tex>p \geqslant 4</tex>, и для любого <tex>n</tex> наибольшее значение функция <tex>\left\{ \dfrac{(p - 3)(p - 4)}{12} \right\}</tex> достигается при <tex>p=\left[\dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Поскольку <tex>\chi\left(K_p\right) = p</tex>, откуда получаем, что <tex>\chi \left( S_n \right) \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.
}}

==Теорема о верхней границе хроматического числа поверхности==

{{Теорема
|about=
Гипотеза Хивуда
|statement=
Для любого положительного целого числа <tex>n</tex> хроматическое число поверхности <tex>n</tex>-ого рода <tex>\chi \left( S_n \right) \leqslant \left[ \dfrac{ 7 + \sqrt{1 + 48n} }{ 2 } \right]</tex>.
|proof=

Пусть задан граф <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершина, <tex>E</tex> рёбрами и <tex>F</tex> гранями, также будем считать, что <tex>G</tex> {{---}} триангуляция (добавляя таким образом рёбра мы всё ещё получаем граф, который можно уложить на поверхности <tex>n</tex>-ого рода). Обозначим за <tex>d</tex> {{---}} среднюю степень вершины графа <tex>G</tex>, тогда должно быть справедливым следующее равенство:

<tex>dV = 2E = 3F</tex>

Воспользуемся [[формула Эйлера | формулой Эйлера]] <tex>V - E + F = 2 - 2 n</tex>, откуда

<tex>E = V + F + 2 (n - 1)</tex> и <tex>F = 2 V + 4 (n - 1)</tex>

и подставляя в первое равенство получаем

<tex>dV = 6V + 12(n - 1)</tex>

<tex>d = 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>

Поскольку <tex>d \leqslant V - 1</tex>, то

<tex>V - 1\geqslant 6 + \dfrac{12(n - 1)}{V}</tex>

Найдём единственный положительный корень неравенства

<tex>V \geqslant \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>

Обозначим за <tex>H(n) = \left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>. Если <tex> V \leqslant H(n)</tex>, то тогда граф <tex>G</tex> очевидно можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов и неравенство верное. Допустим, что <tex>V > H(n)</tex>, тогда

<tex> d < 6 + \dfrac{12(n - 1)}{H(n)} = H(n) - 1</tex>

Значит в такое графе существует хотя бы одна вершина степени не больше <tex>H(n) - 2</tex>, стянем её с любой соседней и получим новый граф <tex>G'</tex> с <tex>V - 1</tex> вершинами. Если <tex>V - 1 = H(n)</tex>, то граф <tex>G'</tex> можно раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, значит и сам граф <tex>G</tex> можно также раскрасить в <tex>H(n)</tex> цветов, если <tex>V - 1 > H(n)</tex>, то опять найдём вершину степени <tex>H(n) - 2</tex> и снова стянем её и будем продолжать так до тех пор, пока не получим желаемый граф.
}}

Из всего выше сказанного получаем, что <tex>\chi \left(S_n\right)</tex> в точности равно <tex>\left[ \dfrac{7 + \sqrt{1 + 48n}}{2} \right]</tex>.

==Проблема четырёх красок==
Заметим, что теорема Хивуда не работает при <tex>n = 0</tex>, поэтому [[проблема четырёх красок]] не может быть доказана с помощью этой теоремы, однако при подстановке <tex>n = 0</tex> получаем <tex>\chi \left( S_0 \right) = 4</tex>.

==См. также==
* [[Хроматическое число планарного графа]]
* [[Проблема четырёх красок]]
* [[Формула Эйлера]]

==Источники информации==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Heawood_conjecture Wikipedia {{---}} Heawood conjecture]
* [https://oeis.org/A000934 Последовательность чисел Хивуда]
* Ф.Харари «Теория графов» {{---}} М.: Мир, 1973 г. {{---}} стр. 162 - 164

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Гипотеза Хивуда