http://neerc.ifmo.ru/wiki/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=188.227.48.30&*
Викиконспекты - Вклад участника [ru]
2026-06-15T15:20:54Z
Вклад участника
MediaWiki 1.30.0
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=40516
Троичная логика
2014-10-24T18:18:48Z
<p>188.227.48.30: /* Алгебраические свойства */</p>
<hr />
<div>==Определение==<br />
<br />
'''Трёхзначная логика''' (или '''троичная логика''') — исторически первая многозначная логика. Является простейшим расширением двузначной логики. <br />
<br />
Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует.<br />
В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак "0". <br />
<br />
==Одноместные операции==<br />
<br />
Очевидно, что в троичной логике всего существует <math>3^3=27</math> одноместных операций. <br />
<table border=1><br />
<tr><td><math>a</math></td><td><math>-</math></td><td><math>0</math></td><td><math>+</math></td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_0</math></td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td><math>-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_1</math></td><td>-</td><td>-</td><td>0</td><td><math>\searrow</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_2</math></td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td><math>S^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_3</math></td><td>-</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_4</math></td><td>-</td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_5</math></td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_6</math></td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td><math>S</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_7</math></td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td><math>NOT^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_8</math></td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_9</math></td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{10}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{11}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>+</td><td><math>NOT^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{12}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{13}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td><math>0</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{14}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{15}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>-</td><td><math>INC</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{16}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td><math>a^o</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{17}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>+</td><td><math>\nearrow</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{18}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td><math>S^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{19}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>0</td><td><math>DEC</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{20}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{21}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td><math>NOT</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{22}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>0</td><td><math>a^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{23}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{24}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{25}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{26}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td><math>+</math></td></tr><br />
</table><br />
<br />
==Алгебраические свойства==<br />
<br />
Свойства констант:<br />
<br />
<math>a \wedge + = a</math><br />
<br />
<math>a \wedge - = -</math><br />
<br />
<math>a \vee + = +</math><br />
<br />
<math>a \vee - = a</math><br />
<br />
<math>\overline{-} = +</math><br />
<br />
<math>\overline{+} = -</math><br />
<br />
Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются '''коммутативный''', '''ассоциативный''' и '''дистрибутивный законы''', '''закон идемпотентности'''.<br />
<br />
Также действует закон '''двойного отрицания''' (отрицания Лукашевича) и '''тройного (циклического) отрицания''':<br />
<br />
<math>\overline{\overline{a}}=a</math><br />
<br />
<math>a'''=a</math><br />
<br />
Буквальное определение '''циклического отрицания''' вытекает из следующих свойств:<br />
<br />
<math>- ' = 0</math><br />
<br />
<math>0 ' = +</math><br />
<br />
<math>+ ' = -</math><br />
<br />
Третье состояние ("0") при отрицании Лукашевича неизменно:<br />
<br />
<math>\overline{0} = 0</math><br />
<br />
<math>\overline{(a \wedge 0)} = \overline{a} \vee 0</math><br />
<br />
Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги.<br />
<br />
'''Закон несовместности состояний''' (аналог закона противоречия в двоичной логике):<br />
<br />
<math>Sa \wedge Sa'' = -</math><br />
<br />
<math>Sa' \wedge Sa'' = -</math><br />
<br />
<math>Sa' \wedge Sa = -</math><br />
<br />
'''Закон исключённого четвёртого''' (вместо '''закона исключённого третьего'''), он же '''закон полноты состояний''':<br />
<br />
<math>Sa' \vee Sa \vee Sa'' = +</math>, или <br />
<br />
<math>S^-a \vee Sa \vee S^+a = +</math><br />
<br />
'''Трёхчленный закон Блейка-Порецкого''':<br />
<br />
<math>a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</math>, или<br />
<br />
<math>a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</math></div>
188.227.48.30
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0&diff=40515
Троичная логика
2014-10-24T18:04:29Z
<p>188.227.48.30: /* Алгебраические свойства */</p>
<hr />
<div>==Определение==<br />
<br />
'''Трёхзначная логика''' (или '''троичная логика''') — исторически первая многозначная логика. Является простейшим расширением двузначной логики. <br />
<br />
Обычным примером трехзначной логики является состояние постоянного тока: движется в одну сторону, движется в другую сторону, либо отсутствует.<br />
В традиционной трёхзначной логике "лжи" и "истине" соответствуют знаки „-“ и „+“. Третьему (серединному) состоянию соответствует знак "0". <br />
<br />
==Одноместные операции==<br />
<br />
Очевидно, что в троичной логике всего существует <math>3^3=27</math> одноместных операций. <br />
<table border=1><br />
<tr><td><math>a</math></td><td><math>-</math></td><td><math>0</math></td><td><math>+</math></td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_0</math></td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td><math>-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_1</math></td><td>-</td><td>-</td><td>0</td><td><math>\searrow</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_2</math></td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td><math>S^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_3</math></td><td>-</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_4</math></td><td>-</td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_5</math></td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_6</math></td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td><math>S</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_7</math></td><td>-</td><td>+</td><td>0</td><td><math>NOT^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_8</math></td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_9</math></td><td>0</td><td>-</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{10}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{11}</math></td><td>0</td><td>-</td><td>+</td><td><math>NOT^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{12}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{13}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td><math>0</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{14}</math></td><td>0</td><td>0</td><td>+</td><td><math>a^+</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{15}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>-</td><td><math>INC</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{16}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>0</td><td><math>a^o</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{17}</math></td><td>0</td><td>+</td><td>+</td><td><math>\nearrow</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{18}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td><math>S^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{19}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>0</td><td><math>DEC</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{20}</math></td><td>+</td><td>-</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{21}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td><math>NOT</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{22}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>0</td><td><math>a^-</math></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{23}</math></td><td>+</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{24}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>-</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{25}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td></td></tr><br />
<tr><td><math>f_{26}</math></td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td><math>+</math></td></tr><br />
</table><br />
<br />
==Алгебраические свойства==<br />
Для конъюнкции и дизъюнкции в троичной логике сохраняются '''коммутативный''', '''ассоциативный''' и '''дистрибутивный законы''', '''закон идемпотентности'''.<br />
<br />
Также действует закон '''двойного отрицания''' (отрицания Лукашевича) и '''тройного (циклического) отрицания''':<br />
<br />
<math>\overline{\overline{a}}=a</math><br />
<br />
<math>a'''=a</math><br />
<br />
Буквальное определение '''циклического отрицания''' вытекает из следующих свойств:<br />
<math>- ' = 0</math><br />
<math>0 ' = +</math><br />
<math>+ ' = -</math><br />
<br />
Для законов двоичной логики, не справедливых для троичной, существуют их троичные аналоги:<br />
<br />
'''Закон несовместности состояний''' (аналог закона противоречия в двоичной логике)<br />
<br />
<math>Sa \wedge Sa'' = -</math><br />
<br />
<math>Sa' \wedge Sa'' = -</math><br />
<br />
<math>Sa' \wedge Sa = -</math><br />
<br />
'''Закон исключённого четвёртого''' (вместо '''закона исключённого третьего'''), он же '''закон полноты состояний'''.<br />
<br />
<math>Sa' \vee Sa \vee Sa'' = +</math>, или <br />
<br />
<math>S^-a \vee Sa \vee S^+a = +</math><br />
<br />
'''Трёхчленный закон Блейка-Порецкого'''.<br />
<br />
<math>a \vee Sa' \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</math>, или<br />
<br />
<math>a \vee S^-a \wedge b \vee Sa \wedge b = a \vee b</math></div>
188.227.48.30