Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:23:01Z

194.85.161.36: /* Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана — Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex dpi=150>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>
<tex dpi=150>
\left|\dfrac{\sum_{k=0}^n S_k}{n+1} - S\right| = \left|\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}\right| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}\\
\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\varepsilon}{2} \\
\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \varepsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса — Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:17:19Z

194.85.161.36: /* Формула Стокса */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана — Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса — Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:16:22Z

194.85.161.36: /* Формула Гаусса--Остроградского */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана — Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса — Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:15:51Z

194.85.161.36: /* Теорема Римана--Лебега */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана — Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:14:52Z

194.85.161.36: /* Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:14:24Z

194.85.161.36: /* Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:13:55Z

194.85.161.36: /* Теорема Радона--Никодима */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона — Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:09:25Z

194.85.161.36: /* Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:07:09Z

194.85.161.36: /* Теорема о вложении пространств L^p */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex>
|proof=
# Напрямую следует из 2
# Пусть <tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex> <tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T11:05:19Z

194.85.161.36: /* Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
<tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex> 
<tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h 
<tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h   <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h 
<tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex>
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=Ну тут тип просто замена в интеграле)))
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r</tex>
|proof=
1. Напрямую следует из 2

2. Пусть

<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>

<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>

Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T10:44:17Z

194.85.161.36: /* Интеграл комплекснозначной функции */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex> 
<tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда:
#<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм.
#<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex> <tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм.
|proof=
}}

=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{N}, \mu), \quad h</tex> - измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> - функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>v = h(\mu)</tex> т.е. <tex>v(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_{h}</tex> - мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_h \equiv v</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r</tex>
|proof=
1. Напрямую следует из 2

2. Пусть

<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>

<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>

Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T10:31:59Z

194.85.161.36: /* Плотность в L^p множества ступенчатых функций */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{N}, \mu), \quad h</tex> - измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> - функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>v = h(\mu)</tex> т.е. <tex>v(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_{h}</tex> - мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_h \equiv v</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r</tex>
|proof=
1. Напрямую следует из 2

2. Пусть

<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>

<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>

Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
# <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f| < +\infty</tex> Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex> <tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\;sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex>
# <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия? <tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex> <tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex> <tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега).
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Участник:Iloskutov/Матан 4сем

2015-06-23T10:12:47Z

194.85.161.36: /* Формула для Бета-функции */

== Определения ==
=== Условие L_loc ===
{{Определение
|definition=
<tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> - суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| < g(x)</tex> 
Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex>
}}

=== Образ меры при отображении ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v: B \to \mathbb{R}, \quad v(B) = \mu(\Phi^{-1}(B))</tex> - мера 
<tex>v</tex> - образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>
}}

=== Взвешенный образ меры ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak(B), ?)</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex>\Phi: X \to Y, \quad \Phi^{-1}(B) \in A</tex> 
Тогда <tex>v(B) = \int\limits_{\Phi^{-1}(B)} w d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> - вес
}}

=== Плотность одной меры по отношению к другой ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) </tex> 
<tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex> 
<tex>w \geqslant 0</tex> - вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - изм. на <tex>X</tex> 
<tex>v(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex> 
<tex>w</tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu</tex>
}}

=== Заряд ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu: A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности 
<tex>\mu</tex> - заряд
}}

=== Множество положительности заряда ===
{{Определение
|definition=
<tex>\forall E \in B (E \in A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) 
<tex>B \in A</tex> - множество положительности
}}

=== Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере ===
{{Определение
|definition=
<tex>\mu, v: A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in A: \mu a = 0 \Rightarrow v(a) = 0</tex> 
<tex>v</tex> - абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex>
}}

=== Произведение мер ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v)</tex> 
<tex>X \times Y</tex> - декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b | a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex> 
<tex>m: A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot v(b)</tex> 
<tex>m</tex> - произведение мер <tex>\mu, v</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex>
}}

=== Сечение множества ===
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex> 
<tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex> 
<tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex>

}}

=== Функция распределения ===
{{Определение
|definition=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> 
<tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно 
<tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex>
}}

=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского ===
{{Теорема
|author=Гёльдер
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой; <tex>f \in L^p, g \in L^q, p > 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1</tex>. Тогда <tex>
\displaystyle\int\limits_X |fg| \, d\mu < +\infty
,\;
\displaystyle\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\displaystyle\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\displaystyle\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}</tex>
}}
{{Теорема
|author=Минковский
|statement=Пусть <tex>(X,\mathfrak{A},\mu)</tex> — пространство с мерой, и функции <tex>f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>. Тогда <tex>f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)</tex>, и более того:
: <tex>\left(\displaystyle\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \displaystyle\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \displaystyle\int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}</tex>.
}}

=== Интеграл комплекснозначной функции ===
=== Пространство $L^p(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex>L^0(E, \mu)</tex> — множество измеримых функций, почти везде конечных на <tex>E</tex>.
}}

{{Определение
|definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>.
}}

=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ ===
{{Определение
|definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(X, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex>
}}

=== Существенный супремум ===
{{Определение
|definition=<tex> f \colon X \to \overline{\mathbb R}</tex> 

<tex>\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M</tex> при почти всех <tex>x\}</tex>
}}

=== Фундаментальная последовательность, полное пространство ===
{{Определение
|definition=Последовательность <tex>\{f_n\}_{n \geqslant 1} \subset L^p(X, \mu)</tex> называется фундаментальной в <tex>L^p(X, \mu)</tex>, если <tex>\|f_n - f_k\|_p \to 0</tex> при <tex>k, n \to \infty</tex>, т.е.
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N : \|f_n - f_k\| < \varepsilon</tex> при <tex>k, n > N</tex>.
}}

=== Плотное множество ===
{{Определение
|definition=<tex>X</tex> — метрическое пространство.

<tex>A \subset X</tex> — (всюду) плотно в <tex>X</tex>, если
для любого открытого мн-ва <tex>G \subset X \quad A \cap G \ne \varnothing</tex>.

Или, эквивалентно, любой шар <tex>B(x_0, r)</tex> содержит точки из <tex>A</tex>.
}}

=== Финитная функция ===
{{Определение
|definition=<tex>f</tex> — финитная в <tex>\mathbb R^m</tex>, если она равна нулю вне некоторого шара.
}}

=== Гильбертово пространство ===
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением.
}}
{{Определение
|definition = <tex>\mathcal{H} \</tex> — гильбертово пространство:
* <tex>\forall x, y \in \mathcal H \quad x \perp y \Leftrightarrow \langle x, y \rangle = 0</tex>
* <tex>\mathcal A \in \mathcal H \quad x \perp \mathcal A : \ \forall a \in \mathcal A \ x \perp a</tex>
* <tex>\displaystyle\sum_{k=1}^\infty x_k</tex> — ортогональный ряд, если <tex>\forall i, j (i \ne j) \ x_i \perp x_j</tex>
}}

=== Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры ===
{{Определение
|definition=Система векторов <tex>\{e_i\}</tex> называется ортогональной, если <tex>\forall i, j \ e_i \perp e_j</tex>
}}
{{Определение
|definition= Если к тому же <tex>\forall i \ |e_i| = 1</tex> — тогда ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система
}}
{{Пример
|example=<tex>\{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \dotsc\}</tex> — ортогональная система.
<tex>\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}, \dfrac{\sin x}{\sqrt \pi}, \dotsc\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex>
}}
{{Пример
|example=<tex>1, \left\{\dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{2\pi}}\right\}</tex> — ортонормированная система в <tex>L^2[0; 2\pi]</tex> над <tex>\mathbb C</tex>
}}
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве ===
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье ===
{{Определение
|definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{2kt}</tex> — ряд Фурье
}}

=== Базис, полная, замкнутая ОС ===
{{Определение
|definition=
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — базис, если <tex>\forall x \in H \quad x = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} c_k(x) e_k</tex>
# <tex>\{e_k\}</tex> — ОС — полная в <tex>H</tex>, если <tex>\left(\forall k\ z \perp e_k\right) \Rightarrow z = 0</tex>
# <tex>\sum |c_k(x)|^2 \|e_k\|^2 = \|x\|^2</tex> — уравнение Парсеваля (уравнение замкнутости). Если <tex>\forall x</tex> выполнено уравнение замкнутости, то <tex>\{e_k\}</tex> — замкнутая ОС.

}}

=== Тригонометрический ряд ===
{{Определение
|definition=<tex>T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический полином степени <tex>n</tex>.
}}
{{Определение
|definition=<tex>T(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx</tex> — тригонометрический ряд.
}}

=== Коэффициенты Фурье функции ===
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера ===
{{Определение
|definition=
<tex>D_n(t) = \dfrac{1}{\pi} \left(\dfrac12 + \sum\limits_{k=1}^n \cos kt \right) \quad n = 0, 1, \dotsc</tex> — ядро Дирихле, 
<tex>\Phi_n(t) = \dfrac{1}{n+1} \sum\limits_{k=0}^n D_k(t)</tex> — ядро Фейера
}}

=== Свёртка ===
{{Определение
|definition=<tex>f, k \in L^1[-\pi; \pi]</tex>
<tex>(f*k)(x) = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) k(x-t) \;dt = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x-t) k(t) \;dt</tex>
<tex>(f*k)(x)</tex> — свёртка.
}}

=== Аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=
<tex>D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}</tex> — пред. точка <tex>D</tex>.
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам:
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex>
* L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в свк.: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex>
* <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей.
}}

=== Усиленная аппроксимативная единица ===
{{Определение
|definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
: <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex>
Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица.
}}

=== Метод суммирования средними арифметическими ===

=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 ===
=== Поверхностный интеграл первого рода ===
{{Определение
|definition=<tex>\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt</tex>
}}

=== Кусочно-гладкая поверхность в R^3 ===
{{Определение
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение:
* конечного числа простых гладких поверхностей
* конечного числа простых гладких дуг
* конечного числа точек
}}

=== Сторона поверхности ===
{{Определение
|definition= Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности
}}

=== Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов ===
{{Определение
|definition=Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности
}}
{{Определение
|definition=Поле реперов <tex>v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3</tex>, если <tex>\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle</tex> — касательный репер
}}
{{Определение
|definition=Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
<tex>n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}</tex>
}}

=== Интеграл II рода ===
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности ===
=== Ротор, дивергенция векторного поля ===
{{Определение
|definition=Пусть <tex>V = (P, Q, R)</tex> — гладкое векторное поле в некоторой области <tex>E \subset \mathbb R^3</tex>. Тогда
: <tex>\operatorname{rot} V = (R'_y - Q'_z,\; P'_z - R'_x,\; Q'_x - P'_y)</tex>
}}

=== Соленоидальное векторное поле ===
{{Определение
|definition=
<tex>v = (P, Q, R)</tex> — соленоидальное, если существует векторный потенциал <tex>B</tex>, т.е. <tex>v = \operatorname{rot} B</tex>.
}}

== Теоремы ==
=== Теорема об интегрировании положительных рядов ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда
: <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex>
|proof=
}}

=== Абсолютная непрерывность интеграла ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> суммируемая функция 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n: X \rightarrow \mathbb{R}, f_n \rightarrow f</tex> по мере <tex>\mu</tex> 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n : X \rightarrow \tilde{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде 
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex> 
Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Фату ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\int {f_n \;d\mu} < C</tex> 
Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu < C</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> - имеет смысл и выполнены 2 условия: 
# <tex>f</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex>
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex>
|proof=
}}

=== Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}, Y \in \mathbb{R}</tex> - промежуток 

# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex>
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex>
# <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y0)</tex> Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Вычисление интеграла Дирихле ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры ===
{{Теорема
|statement=
<tex> (X, \mathfrak{A}, \mu), (Y, B, ???)</tex> 
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция 
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex> 
<tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес 
Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Критерий плотности ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak(A), \mu) \quad v, w</tex> - измеримые, <tex>w \geqslant 0</tex> 
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о множествах вполне положительности заряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad E \in A, \quad E </tex> - множество положительности 
Тогда <tex>\exists G \subset E</tex> - множество положительности: <tex>\mu(G) \geqslant \mu(E)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Радона--Никодима ===
{{Теорема
|author=Радон, Никодим
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex> — пространство с мерой, <tex>\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu</tex> — конечные меры, причём <tex>\nu</tex> абсолютно непрерывна относительно <tex>\mu</tex>.
Тогда <tex>\exists ! f</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>.
|proof=
{{Лемма
|statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex>.
<tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>
}}
Хз если честно((99
}}

=== Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex> 
Пусть <tex>c > |det \phi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>] U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \in U(A), a \in Q</tex> 
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм 
Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\phi\colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм 
Пусть <tex>O_1 := \phi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex> 
Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \phi)(x) \cdot |det \phi'(x)| d\mu(x)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о произведении мер ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathbb{R}^n \Rightarrow \lambda_a \cdot \lambda_b = \lambda_{a+b}</tex>
|proof=
}}

=== Принцип Кавальери ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} * \mathfrak{B}</tex> 
Тогда:

# <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>x \to \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex>
# <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Тонелли ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex> 
Тогда:

# <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex>
# <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex>
# <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция
# <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex>
|proof=
}}

=== Формула для Бета-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
|proof=
Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex>

С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где
: <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex>

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим:
:<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\
{} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex>

Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>:
:<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex>

Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex>
}}

=== Теорема Фубини ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * \nu</tex> 
<tex>f: X \times Y \to \mathbb{R} - m</tex> — сумм. Тогда:
# <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex>
# <tex> x \to q(x) = \int f_x d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex>
# <tex>\int f d\nu = \int q d\mu</tex>

Аналогично для <tex>C_y</tex>
|proof=
}}

=== Объем шара в R^m ===
{{Теорема
|statement=
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex> 
<tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой) ===
{{Лемма
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{N}, \mu), \quad h</tex> - измерима, почти везде конечна 
<tex>H</tex> - функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex> 
<tex>v = h(\mu)</tex> т.е. <tex>v(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex> 
<tex>\mu_{h}</tex> - мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex> 
Тогда <tex>\mu_h \equiv v</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре)
|proof=
}}

{{Теорема
|statement=
<tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex> 
Остальное из прошлой леммы 
Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о вложении пространств L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex dpi=150>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex>

<tex dpi=150>\mu(X) < +\infty</tex>

# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
# <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r</tex>
|proof=
1. Напрямую следует из 2

2. Пусть

<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>

<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>

Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (По Гельдеру)
}}

=== Полнота L^p ===
{{Теорема
|statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex>
|proof=
<tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex> 
Строим кандидата на роль предела: 
<tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\
\varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex> 

Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex> 

Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex> 

<tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex> 

Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex> 
При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex> 
 
По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема 
Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>. 
 
<tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> 
При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex> 
<tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна 
<tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex> 
 
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex> 
Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex> 
<tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex> 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex> 
 
По теореме Фату: 
<tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex>
}}

=== Плотность в L^p множества ступенчатых функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times</tex> <tex dpi=160>\chi_{Ek}</tex>

<tex>X = \bigsqcup X_k</tex>

<tex>\mu X (f \neq 0) -</tex> конечно

в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно
|proof=
}}

=== Лемма Урысона ===
{{Теорема
|statement=
<tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex> 
Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex>
|proof=
<tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>. 
<tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex> 
<tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex> 
<tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex> 
Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>.

<tex>f(x) := \sup \{\alpha</tex> — дв. рац. <tex>{} \mid x \in G_\alpha \}</tex> — непр.
<tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац.   <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}} G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex>
}}

=== Плотность в L^p непрерывных финитных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall p: 1 \leqslant p < +\infty \quad C_0</tex> всюду плотно в <tex>L^p(R^m)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о непрерывности сдвига ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f_n(x) = f(x + h)</tex>
# <tex>f</tex> - равномерно непрерывна на <tex>\mathbb{R}^m \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex>
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве ===
{{Теорема
|statement= Пусть есть ГП
# <tex>x_n \to x, y_n \to y \quad</tex> Тогда <tex>\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ряд, сходящийся в ГП. Тогда <tex>\forall y \ \bigl\langle y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n \bigr\rangle = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \langle y, x_n \rangle</tex>
# <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> ортогональный ряд. Тогда <tex>\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - </tex> сходится <tex>\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - </tex> сходится.
|proof=
}}

=== Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\mathcal{H} -</tex> ГП

<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система. <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cdot e_k</tex>

Тогда:

# <tex>\{e_k\} - </tex> ЛНЗ
# <tex>\dfrac{\langle x, e_k \rangle}{\|e_k\|^2} = C_k</tex>
# <tex>C_k \cdot e_k - </tex> это проекция <tex>X</tex> на 1-номерное подпространство, порождённое <tex>e_k</tex>.
: <tex> x = C_k \cdot e_k + z \Rightarrow z \perp e_k </tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

<tex>S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} C_k (x) \cdot e_k - </tex> частичные суммы ряда Фурье

<tex>\alpha_n := \operatorname{Lin}(e_1, \dotsc, e_n)</tex>

Тогда:

# <tex>S_n - </tex> проекция <tex>x</tex> на <tex>\alpha_n</tex>
# <tex>S_n - </tex> элемент наилучшего приближения (в <tex>\alpha_n</tex>) для <tex>x</tex> <tex>\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|</tex>
# <tex>\| S_n \| \leqslant \| x \|</tex>

Следствие:
<tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя)

|proof=
}}

=== Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\{e_k\} - </tex> Ортогональная система в <tex>\mathcal{H}, x \in \mathcal{H}</tex>

# Ряд Фурье <tex>x</tex> сходится в <tex>\mathcal{H}</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \cdot e_k + z, </tex> тогда <tex>\forall k \quad z \perp e_k</tex>
# <tex>x = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} C_k(x) \times e_k \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} |C_k (x)|^2 \cdot \|e_k\|=\|x\|^2</tex> (Равенство Парсеваля)
|proof=
}}

=== Теорема о характеристике базиса ===
{{Теорема
|statement=<tex>\{e_k\}</tex> — ОС в <tex>H</tex>. Тогда экв.:
#<tex>\{e_k\}</tex> — базис
#Выполняется обобщённое уравнение замкнутости: <tex>\langle x, y \rangle = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} e_k(x) \overline{c_k(y))} \|e_k\|^2</tex>
#<tex>\{e_k\}</tex> — замкнута
#<tex>\{e_k\}</tex> — полная
#<tex>Lin(e_1 e_2 \dots)</tex> — плотно в <tex>H</tex>
|proof=
}}

=== Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда ===
{{Теорема
|statement=
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы

Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex>

Тогда:

# <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex>
# <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex>
# <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex>

|proof=
}}

=== Теорема Римана--Лебега ===
{{Теорема
|statement=
<tex>E \in \mathbb{R} - </tex> измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex> 

Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>)
|proof=
}}

=== Принцип локализации Римана ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f, g \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad \exists \delta > 0</tex> 

<tex>f(x) = g(x) </tex> при <tex> x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</tex> 

Тогда <tex>S_n(f, x_0) - S_n(g, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex>
|proof=
}}

=== Признак Дини. Следствия ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^1[-\pi, \pi] \quad x_0 \in [-\pi, \pi] \quad S \in \mathbb{R}</tex> 
Пусть <tex>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{|f(x_0+t)+f(x_0-t)-2S|}{t} \; dt < +\infty </tex> 
Тогда <tex>S_n(f, x_0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} S</tex>
|proof=
}}

=== Корректность определения свертки ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q ===
{{Теорема
|statement=
<tex>f \in L^p \quad k \in L^q[-\pi, \pi] \quad \left(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \right) \quad 1 \leqslant p < +\infty</tex> 
Тогда <tex>f * k</tex> - непрерывна на <tex>[-\pi, \pi]</tex> 
<tex>\|f * k \|_1 \leqslant \|f\|_p * \|k\|_q</tex>
|proof=
}}

=== Теорема о свойствах аппроксимативной единицы ===
{{Теорема
|statement=
<tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица.

Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>:

# <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex>
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex>
# <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е. 
<tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> 
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex>
|proof=
}}

=== Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических ===
{{Теорема
|statement=
<tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex>
|proof=
<tex>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> 
<tex>|\dfrac{\sum\limits_{k=0}^n S_k}{n+1} - S| = |\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}</tex> 
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex> 
<tex>\sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \epsilon</tex>
}}

=== Теорема Фейера ===
{{Теорема
|statement=3 пункта:
# <tex> f \in \tilde{C}[-\pi, \pi] \Rightarrow \sigma_n(f, x) \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{n \to \infty} f(x)</tex>
# <tex> f \in L^p[-\pi, \pi] \Rightarrow \|\sigma_n(f, x) - f \|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
# <tex> f \in L^1, f - </tex> непр. <tex> x \Rightarrow \sigma_n(f, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x)</tex>
|proof=
}}

=== Полнота тригонометрической системы ===
{{Теорема
|statement=
Тригонометрическая система полна в <tex>L^2</tex> (Следствие теоремы Фейера)
|proof=
}}

=== Формула Грина ===
{{Теорема
|statement=<tex>\mathbb R^2</tex> — ориент. с помощью нумерации координат.
<tex>D \subset \mathbb R^2</tex> — компактное, связное, односвязное, с <tex>C^2</tex>-гладкой границей. 
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле. 
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости.
Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Стокса ===
{{Теорема
|statement=<tex>D \subset \mathbb R^3</tex> — простая гладкая поверхность в <tex>\mathbb R^3</tex>,
<tex>\partial D</tex> — <tex>C^2</tex>-гладкая кривая, 
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex> 
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда:
:<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex>
|proof=
}}

=== Формула Гаусса--Остроградского ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение ротора ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Бескоординатное определение дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}
=== Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
}}

Поиск подстроки в строке

2015-06-09T13:29:19Z

194.85.161.36: /* Классификация алгоритмов поиска подстроки в строке */

'''Поиск подстроки в строке''' (англ. ''String searching algorithm'') — класс алгоритмов над строками, которые позволяют найти паттерн (''needle'') в тексте (''haystack'').
== Классификация алгоритмов поиска подстроки в строке ==

=== Сравнение — «чёрный ящик» ===

Во всех алгоритмах этого типа сравнение является «чёрным ящиком» для программиста.

Преимущества:
* позволяет использовать стандартные функции сравнения участков памяти (man *cmp(3)), которые, зачастую, оптимизированы под конкретное железо.

Недостатки:
* не выдается точка, в которой произошло несовпадение.

=== По порядку сравнения паттерна в тексте ===
==== Прямой ====

Преимущества:
* отсутствие регрессии на «плохих» данных.

Недостатки:
* не самая хорошая средняя асимптотическая сложность.

==== Обратный ====
Паттерн движется по тексту слева направо, но сравнение подстрок происходит справа налево.

Преимущества:
* при несовпадении позволяет перемещать паттерн по строке сразу на несколько символов.

Недостатки:
* производительность сильно зависит от данных.

==== Сравнение в необычном порядке ====
Специфические алгоритмы, основанные, как правило, на некоторых эмпирических наблюдениях над словарём.<ref>Например, [[Wikipedia:en:Raita Algorithm| Алгоритм Райты (англ.)]]</ref>

=== По количеству поисковых шаблонов ===

Сколько поисковых шаблонов может обработать алгоритм за один раз.

* один шаблон (англ. ''single pattern algorithms'')
* конечное количество шаблонов (англ. ''finite set of patterns'')
* бесконечное количество шаблонов (англ. ''infinite number of patterns'') (см. [[Теория формальных языков]])

=== По необходимости препроцессинга текста ===
Виды препроцессинга:
*[[Префикс-функция]]
*[[Z-функция]]
*[[Бор]]
*[[Суффиксный массив]]
Алгоритмы, использующие препроцессинг — одни из самых быстрых в этом классе.

== Сравнение алгоритмов ==
*<tex>|\Sigma| = \sigma</tex> — размер алфавита
*<tex>|text| = t</tex> — длина текста
*<tex>|pattern| = p</tex> — длина паттерна
*<tex>a</tex> — размер ответа(кол-во пар)
*<tex>m</tex> — суммарная длина всех паттернов

{|class="wikitable"
|+
!width="25%"|Название !! width="5%"| Среднее !! width="5%"| Худшее !! width="5%"|Препроцессинг !! width="5%"| Дополнительная память !! width="10%"| Кол-во поисковых шаблонов !! width="10%"| Порядок сравнения !! width="35%"| Описание

|- align = "center"
|[[Наивный алгоритм поиска подстроки в строке| Наивный алгоритм (Brute Force algorithm)]]
|<tex>O(p \cdot (t - p))</tex>
|<tex>O(p^2)</tex>
|
|<tex>O(1)</tex>
|Single
|Прямой
|Сравнение — «чёрный ящик». Если <tex>p</tex> достаточно мало по сравнению с <tex>t</tex>, то асимптотика будет близкой к <tex>O(t)</tex>, что позволяет использовать его на практике в случаях, когда паттерн много меньше текста (например, ctrl+F в браузерах)

|-align = "center"
|[[Z-функция| Поиск подстроки в строке с помощью Z-функции]]
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(p + t)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|Single
|Прямой
|

|- align = "center"
|[[Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа| Алгоритм Рабина-Карпа (Karp-Rabin algorithm)]]
|<tex>O(p + t)</tex>
|<tex>O(pt)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|Single / Finite
|Прямой
|Данный алгоритм использует хэширование, что снижает скорость в среднем. Можно модифицировать для поиска нескольких паттернов

|- align = "center"
|[[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта| Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта (Knuth-Morris-Pratt algorith)]]
|<tex>O(p + t)</tex>
|<tex>O(p + t)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|Single
|Прямой
|Использует [[Префикс-функция| префикс-функцию]]

|-align = "center"
|[[Алгоритм Колусси| Алгоритм Колусси (Colussi algorithm)]]
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|Single
|Прямой / Обратный
|Оптимизация [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта| Алгоритма Кнута-Морриса-Пратта]] использует как прямой, так и обратный обход

|- align = "center"
|[[Алгоритм Ахо-Корасик| Алгоритм Ахо-Корасик (Aho–Corasick string matching algorithm)]]
|<tex>O(m + t + a)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
| <tex>O(m)</tex>
|<tex>O(m\sigma)</tex>
|Finite
|Прямой
|Строит конечный автомат. Можно хранить таблицу переходов как индексный массив (array), а можно как [[Красно-черное дерево]]. В последнем случае уменьшится расход памяти, но ухудшится асимптотика

|-align = "center"
|[[Алгоритм Shift-Or]]
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(t \cdot \dfrac{n}{w})</tex> <tex>w</tex> — размер машинного слова
|<tex>O(p + \sigma)</tex>
|<tex>O(p + \sigma)</tex>
|Single
|Прямой
|Использует тот факт, что в современных процессорах битовые сдвиг и или являются атомарными. Эффективен, если <tex>p \leqslant w</tex>. Иначе деградирует и по памяти, и по сложности

|-align = "center"
|[[Алгоритм Бойера-Мура| Алгоритм Бойера-Мура (Boyer-Moore algorithm)]]
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(pt)</tex>
|<tex>O(p + \sigma)</tex>
|<tex>O(p + \sigma)</tex>
|Single
|Обратный
|Считается наиболее быстрым из алгоритмов общего назначения. Использует эвристики. Существует большое количество оптимизаций<ref>Например, [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node15.html#SECTION00150 Турбо-алгоритм Бойера-Мура (Turbo-BM algorithm)]</ref>

|-align = "center"
|[[Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива| Поиск подстроки в строке с помощью суффиксного массива (Suffix array)]]
|<tex>O(p\log t)</tex>
|<tex>O(p\log t)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|Single
|Прямой
|Использует [[Суффиксный массив]]. Если использовать [[Алгоритм Касаи и др.| Largest common prefix (lcp)]], то можно уменьшить асимптотику до <tex>O(p + \log t)</tex>. Суффиксный массив можно строить[[Построение суффиксного массива с помощью стандартных методов сортировки| стандартными способами]] или [[Алгоритм Каркайнена-Сандерса| алгоритмом Каркайнена-Сандерса]]. Асимптотика приведена для построения суффиксного массива с помощью алгоритма Каркайнена-Сандерса

|-align = "center"
|[[Сжатое суффиксное дерево| Поиск подстроки в строке с помощью суффиксного дерева (Suffix tree)]]
|<tex>O(p)</tex>
|<tex>O(p)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|<tex>O(t)</tex>
|Single
|Прямой
|Позволяет выполнять поиск подстроки в строке за линейное время
|}

== Примечания ==

<references />

== Источники информации ==
* [[wikipedia:ru:Поиск_подстроки | Википедия {{---}} Поиск подстроки]]
* [[Wikipedia:en:String_searching_algorithm | Википедия {{---}} String searching algorithm]]
* [http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/index.html ESMAJ] — (англ.) Большое количество разных алгоритмов поиска подстроки в строке. Многие из них в данной статье не описаны.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]

Суффиксный бор

2015-06-09T13:22:30Z

194.85.161.36: Объединил пункты «Применение», «Свойства», «Реализация» и «Оценки использования памяти»; проинлайнил и прокомментировал псевдокод

'''Суффиксный бор''' (англ. ''suffix trie'') — [[бор]], содержащий все суффиксы данной строки.

По определению, в суффиксном боре для строки <tex>s</tex> (где <tex>|s| = n</tex>) содержатся все строки <tex>s[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n], \dotsc, s[n \mathinner{\ldotp\ldotp} n]</tex>. Заметим, что если в суффиксном боре находится строка <tex>s[i \mathinner{\ldotp\ldotp} n]</tex>, то все её префиксы <tex>s[i \mathinner{\ldotp\ldotp} j]</tex> (<tex>i \leqslant j \leqslant n</tex>) уже содержатся в боре.
==Применение==
Суффиксный бор можно использовать для поиска подстроки в строке <tex>s</tex> тем же образом, что и для [[Бор#Поиск строки в бору|поиска строки в боре]]. Чтобы бор формально содержал все подстроки <tex>s</tex>, нужно пометить все его вершины терминальными, при этом корень будет соответствовать пустой строке <tex>\varepsilon</tex>.
[[Файл:Syffix_trie_1.png|500px|thumb|center|Суффиксный бор для строки <tex>abbc</tex>]]

=== Свойства ===
[[Файл:aaabbb-suftrie.png|мини|400px|Суффиксный бор для строки «aaabbb»]]
Суффиксный бор для строки <tex>s</tex>:
* можно использовать для поиска образца <tex>p</tex> в строке <tex>s</tex> за время <tex>O(|p|)</tex>,
* можно построить за время <tex>O(n^2)</tex>, последовательно добавив все суффиксы <tex>s</tex>,
* имеет порядка <tex>n^2</tex> вершин в худшем случае. Например, для строки <tex>a^n b^n</tex> суффиксный бор будет содержать:
: <tex>1</tex> корневую вершину,
: <tex>n</tex> вершин для суффикса <tex>b^n</tex>,
: <tex>n</tex> вершин для подстроки <tex>a^n</tex>, у каждой по <tex>n</tex> вершин для соответствующего суффикса <tex>b^n</tex>.
<ul style="list-style: none;"><li>итого <tex>1 + 2n + n^2 = (n+1)^2 = O(n^2)</tex> вершин.</ul>

=== Реализация ===
Зададим бор его корнем:
<code style="display: inline-block">
'''struct''' Trie:
'''Node''' root
</code>
По каждому символу будем хранить переход в соответствующую вершину:
<code style="display: inline-block">
'''struct''' Node:
'''map<char, Node>''' children
</code>
При добавлении узла будем идти вниз по сыновьям и добавлять их, если необходимо:
<code style="display: inline-block">
'''function''' add(s : '''string'''):
'''Node''' current = root
'''for''' c '''in''' s
'''if''' current.children[c] == <tex>\varnothing</tex>
current.children[c] = Node()
current = current.children[c]
</code>
Чтобы построить суффиксный бор для некоторой строки, последовательно добавим в пустой бор все её суффиксы:
<code style="display: inline-block">
'''function''' build(s : '''string'''):
root = Node()
'''int''' n = s.size
'''for''' i = 0 '''to''' n - 1
add(s[i..n])
</code>

=== Оценки использования памяти ===
Пусть мы построили суффиксный бор для строки <tex>s \in \Sigma^*</tex> (<tex>|s| = n</tex>). Из третьего свойства следует, что если хранить переходы суффиксного бора из каждой вершины как массив размера <tex>|\Sigma|</tex> (по каждому символу — переход), то потребуется <tex>O(n^2 |\Sigma|)</tex> памяти.
Однако, заметим, что число ветвлений в не превышает числа листьев, что, в свою очередь, не превышает количества суффиксов. Количество суффиксов — <tex>n</tex>, а значит число вершин, из которых ведет больше одного перехода, <tex>O(n)</tex>. Поэтому, если в неветвящихся вершинах хранить только символ перехода и ребенка, то можно получить оценку <tex>O(n^2 + n|\Sigma|)</tex>. Улучшением суффиксного бора, расходующим всего <tex>O( n|\Sigma|)</tex> памяти, является [[сжатое суффиксное дерево]].

==См. также==
* [[Сжатое суффиксное дерево]]

== Источники информации ==
*''Дэн Гасфилд'' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Словарные структуры данных]]

Обсуждение участника:SergeyBud

2015-05-22T12:31:18Z

194.85.161.36:

'''Формулировка задачи:''' По заданному слову длины <tex>m</tex> найти в тексте или словаре размера <tex>n</tex> все слова, совпадающие с этим словом (или начинающиеся с этого слова) с учетом <tex>k</tex> возможных различий.

==Алгоритм==

====Описание задачи с точки зрения динамического программирования====
Пусть <tex>d_{i,j}</tex> - расстояние между префиксами строк <tex>x</tex> и <tex>y</tex>, длины которых равны, соответственно, <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, то есть
<tex>d_{i,j} = d(x(1,i), y(1,j))</tex>.
Чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, [[wikipedia:ru:Матрица_расстояний|матрицу расстояний]] надо преобразовать таким образом, чтобы <tex>d_{i,j}</tex> представлял минимальное расстояние между <tex>x(1, i)</tex> и любой подстрокой <tex>y</tex>, заканчивающейся символом <tex>y_j</tex>. Для этого достаточно ввести условие:

<tex>d_{0,j} = 0, 0 < j < n</tex> .

Оставшуюся часть матрицы вычислим с использованием цен редактирования расстояния Левенштейна и рекуррентного соотношения для <tex>d_{i,j}</tex>:

<tex>w(a,{\varepsilon}) = 1</tex>

<tex>w({\varepsilon}, b) = 1</tex>

<tex>w(a, b) = \left\{\begin{array}{llcl}
0&,\ a{\ne}b\\
1&,\ a=b\\
\end{array}\right.
</tex>

<tex>d_{i,j} = min(d_{i-1,j} + w(x_i,{\varepsilon}), d_{i,j-1} + w({\varepsilon}, y_j), d_{i-1,j-1} + w(x_i, y_i))</tex>

Теперь каждое значение, не превосходящее <tex>k</tex>, в конечной строке указывает позицию в тексте, в которой заканчивается строка, имеющая не больше <tex>k</tex> отличий от образца.

[[Алгоритм_Укконена|Алгоритм Укконена]] говорит, что при вычисления расстояний между строками, диагонали матрицы можно пронумеровать целыми числами <tex>p {\in} [-m, n]</tex>, таким образом, чтобы диагональ <tex>p</tex> состояла из элементов <tex>(i, j)</tex>, у которых <tex>j - i = p</tex>. Пусть <tex>r_{p,q}</tex> представляет наибольшую строку <tex>i</tex>, у которой <tex>d_{i,j} = q</tex> и <tex>(i, j)</tex> лежит на диагонали <tex>p</tex>. Таким образом, <tex>q</tex> – это минимальное число различий между <tex>x(1, r_{p,q})</tex> и любой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r_{p,q}+p}</tex>. Значение <tex>m</tex> в строке <tex>r_{p,q}</tex>, для <tex>q < k</tex>, указывает, что в тексте имеется вхождение образца с точностью до <tex>k</tex> отличий, заканчивающееся в <tex>y_{m+p}</tex>. Таким образом, чтобы решить задачу <tex>k</tex> различий, достаточно вычислить значения <tex>r_{p,q}</tex> для <tex>q < k</tex>.

Рассмотрим алгоритм вычисления <tex>r_{p,q}</tex>, используя [[Динамическое_программирование|динамическое программирование]].
'''for''' p = 0 '''to''' n
r(p,-1) = -1
'''for''' p = -(k+1) '''to''' -1
r(p,|p|-1) = |p|-1
r(p,|p|-2) = |p|-2
'''for''' q = -1 '''to''' k
r(n+1,q) = -1
'''for''' q = 0 '''to''' k
'''for''' p = -q '''to''' n
r = max(r(p,q-1) + 1, r(p-1,q-1), r(p+1,q-1) + 1)
r = min(r, m)
'''while''' r < m '''and''' r + p < n '''and''' x(r+1) = y(r+1+p)
r++
r(p,q) = r
'''if''' r(p,q) = m
имеется вхождение с k отличиями, заканчивающееся в y(p+m)
Алгоритм вычисляет значения <tex>r_{p,t}</tex> на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Для каждой диагонали переменной строки <tex>r</tex> можно присвоить не больше <tex>m</tex> различных значений, что приводит к времени вычислений <tex>O(mn)</tex>. Рассмотрим как можно ускорить решение этой задачи, используя другие методы.
===Предварительные вычисления===

На этапе предварительной обработки, с помощью алгоритма Вейнера<ref>[http://europa.zbh.uni-hamburg.de/pubs/pdf/GieKur1997.pdf Giegerich R., Kurtz S. {{---}} From Ukkonen to McCreight and Weiner: A Unifying View of Linear-Time Suffix Tree Construction]</ref> строится [[wikipedia:ru:Суффиксное_дерево|суффиксное дерево]] строки <tex>y{\#}x{\$}</tex>, где <tex>\#</tex> и <tex>\$</tex> – символы, не принадлежащие алфавиту, над которыми построены строки <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Этот алгоритм требует линейных затрат памяти, и, для алфавита фиксированного размера, линейного времени. Для неограниченных алфавитов этот алфавит можно преобразовать так, что он будет выполняться за время <tex>O(n\log{\sigma})</tex>, где <tex>\sigma</tex> – число различающихся символов образца. Стадия предварительной обработки требует время <tex>O(n)</tex> и <tex>O(n\log{m})</tex> для постоянного и неограниченного алфавитов, соответственно.
===Модификация предыдущего алгоритма===

В приведенном выше алгоритме перед циклом <tex>while</tex> для диагонали <tex>p</tex>, переменной <tex>r</tex> было присвоено такое значение, что <tex>x(1, r)</tex> сопоставляется с точностью до <tex>k</tex> различий с некоторой подстрокой текста, заканчивающейся <tex>y_{r+p}</tex>. Тогда функция цикла <tex>while</tex> находит максимальное значение для которого <tex>x(r+1, r+h) = y(r+p+1, r+p+h)</tex>. Обозначим это значение как <tex>h</tex>. Это эквивалентно нахождению длины самого длинного общего префикса суффиксов <tex>x(r+1, m)\$</tex> и <tex>y(r+p+1,n){\#}x{\$}</tex> предварительно вычисленной конкатенированной строки. Символ <tex>\#</tex> используется для предотвращения ситуаций, в которых может ошибочно рассматриваться префикс, состоящий из символов как <tex>y</tex>, так и <tex>x</tex>. Обозначим <tex>lca(r,p)</tex> как самый низкий общий предок в суффиксном дереве с листьями, определенными вышеуказанными суффиксами, тогда нужное значение <tex>h</tex> задается <tex>length(lca(r,p))</tex>.
===Оценка времени работы===

Суффиксное дерево имеет <tex>O(n)</tex> узлов. Для поддержки определения самого низкого общего предка за линейное время, алгоритмам <tex>LCA</tex> требуется преобразование дерева, проводимое за линейное время. Значения <tex>r_{p,q}</tex> вычисляются на <tex>n+k+1</tex> диагоналях. Более того, для каждой диагонали надо вычислить <tex>k+1</tex> таких значений, что в общей сложности дает <tex>O(kn)</tex> запросов. Таким образом, общее время работы алгоритма k различий составляет <tex>O(kn)</tex> для алфавитов фиксированного размера, и <tex>O(n * \log{m} + kn)</tex> для неограниченных алфавитов.
===Параллельная версия алгоритма===

В 1989 году Ландау и Вишкин разработали параллельную версию алгоритма. Она позволяет уменьшить время работы до <tex>O(\log{n}+k)</tex>, при использовании одновременно <tex>n</tex> процессоров. Для данной оценки необходимо, чтобы каждый из процессоров выполнял последовательный запрос <tex>LCA</tex> за <tex>O(1)</tex>.

==Примечания==
<references/>

==Источники информации==
* [http://algolist.manual.ru/search/fsearch/k_razl.php k-различий - алгоритм Ландау-Вишкина]

Сжатое суффиксное дерево

2015-05-22T10:11:40Z

194.85.161.36: /* Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо 1.3.1*/

[[Суффиксный бор|Суффиксный бор]] {{---}} удобная структура данных для поиска подстроки в строке, но она требует порядка квадрата длины исходной строки памяти. Оптимизацией суффиксного бора, требующей линейное количество памяти, является '''сжатое суффиксное дерево''' рассматриваемое далее.

==Определение==
{{Определение
|definition =
'''Суффиксное дерево''' (сжатое суффиксное дерево) <tex>T</tex> для строки <tex>s</tex> (где <tex>|s| = n</tex>) {{---}} дерево с <tex>n</tex> листьями, обладающее следующими свойствами:
*Каждая внутренняя вершина дерева имеет не меньше двух детей;
*Каждое ребро помечено непустой подстрокой строки <tex>s</tex>;
*Никаких два ребра, выходящие из одной вершины, не могут иметь пометок, начинающихся с одного и того же символа;
*Дерево должно содержать все суффиксы строки <tex>s</tex>, причем каждый суффикс заканчивается точно в листе и нигде кроме него.
}}

[[Файл:Suffix_tree_3.png|thumb|right|Суффиксное дерево для строки <tex>xabxa</tex> с защитным символом]]
'''Данное определение порождает следующую проблему:''' 
Рассмотрим дерево для строки <tex>xabxa</tex>: суффикс <tex>xa</tex> является префиксом суффикса <tex>xabxa</tex>, а, значит, этот суффикс не закачивается в листе. Для решения проблемы в конце строки <tex>s</tex> добавляют символ, не входящий в исходный алфавит: '''''защитный''''' символ. Обозначим его как <tex>\$</tex>. Любой суффикс строки с защитным символом действительно заканчивается в листе и только в листе, т. к. в такой строке не существует двух различных подстрок одинаковой длины, заканчивающихся на <tex>\$</tex>.

Далее <tex>n</tex> {{---}} длина строки <tex>s</tex> с защитным символом.

==Количество вершин==
По определению, в суффиксном дереве содержится <tex>n</tex> листьев. Оценим количество внутренних вершин такого дерева.

{{Лемма
|statement=
Количество внутренних вершин дерева, каждая из которых имеет не менее двух детей, меньше количества листьев.
|proof=
Докажем лемму индукцией по количеству листьев <tex>n</tex>.

'''База'''

При <tex>n = 2</tex> в дереве одна внутренняя вершина, следовательно утверждение верно.

'''Переход''' <tex>n \rightarrow n + 1</tex>

Возьмем вершину в дереве с <tex>n + 1</tex> листами, у которой два ребенка {{---}} листья. Рассмотрим возможные случаи:

1) У нее более двух детей. Тогда отрежем от нее лист. Получим дерево с <tex>n</tex> листьями, причем в нем количество внутренних вершин такое же, как в исходном дереве. Но у полученного дерева по индукционному предположению менее <tex>n</tex> внутренних вершин, а, значит, и для исходного дерева лемма верна.

2) У нее ровно два ребенка. Отрежем их, получим дерево с <tex>n - 1</tex> листьями, количество внутренних вершин которого на <tex>1</tex> меньше, чем в исходном дереве. Тогда по индукционному предположению у него менее <tex>n - 1</tex> внутренних вершин, значит, в исходном дереве их меньше <tex>n</tex>.
}}

==Занимаемая память==
Представим дерево как двумерный массив размера <tex>|V| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>|V|</tex> {{---}} количество вершин в дереве, <tex>|\Sigma|</tex> {{---}} мощность алфавита. Для любого суффиксного дерева верна предыдущая лемма (у каждой вершины, по определению, не менее двух детей), значит, <tex>|V| = O(2 n)</tex>. Каждая <tex>[i][j]</tex> ячейка содержит информацию о том, в какую вершину ведет ребро из <tex>i</tex>-ой вершины по <tex>j</tex>-ому символу и индексы <tex>l, r</tex> начала и конца подстроки, записанной на данном переходе. Итак, дерево занимает <tex>O(n|\Sigma|)</tex> памяти.

==Построение суффиксного дерева==

===Наивный алгоритм===
Рассмотрим наивный алгоритм построения суффиксного дерева строки <tex>s</tex>:
go[0] = Vertex() // корень
count = 0 // номер последней вершины, созданной в дереве (глобальная переменная)
'''for''' i = 0 '''to''' n // для каждого символа строки
insert(i, n) // добавляем суффикс, начинающийся с него

insert(l, r):
cur = 0
'''while''' l < r
'''if''' go[cur][s[l]].v == -1 // если мы не можем пойти из вершины по символу <tex> l </tex>
createVertex(cur, l, r) // создаем новую вершину
'''else'''
start = go[cur][s[l]].l
finish = go[cur][s[l]].r
hasCut = false
'''for''' j = start '''to''' finish // для каждого символа на ребре из текущей вершины
'''if''' s[l+j-start] <tex> \neq </tex> s[j] // если нашли не совпадающий символ
// создаем вершину на ребре
old = go[cur][s[l]]
createVertex(cur, l, j - 1)
go[count][s[j]].v = old
go[count][s[j]].r = j
go[count][s[j]].l = finish
createVertex(count, l + j - start, r)
hasCut = true
'''break'''
'''if''' !hasCut
cur = go[cur][s[l]].v // переходим по ребру
l = l + finish - start // двигаемся по суффиксу на длину подстроки, записанной на ребре
'''else'''
'''break'''

createVertex(cur, l, r):
go[++count] = Vertex()
go[cur][s[l]].v = count
go[cur][s[l]].l = l
go[cur][s[l]].r = r

Этот алгоритм работает за время <tex>O(n^2)</tex>, однако [[Алгоритм Укконена| алгоритм Укконена]] позволяет построить сжатое суффиксное дерево за <tex>O(n)</tex>.

===Построение из суффиксного массива===
Пусть нам известен [[Суффиксный массив| суффиксный массив]] <tex>suf</tex> строки <tex>s</tex>, его можно получить [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| алгоритмом Карккайнена-Сандерса]] за линейное время. Для преобразования нам также понадобится массив <tex>lcp</tex> (longest common prefix), который можно получить [[Алгоритм Касаи и др.| алгоритмом Касаи]].

В этом преобразовании используется тот же инвариант, что и в других суффиксных структурах:
# Строка <tex>s</tex> заканчивается специальным символом, который больше не встречается в строке.
# Следствие: <tex>lcp[i] < len[i - 1]</tex>, где <tex>len[i - 1]</tex> {{---}} длина суффикса, соответствующего <tex>suf[i - 1]</tex>.

Будем строить дерево, добавляя суффиксы в лексикографическом порядке. Чтобы ускорить добавление, будем использовать то, что <tex>i</tex>-ый суффикс имеет с предыдущим <tex>lcp[i]</tex> общих символов. Тогда добавление из корня не отличается от того, что мы поднимемся вверх из предыдущего суффикса до глубины <tex>lcp[i]</tex> и продолжим построение оттуда. Инвариант позволяет нам утверждать, что ни один лист мы не сможем продолжить, и нам всегда нужно будет хоть раз подняться из него вверх. Поскольку суффиксы отсортированы лексикографически, мы не будем спускаться по ребру после того, как уже поднялись из него из-за несовпадения символа. Все это позволяет сформулировать алгоритм добавления суффикса по известной вершине предыдущего суффикса:
# Подняться из вершины вверх до глубины <tex>lcp</tex>
# Если эта глубина находится на ребре, разрезать ребро по ней.
# Вставить новую вершину как сына вершины с глубиной <tex>lcp</tex>

В вершинах дерева <tex>Node</tex> мы будем хранить предка <tex>parent</tex>, [[Стек| стек]] детей в лексикографическом порядке ребер <tex>children</tex>, глубину вершины в символах от корня <tex>depth</tex>.
Соответственно, конструктор вершины имеет вид <code>Node(Node parent, '''int''' depth)</code>.

<code>
Node addNextSuffix(Node previous, '''int''' length, '''int''' lcp):
'''if''' previous.depth == 0 '''or''' previous.depth == lcp // Добавляем к сыновьям текущей вершины 
added = Node(previous, length)
previous.children.push(added)
'''return''' added
'''else'''
'''if''' previous.parent.depth < lcp: // Нужно разрезать ребро 
inserted = Node(prevous.parent, lcp)
previous.parent.children.pop()
previous.parent.children.push(inserted)
inserted.children.push(previous)
previous.parent = inserted
'''return''' addNextSuffix(previous.parent, length, lcp)

Node buildSuffixTree('''int[]''' suf, '''int[]''' lcp, '''int''' length):
root = Node('''null''', 0)
previous = root
'''for''' i = 1 '''to''' length
previous = addNextSuffix(previous, length - suf[i], lcp[i])
'''return''' root
</code>

В процессе построения мы нигде не запоминали сами позиции строки, соответствующие ребрам. Чтобы их восстановить, достаточно определить максимальный суффикс, который проходит по этому ребру. Для этого с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин| обхода в глубину]] посчитаем для каждой вершину дерева максимальную глубину ее листа <tex>maxDepth</tex>.

Тогда ребро <tex>s[start, end]</tex> определяется так:

<code>
'''function''' calculatePositions(Node parent, Node child, '''int''' stringLength):
start = stringLength - child.maxDepth + parent.depth
end = start + child.depth - parent.depth - 1
</code>

Для асимптотического анализа будем использовать в качестве [[Амортизационный анализ#Метод потенциалов| потенциала]] глубину в вершинах. При добавлении суффикса мы спускаемся один раз, подняться выше корня мы не можем, значит, и подниматься мы будем суммарно <tex>O(n)</tex> раз. Обход в глубину также выполняется за <tex>O(n)</tex>, итоговая асимптотика <tex>O(n)</tex>.

==Использование сжатого суффиксного дерева==
Суффиксное дерево позволяет за линейное время найти:
* Количество различных подстрок данной строки
* Наибольшую общую подстроку двух строк
* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]] и массив <tex>lcp</tex> (longest common prefix) исходной строки
* Строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST + O(n)</tex>

===Построение суффиксного массива и массива lcp из суффиксного дерева===
Пусть к строке дописан специальный символ для сохранения инварианта.
Рассмотрим лексикографический по ребрам порядок обхода сжатого суффиксного дерева.
Пусть два суффикса имеют общее начало, но различаются в <tex>i</tex>-ом символе.
Первым будет рассмотрено поддерево по ребру с меньшим символом, значит и лист, соответствующий этому суффиксу, будет посещен первым.

Тогда суффиксный массив строится из суффиксного дерева [[Обход в глубину, цвета вершин| обходом в глубину]] в указанном порядке.
Пусть длина строки <tex>length</tex>, глубина листа в символах <tex>depth</tex>, тогда номер суффикса <tex>i = length - depth</tex>.

Для заполнения массива <tex>lcp</tex> нам понадобится вершина <tex>minNode</tex>, которая будет означать вершину с минимальной глубиной, в которую мы поднимались при переходе между суффиксами. Поскольку мы точно поднимались туда, но не поднимались выше, это будет [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ| наименьший общий предок]] этих узлов. Из этого следует, что у рассматриваемых суффиксов совпадает ровно <tex>lcp = minNode.depth</tex> символов.

<code>
'''int''' curPos = 0
Node minNode = root
// Для заполнения нужно вызвать dfs(root) 
'''function''' dfs(Node n):
'''if''' n.children.size == 0
suf[curPos] = length - n.depth
lcp[curPos] = minNode.depth
curPos++
minNode = n
'''else'''
'''foreach''' child '''in''' n.children
'''if''' n.depth < minNode.depth:
minNode = n
dfs(child)
</code>

Асимптотика алгоритма совпадает с асимптотикой обхода в глубину и составляет <tex>O(n)</tex>.

Таким образом, мы умеем за <tex>O(n)</tex> строить [[Алгоритм Укконена| суффиксное дерево]], [[Алгоритм Карккайнена-Сандерса| суффиксный массив]] и преобразовывать одно в другое.

===Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо===
{{Определение
|definition=
'''Строка <tex>s</tex> называется ветвящейся вправо в <tex>t</tex>''' (англ. ''right branching string''), если существуют символы <tex>c</tex> и <tex>d</tex>, такие что <tex>c</tex> <tex>\ne</tex> <tex>d</tex> : <tex>sc</tex> и <tex>sd</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>. Аналогично, '''ветвящаяся влево''' (англ. ''left branching''), если <tex>cs</tex> и <tex>ds</tex> {{---}} подстроки <tex>t</tex>.
}}
[[Файл:RightMergingSS.png|thumb|400px|center|Суффиксное дерево для строки <tex>aabcabd</tex>]]
Построим cуффиксное дерево при помощи [[Алгоритм Укконена|алгоритма Укконена]]. В полученном дереве не листовой вершине <tex>v</tex> будет соответствовать подстрока <tex>s</tex>, которая ветвится вправо, при условии, что количество "хороших" детей вершины <tex>v > 2</tex> ("хорошие" дети {{---}} листы, метка которых <tex>\ne\$</tex>). В примере для строки <tex>aabcabd</tex> это <tex>b</tex>, <tex>a</tex> и <tex>ab</tex>. Далее введём термины ''левый символ'' и ''вершина различная влево'', чтобы найти строки, ветвящиеся влево.
{{Определение
|definition=
'''Левый символ''' для позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex> {{---}} это символ <tex>S(i-1)</tex>.
'''Левым символом''' листа <tex>L</tex> называется ''левый символ'' начала суффикса, ведущего в этот лист.
}}
{{Определение
|definition=
'''Вершина <tex>v</tex> различна влево''', если как минимум два листа в поддереве <tex>v</tex> имеют различные ''левые символы''. По определению лист не может быть различным влево.
}}

Допустим, что строка ветвится влево. Тогда существуют подстроки <tex>sa</tex> и <tex>sb</tex>. В суффиксном дереве существует вершина <tex>v</tex> соответствующая строке <tex>s</tex> (так как есть как минимум два суффикса, начинающиеся со строки <tex>s</tex>). Так же у вершины <tex>v</tex>, есть как минимум два ребёнка, у которых ''левый символ'' <tex>c</tex> и <tex>d</tex>, значит вершина <tex>v</tex> ''различна влево'' по определению.

Чтобы найти строки, ветвящиеся влево, нужно проверить все вершины суффиксного дерева на различность влево. Если какая-то вершина <tex>v</tex> будет различна влево и удволетворять свойству ветвимости право, то строка, соответствующая вершине <tex>v</tex> будет ветвится вправо и влево.

Чтобы найти вершины различные влево будем хранить левый символ для каждой вершины, пусть он будет <tex>\#</tex>, если вершина различна влево. Чтобы промаркировать всё дерево, нужно записать левые символы для листов, а затем подниматься вверх по дереву. Для каждой вершины <tex>v</tex> будем запускать проверку:
*Если среди левых символов детей <tex>v</tex> есть хотя бы один <tex>\#</tex>, то запишем в <tex>v</tex> <tex>\#</tex> и закончим проверку (в суффиксном дереве свойство различности влево наследуется вверх {{---}} строка соответствующая вершине <tex>v</tex> и строка соответствующая ребёнку <tex>v</tex> начинаются с одного и того же символа).
*Если среди левых символов детей <tex>v</tex> нет ни одного <tex>\#</tex>, то проверим на совпадение левые символы детей:
**Если все левые символ детей <tex>v</tex> одинаковы и эквивалентны <tex>x</tex>, то запишем в <tex>v</tex> <tex>x</tex>.
**Если не все левые символы детей <tex>v</tex>, то запишем в <tex>v</tex> <tex>\#</tex> {{---}} вершина различна влево.

Так как время проверки <tex>v</tex> пропорционально числу детей, время работы всего алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>.

Далее соберём все строки удовлетворяющие условию теоремы и найдём среди них максимальную (так же этот алгоритм можно использовать для нахождения количества строк, ветвящихся влево и вправо).

Таким образом мы умеем искать строку максимальной длины, ветвящуюся влево и вправо за <tex>ST+O(n)</tex> (<tex>ST</tex> {{---}} асимптотика построения суффиксного дерева).

==См. также==
* [[Суффиксный бор|Суффиксный бор]]
* [[Суффиксный массив| Суффиксный массив]]
* [[Алгоритм Укконена| Алгоритм Укконена]]

==Источники информации==
*''Дэн Гасфилд'' — '''Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Словарные структуры данных ]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:37:57Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' (англ. '''Fibonacci tree order''') {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' (англ. '''degree''') {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' (англ. '''Fibonacci heap''') {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node* p; //указатель на родительский узел
Node* child; //указатель на один из дочерних узлов
Node* left; //указатель на левый сестринский узел
Node* right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.

{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Операция
!style="background-color:#EEE"| Амортизированная сложность
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {insert}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {getMin}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {merge}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>\mathrm {delete}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <tex>O(\log n )</tex>
|}

Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:26:56Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' (англ. '''Fibonacci tree order''') {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' (англ. '''degree''') {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' (англ. '''Fibonacci heap''') {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node* p; //указатель на родительский узел
Node* child; //указатель на один из дочерних узлов
Node* left; //указатель на левый сестринский узел
Node* right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:24:26Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' (англ. '''Fibonacci tree order''') {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' (англ. '''degree''') {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' (англ. '''Fibonacci heap''') {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node p; //указатель на родительский узел
Node child; //указатель на один из дочерних узлов
Node left; //указатель на левый сестринский узел
Node right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:20:29Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' (англ. '''degree''') {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' (англ. '''Fibonacci heap''') {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node p; //указатель на родительский узел
Node child; //указатель на один из дочерних узлов
Node left; //указатель на левый сестринский узел
Node right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:19:50Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' (англ. '''degree''') {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node p; //указатель на родительский узел
Node child; //указатель на один из дочерних узлов
Node left; //указатель на левый сестринский узел
Node right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:16:22Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' (англ. '''Fibonacci tree''') {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node p; //указатель на родительский узел
Node child; //указатель на один из дочерних узлов
Node left; //указатель на левый сестринский узел
Node right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Фибоначчиева куча

2015-05-20T07:12:28Z

194.85.161.36:

== Фибоначчиево дерево ==
{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиево дерево''' {{---}} [[Биномиальная куча#Биномиальное дерево |биномиальное дерево]], где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.
}}
{{Определение
|definition=
'''Порядок фибоначчиева дерева''' {{---}} порядок соответствующего биномиального дерева, из которого оно получено.
}}

{{Определение
|definition=
'''Степень вершины''' {{---}} количество дочерних узлов данной вершины.
}}

{{Лемма
|id=Лемма1
|statement=Для всех целых <tex> n \geqslant 2</tex>
<tex> F_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i </tex>,
где <tex> F_n </tex> {{---}} <tex> n </tex>-ое число Фибоначчи, определяемое формулой:
<tex>
F_n =
\begin{cases}
0, & n = 0 \\
1, & n = 1 \\
F_{n-1} + F_{n-2}, & n \geqslant 2
\end{cases} </tex>
|proof=
Докажем лемму по индукции:

при <tex>n = 2</tex>

<tex>F_2 = 1 + \sum\limits_{i=0}^0 F_i = 1 + 0 = 1</tex>, что действительно верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i </tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-3} F_i + F_{n-2} = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>
}}

{{Лемма
|id=Лемма2
|statement= Фибоначчиево дерево порядка <tex>n</tex> содержит не менее <tex>F_n</tex> вершин.
|proof=
Докажем это утверждение по индукции.
Пусть <tex>s_n</tex> {{---}} минимальный размер фибоначчиева дерева порядка <tex>n</tex>.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>s_0 = 1 > F_0</tex>.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>s_1 = 1 = F_1</tex>.

Предположим по индукции, что для всех <tex>i < n \ s_i \geqslant F_i</tex>.
Пусть в нашем дереве удалено поддерево порядка <tex>n - 1</tex>. Тогда

<tex>s_n = 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} s_i \geqslant 1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i</tex>

Но по предыдущей [[#Лемма1|лемме]] :

<tex>1 + \sum\limits_{i=0}^{n-2} F_i = F_n</tex>. Следовательно, <tex>s_n \geqslant F_n</tex>
}}

== Фибоначчиева куча ==

{{Определение
|definition=
'''Фибоначчиева куча''' {{---}} набор фибоначчиевых деревьев, корни которых объединены в неупорядоченный [[Список#Циклический список |циклический]] [[Список#Двусвязный список | двусвязный список]]. В отличие от [[Биномиальная куча|биномиальной кучи]], степени корней не обязаны быть попарно различными.
}}

Фибоначчиевы кучи поддерживают тот же набор операций, что и биномиальные кучи, но имеют то преимущество, что операции, в которых не требуется удаление, имеют [[Амортизационный анализ|амортизированное]] время работы, равное <tex>O(1)</tex>.

С теоретической точки зрения фибоначчиевы кучи особенно полезны в случае, когда количество операций <tex>\mathrm {extractMin}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> относительно мало по сравнению с количеством других операций. Однако с практической точки зрения программная сложность и высокие значения постоянных множителей в формулах времени работы существенно снижают эффективность применения фибоначчиевых куч, делая их в большинстве случаев менее привлекательными, чем обычные [[Двоичная куча|бинарные кучи]].

{{Лемма
|id=Лемма3
|statement= <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>, где <tex dpi="160"> \varphi = \frac {1 + \sqrt 5} {2}</tex>
|proof=
Для начала докажем, что <tex>F_n =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5}</tex>

Используем для этого математическую индукцию.

При <tex>n = 0</tex>

<tex>F_0 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^0 - (-\varphi)^0} {\sqrt 5} = \frac {1 - 1} {\sqrt 5} = 0</tex>, что верно.

При <tex>n = 1</tex>

<tex>F_1 =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^1 - (-\varphi)^{-1}} {\sqrt 5} = \frac {1} {\sqrt 5}(\frac {1 + \sqrt 5} {2} - \frac {1 - \sqrt 5} {2}) = \frac {2\sqrt 5} {2\sqrt 5} = 1</tex>, что также верно.

По индукции предполагаем, что <tex>F_{n-1} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5}</tex> и <tex>F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5}</tex>. Тогда

<tex>F_n = F_{n-1} + F_{n-2} =</tex> <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n}} {\sqrt 5} + \frac {\varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}} {\sqrt 5} =</tex>

<tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n-1} - (-\varphi)^{1-n} + \varphi^{n-2} - (-\varphi)^{2-n}) </tex> <tex dpi="160">= \frac {1} {\sqrt 5}</tex> <tex>(\varphi^{n}(\varphi^{-1} + \varphi^{-2}) - (-\varphi)^{-n}(-\varphi + \varphi^{2}))</tex>

Подставив вместо <tex>\varphi</tex> его значение, нетрудно убедится, что <tex>\varphi^{-1} + \varphi^{-2} = -\varphi + \varphi^{2} = 1</tex>

Поскольку <tex>\left\vert (-\varphi)^{-1} \right\vert < 1</tex>, то выполняются неравенства <tex dpi="160">\frac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} < \frac {1} {\sqrt 5} < \frac {1} {2}</tex>. Таким образом, <tex>n</tex>-ое число Фибоначчи равно <tex dpi="160">\frac {\varphi^{n}} {\sqrt 5}</tex>, округленному до ближайшего целого числа. Следовательно, <tex>F_n =\Theta(\varphi^n)</tex>.
}}

{{Лемма
|id=Лемма4
|statement=Максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами равна <tex>O(\log n)</tex>
|proof=
Пусть <tex>x</tex> {{---}} произвольная вершина в фибоначчиевой куче с <tex>n</tex> вершинами, и пусть <tex>k</tex> {{---}} степень вершины <tex>x</tex>. Тогда по [[#Лемма2|доказанному выше]] в дереве, корень которого <tex>x</tex>, содержится не менее <tex>F_k</tex> вершин, что в свою очередь по [[#Лемма3|лемме]] равно <tex>\Theta(\varphi^k)</tex>.
То есть

<tex>n \geqslant \varphi^{k}</tex>

Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем

<tex>\log_{\varphi}n \geqslant k</tex>

Таким образом, максимальная степень <tex>D(n)</tex> произвольной вершины равна <tex>O(\log n)</tex>.
}}

=== Структура ===
[[File:Fibonacci-heap.png|thumb|340px|Пример фибоначчиевой кучи]]
* Каждый узел <tex>x</tex> в куче <tex>H</tex> содержит следующие указатели и поля:
'''Node'''
int key; //ключ
Node p; //указатель на родительский узел
Node child; //указатель на один из дочерних узлов
Node left; //указатель на левый сестринский узел
Node right; //указатель на правый сестринский узел
int degree; //количество дочерних узлов
boolean mark; //флаг, который показывает, удаляли ли мы дочерние узлы данной вершины

* Дочерние узлы <tex>x</tex> объединены при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список.
* Корни всех деревьев в <tex>H</tex> связаны при помощи указателей <tex>left</tex> и <tex>right</tex> в циклический двусвязный список корней.
* Обращение к <tex>H</tex> выполняется посредством указателя <tex>H.min</tex> на корень дерева с минимальным ключом. Этот узел называется минимальным узлом <tex>H</tex>.
* Текущее количество узлов в <tex>H</tex> хранится в <tex>H.size</tex>.

Циклический двусвязный список обладает двумя преимуществами для использования в фибоначчиевых кучах. Во-первых, удаление элемента из такого списка выполняется за время <tex>O(1)</tex>. Во-вторых, если имеется два таких списка, их легко объединить в один за время <tex>O(1)</tex>.

=== Потенциал ===

Для анализа производительности операций введем потенциал для фибоначчиевой кучи <tex>H</tex> как <tex> \Phi(H) = t[H] + 2m[H] </tex>, где <tex> t[H] </tex> {{---}} количество элементов в корневом списке кучи, а <tex> m[H] </tex> {{---}} количество вершин, у которых удален один ребенок (то есть вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex>). Договоримся, что единицы потенциала достаточно для оплаты константного количества работы.

=== Операции ===
Рассмотрим операции, которые поддерживают фибоначчиевы кучи. Амортизированное время их работы показано в таблице.
{| border="1"
|-align="center"
|<tex>\mathrm {makeHeap}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {insert}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {getMin}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {merge}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {extractMin}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {decreaseKey}</tex>
|<tex>O(1)</tex>
|-align="center"
|<tex>\mathrm {delete}</tex>
|<tex>O(\log n )</tex>
|}
Стоит заметить, что структура фибоначчиевых куч, также как биномиальных и бинарных, не могут обеспечить эффективную реализацию поиска элемента с заданным ключом, поэтому операции <tex>\mathrm {decreaseKey}</tex> и <tex>\mathrm {delete}</tex> получают в качестве аргумента указатель на узел, а не значение его ключа.

==== makeHeap ====

Создается новый пустой корневой список, в <tex> H.min </tex> устанавливается значение <tex> null </tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== insert ====

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Для оценки амортизированной стоимости операции рассмотрим исходную кучу <tex> H </tex> и получившуюся в результате вставки нового элемента кучу <tex> H' </tex>. <tex> t[H'] = t[H] + 1 </tex> и <tex> m[H'] = m[H] </tex>. Следовательно, увеличение потенциала составляет <tex> (t[H] + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = 1 </tex>. Так как реальное время работы составляет <tex> O(1) </tex>, то амортизированная стоимость данной операции также равна <tex> O(1) </tex>.

==== getMin ====
Возвращает указатель <tex>H.min</tex>. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>.

==== merge ====

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы {{---}} <tex> O(1) </tex>. Амортизированное время работы также <tex> O(1) </tex>, поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, <tex> \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 </tex>.

==== extractMin ====

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. Возьмем указатель на <tex> H.min </tex>, удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем <tex> D(n) </tex>, где <tex> D(n) </tex> {{---}} максимальная степень вершины в куче) объединим с корневым списком. Теперь вызываем процедуру <tex> \mathrm {consolidate} </tex>. После этой операции в списке корней остается не более чем <tex> D(n) + 1</tex> узлов, среди которых нужно найти минимальный. Итоговая асимптотика операции <tex>\mathrm {extraxtMin}</tex>, учитывая и вспомогательную функцию <tex> \mathrm {consolidate} </tex>, время работы которой доказывается ниже, равно: <tex> O(1)+O(D(n))+O(D(n))=O(D(n)) </tex>. По доказанной выше [[#Лемма4|лемме]] <tex>O(D(n)) = O(\log(n))</tex>.

===== consolidate =====

Данная процедура принимает кучу и преобразует ее таким образом, что в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1</tex> вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев <tex> A[0..D[H]] </tex>, где <tex> D[H] </tex> {{---}} максимальная степень вершины в текущем корневом списке.

Затем происходит [[Биномиальная_куча#merge | процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч]]: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна <tex> d </tex>. Если в соответствующей ячейке <tex>A</tex> еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна <tex> d + 1 </tex>. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость <tex> \mathrm {consolidate} </tex> равна <tex> O(D(n)) </tex>. Докажем это:

Изначально в корневом списке было не более <tex> D(n) + t[H] - 1 </tex> вершин, поскольку он состоит из исходного списка корней с <tex>t[H]</tex> узлами, минус извлеченный узел и плюс дочерние узлы, количество которых не превышает <tex> D(n) </tex>. В ходе операции <tex> \mathrm {consolidate} </tex> мы сделали <tex> O(D(n) + t[H]) </tex> слияний деревьев. Потенциал перед извлечением минимума равен <tex> t[H] + 2m[H] </tex>, а после не превышает <tex> D(n) + 1 + 2m[H] </tex>, поскольку в корневом списке остается не более <tex> D(n) + 1 </tex> узлов, а количество помеченных узлов не изменяется. Таким образом, амортизированная стоимость не превосходит

<tex> O(D(n) + t[H]) + (D(n) + 1 + 2m[H]) - (t[H] + 2m[H]) = O(D(n)) + O(t[H]) - t[H]</tex>

Поскольку мы договорились, что можем масштабировать единицу потенциала таким образом, чтобы покрывать константное количество работы, то итоговая амортизационная оценка {{---}} <tex> O(D(n)) </tex>

==== decreaseKey ====

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была <tex> O(1) </tex>. Было бы хорошо, чтобы вершина не всплывала до корня, и тогда дерево не придется сильно перестраивать. Для этого при удобном случае будем вырезать поддерево полностью и перемещать его в корневой список. Итак, сам алгоритм:

# Проверяем, если новое значение ключа все же не меньше значения ключа родителя, то все хорошо, и мы выходим.
# Иначе, вырезаем дерево с текущей вершиной в корневой список, и производим каскадное вырезание родителя.

===== cut =====

При вырезании вершины мы удаляем ее из списка детей своего родителя, уменьшаем степень ее родителя (<tex> x.p.degree </tex>) и снимаем пометку с текущей вершины (<tex> x.mark = false </tex>).

===== cascadingCut =====

[[File:Каскадное вырезание.png|thumb|500px|Пример каскадного вырезания]]

Перед вызовом каскадного вырезания нам известно, удаляли ли ребенка у этой вершины. Если у вершины до этого не удаляли дочерний узел (<tex> x.mark = false </tex>), то мы помечаем эту вершину (<tex> x.mark = true </tex>) и прекращаем выполнение операции. В противном случае применяем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> для текущей вершины и запускаем каскадное вырезание от родителя.

'''Пример'''

Рисунок иллюстрирует пример каскадного вырезания:

* Изначально, куча состояла из <tex>3</tex> фибоначчиевых деревьев. У вершины с ключом <tex>24</tex> отсутствует <tex>1</tex> ребенок.
* Уменьшаем ключ <tex>26</tex> до <tex>5</tex> и делаем операцию <tex>\mathrm {cut}</tex> этого дерева. Получаем кучу с <tex>4</tex> деревьями и новым минимумом. Но у вершины с ключом <tex>24</tex> был удален второй ребенок, поэтому запускам операцию <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> для этой вершины: вырезаем ее, помещаем в корневой список и помечаем ее родителя.
* У вершины с ключом <tex>7</tex> удален лишь один ребенок, поэтому операция <tex>\mathrm {cascadingCut}</tex> от нее не запускается. В итоге, получаем кучу, состоящую из <tex>5</tex> фибоначчиевых деревьев.

===== Время работы =====

Докажем, что амортизированное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> есть <tex> O(1) </tex>. Поскольку в процедуре нет циклов, ее время работы определяется лишь количеством рекурсивных вызовов каскадного вырезания.

Пусть мы вызвали процедуру каскадного вырезания <tex> k </tex> раз. Так как реальное время работы операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> без учета рекурсии составляет <tex> O(1) </tex>, то реальное время работы операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> {{---}} <tex> O(k) </tex>.

Рассмотрим, как изменится потенциал в результате выполнения данной операции. Пусть <tex> H </tex> {{---}} фибоначчиева куча до вызова <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex>. Тогда после <tex> k </tex> рекурсивных вызовов операции <tex> \mathrm {cascadingCut} </tex> вершин с пометкой <tex> x.mark = true </tex> стало как минимум на <tex> k - 2 </tex> меньше, потому что каждый вызов каскадного вырезания, за исключением последнего, уменьшает количество помеченных вершин на одну, и в результате последнего вызова одну вершину мы можем пометить. В корневом списке прибавилось <tex> k </tex> новых деревьев (<tex> k - 1 </tex> дерево за счет каскадного вырезания и еще одно из-за самого первого вызова операции <tex> \mathrm {cut} </tex>).

В итоге, изменение потенциала составляет: <tex> \Phi_i - \Phi_{i - 1} = ((t[H] + k) + 2(m[H] + k - 2)) - (t[H] + 2m[H]) = 4 - k </tex>. Следовательно, амортизированная стоимость не превышает <tex> O(k) + 4 - k </tex>. Но поскольку мы можем соответствующим образом масштабировать единицы потенциала, то амортизированная стоимость операции <tex> \mathrm {decreaseKey} </tex> равна <tex> O(1) </tex>.

==== delete ====

Удаление вершины реализуется через уменьшение ее ключа до <tex> -\infty </tex> и последующим извлечением минимума. Амортизированное время работы: <tex> O(1) + O(D(n)) = O(D(n)) </tex>.

Поскольку ранее мы показали, что <tex> D(n) = O(\log n ) </tex>, то соответствующие оценки доказаны.

== Источники информации ==

* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
* [[wikipedia:ru:Числа Фибоначчи|Числа Фибоначчи {{---}} Википедия]]
* [[wikipedia:ru:Фибоначчиева куча|Фибоначчиева куча {{---}} Википедия]]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/2.html Фибоначчиевы кучи — INTUIT.ru]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/heaps Визуализаторы]
* [http://www.cs.duke.edu/courses/fall05/cps230/L-11.pdf Fibonacci Heaps]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]

Обсуждение:Моноид

2015-05-18T10:56:55Z

194.85.161.36:

>>тривиальный пример: множество <tex> S = \varnothing </tex>. Тогда <tex> S^* = \{\varnothing\} </tex>

разве там не <tex> S^* = \varnothing </tex> ?
: Нет, все ок. <tex>S^*</tex> содержит последовательности, которые можно набрать элементами из <tex>S</tex>. Можно набрать только пустую последовательность, хотя бы её всегда можно набрать, так что не должно быть просто <tex> S^* = \varnothing </tex>. [[Участник:Shersh|Дмитрий Коваников]] 18:21, 22 января 2015 (GST)

Множество N с умножением же должно являться моноидом, в N же нет 0?

Песочница1

2015-05-13T06:18:54Z

194.85.161.36:

<math>\frac{e^{ik | x - x_{0}|}}{4 \pi | x - x_{0}|}</math>
<math>D(H^{*}_{0}) = v_{0} + a^{+} G(x, x_{0}, k^2_0) + a^{-} G(x, x_{0}, \overline{k^2_0})</math>
<math>- \Delta {}_{0}</math> <math>- \Delta {}^{*}_{0}</math>
<math>D(H^{*}_{0}) = v_{0} + a_{v} \cdot \frac{e^{i k |x-x_0|}}{4 \pi |x-x_0|}</math>
<math>(- \Delta u, v) - (u, \Delta v)</math>
<math>(- \Delta u, v) - (u, \Delta v) = \int\limits_{\delta (R^3 \backslash B_{\epsilon})} (- \frac{\delta u}{\delta n} \bar v + \frac{\delta \bar v}{\delta n} u) ds</math>
<math>a_{u} = \alpha \cdot u_{0}(0), Im \alpha = 0</math>
<math>c_j=e^{i \theta j a} \cdot c_0</math>
<math>d_j=e^{i \theta j a} \cdot d_0</math>
<math>- \Delta \Psi = k^2 \Psi</math>
<math>e^{ik(x, \nu)}</math>
<math>D(H^{*}_{0}) = v_{0} + \sum\limits_{j} c_{j} \cdot \frac{e^{i k |x-x_0|}}{4 \pi |x-x_0|} + \sum\limits_{j} d_{j} \cdot \frac{e^{i k |x-x_0|}}{4 \pi |x-x_0|}</math>

Задание по КСЕ физика 3

2015-05-05T06:42:45Z

194.85.161.36: /* Задание 2 */

== Задание 1 ==
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref>

# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')
# <tex> \vec{V} = \nabla \phi \ - \ ? </tex>
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex>

'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref>

== Задание 2 ==
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле.

'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex>

<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> См. [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162 ''Векторный потенциал''] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex>

Дальше аналогично первому заданию.

NB. Преподаватель говорил, что для решения задачи надо "по полю ротора восстановить по скорости".

== Задание 3 ==
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}

<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl
= r
= const </tex>

Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref>

== Задание 4 ==
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости.

'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)

'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref>

Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex>

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]

<references/>

Задание по КСЕ физика 3

2015-05-05T06:40:14Z

194.85.161.36: /* Задание 2 */

== Задание 1 ==
<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} поле скоростей, индуцированное заданным распределённым источником. Его объёмная плотность интенсивности равна <tex> q \quad (q \cdot dW = dQ) </tex> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 395] </ref>

# <tex> \phi(\vec{r}) \ - \ ? </tex> ('''Подсказка:''' ''использовать принцип суперпозиции'')
# <tex> \vec{V} = \nabla \phi \ - \ ? </tex>
# <tex> \nabla \cdot \vec{V} \ - \ ? </tex>

'''Примечание:''' Казалось бы, <tex> \nabla \cdot \vec{V} = \nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) = \nabla^2 \cdot \phi = q </tex>, но если провести решение должным образом, ответ получится не такой, необходимо понять почему. <ref>''(Думали что-то интересное написано? А здесь ничего нет. Но раз вы это читаете, можете добавить ссылок на литературу и полезные сайты по этому примеру)''</ref>

== Задание 2 ==
Найти поле скоростей, индуцированное областью с ненулевой завихренностью.

<tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> {{---}} индуцированное заданной вихревой областью поле.

'''Подсказка к решению:''' Известно, что <tex> \nabla \cdot \vec{V} = 0 </tex>. Из этого следует <tex> \exists \vec{A} :\ \vec{V} = \nabla \times \vec{A} </tex>

<tex> \vec{\Omega} = \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} </tex>; поскольку можно подобрать <tex> \vec{A} </tex> такое, что <tex> \nabla \cdot \vec{A} = 0 </tex> <ref> См. [http://scask.ru/book_s_phis2.php?id=162 ''Векторный потенциал''] </ref>, то <tex> \nabla^2 \vec{A} = -\vec{\Omega} </tex>

Дальше аналогично первому заданию.

NB. Преподаватель говорил, что для решения задачи надо "по полю ротора восстановить по скорости".

== Задание 3 ==
Есть вихревая трубка. Надо найти {{TODO| t=}}

<tex> \int\limits_S \vec{\Omega} \cdot \vec{n} \, dS
= \oint_l \vec{V} \cdot \vec{\tau} \cdot \, dl
= r
= const </tex>

Должен получится закон Био-Савара-Лапласа, только для жидкости <ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=104 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 399] </ref>

== Задание 4 ==
Найти <tex> \vec{V}(\vec{r}) </tex> и <tex> p(\vec{r}) </tex>, возникающих при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости.

'''Подсказка:''' удобно решать в сферической системе координат. Тогда нужно найти <tex> V_r (\vec{r}, \beta) ,\ V_{\beta}(\vec{r}, \beta) ,\ p(\vec{r}, \beta) </tex> (у скорости только две интересующих нас компоненты в следствие симметричности относительно одной из осей)

'''Подсказка:''' Наиболее очевидный вариант {{---}} написать уравнение Лапласа, задать начальные условия и решать получающуюся систему, это слегка трудоёмкая задача.<ref> [http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=89 Решение из ''Лекций по гидроаэромеханике''] </ref> <ref> [http://mexalib.com/download/6215 ''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа, с. 407] </ref>

Есть вариант проще: представить поле скорости как суперпозицию поля скорости, индуцируемого диполем, расположенным в центре сферы, и набегающей <tex> \vec{V}_{\infty} </tex>; нужно будет подобрать подходящий дипольный момент <tex> \vec{D} </tex>

== Источники информации ==
* [[wikipedia:Help:Displaying_a_formula | Всякие математические знаки]]

<references/>

Укладка графа на плоскости

2014-12-24T10:39:12Z

194.85.161.36: ЕВКЛИДОВОМ

{| class="standard" border=0
|[[Файл:planar_graph.png|250px|thumb|left|Пример планарного графа. Синим контуром обозначены грани, за исключением внешней грани (всего 5 граней). Обратите внимание, что внутри грани могут содержаться другие ребра и вершины.]]
|
{{Определение
|definition=
[[Основные_определения_теории_графов|Граф]] '''обладает укладкой''' в пространстве <tex>L</tex>, если он изоморфен графу, вершинами которого являются некоторые точки пространства, а ребрами {{---}} жордановы кривые <ref name="ЖК">Жордановыми кривыми, неформально говоря, называют кривые без самопересечений, которые можно «нарисовать одним росчерком пера».</ref>, соединяющие соответствующие вершины, причем
# Кривая, являющаяся ребром не проходит через другие вершины графа, кроме вершин, которые она соединяет;
# Две кривые, являющиеся ребрами, пересекаются лишь в вершинах, инцидентных одновременно обоим этим ребрам.
Соответствующий граф, составленный из точек пространства и жордановых кривых из <tex>L</tex>, называют '''укладкой''' исходного графа.
}}

{{Определение
|id= defplanar
|definition=
Граф называется '''планарным''' (англ. ''planar graph''), если он обладает укладкой на плоскости. '''Плоским''' (plane graph, planar embedding of the graph) называется граф уже уложенный на плоскости.
}}
|}
{| class="standard" border=0
|
{{Определение
|definition=
Плоский граф разбивает плоскость на несколько областей, называемых '''гранями''' (faces). Одна из граней не ограничена, ее называют '''внешней''' гранью, а остальные {{---}} '''внутренними''' гранями.
}}

Для плоских графов есть простое соотношение, называемое [[Формула_Эйлера|формулой Эйлера]]: <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} вершины (''vertex''), <tex>E</tex> {{---}} ребра (''edges''), <tex>F</tex> {{---}} грани (''faces'').

Это свойство позволяет в некоторых случаях просто доказывать [[Непланарность K5 и K3,3|непланарность некоторых графов, например непланарность <tex>K_5</tex> и <tex>K_{3,3}</tex>]].

Понятно, что любой граф, содержащий подграф <tex>K_5</tex> или <tex>K_{3,3}</tex> непланарен. Оказывается, верно и обратное утверждение, но для его формулировки потребуется вспомогательное определение:
|
[[Файл:K33.png|200px|thumb|Полный двудольный граф <tex>K_{3,3}</tex>. Этот граф непланарен, и его не получится изобразить на плоскости без пересечений ребер.]]
|}
{{Определение
|id=def_hmp
|definition=
[[Файл:Gomeomorf.png|350px|right]]
Введем отношение <tex>R</tex> следующим образом: два графа на находятся в отношении <tex>R</tex>, если один можно свести к другому заменой вершины степени 2 на ребро между вершинами смежными ей, или наоборот, добавлением вершины степени два на ребро (см. картинку).
 
Отношением '''гомеоморфизма''' (или '''топологической эквивалентности''') назовем [[Транзитивное_замыкание|транзитивное замыкание]] отношения <tex>R</tex>: <tex>R</tex>*.
}}

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных <tex>K_5</tex> и <tex>K_{3,3}</tex>: [[Теорема Понтрягина-Куратовского| теорема Понтрягина-Куратовского]].

{{Теорема
|statement=
В трехмерном евклидовом пространстве любой граф укладывается.
|proof=
Все вершины произвольного графа <tex>G</tex> помещаем в различных точках координатной оси <tex>OX</tex>. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через ось <tex>OX</tex>, и зафиксируем <tex>|E|</tex> различных таких плоскостей. Теперь каждое ребро <tex>(u, v)</tex> изобразим полуокружностью, проходящей в соответствующей плоскости через вершины <tex>u, v</tex>. Ясно, что различные ребра не будут пересекаться кроме как в общих вершинах.
}}

==Примечания==
<references/>

==Литература==
* Асанов М, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы
* Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 126. — ISBN 978-5-397-00622-4.

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Укладки графов ]]

Алгоритм Краскала

2014-12-19T08:32:32Z

194.85.161.36: /* Задача о максимальном ребре минимального веса */

Алгоритм Краскала (англ. ''Kruskal's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева]] (англ. ''minimum spanning tree'', ''MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания весов ребер. Если очередное ребро <tex>e</tex> соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>e</tex> является безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.
Для проверки возможности добавления ребра используется [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].

==Реализация==
// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф
// <tex>F</tex> {{---}} минимальный остов
'''function''' <tex>\mathtt{kruskalFindMST}():</tex>
<tex> \mathtt{F} \leftarrow V(G)</tex>
<tex>\mathtt{sort}(E(G))\</tex>
'''for''' <tex>vu \in E(G)</tex>
'''if''' <tex>v</tex> и <tex>u</tex> в разных компонентах связности <tex>F</tex>
<tex> \mathtt{F}\ =\ \mathtt{F} \bigcup vu\</tex>
'''return''' <tex> \mathtt{F} </tex>

==Задача о максимальном ребре минимального веса==
Легко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Обратное в общем случае неверно. Но MST из-за сортировки строится за <tex>O(E \log E)</tex>. Однако из-за того, что необходимо минимизировать только максимальное ребро, а не сумму всех рёбер, можно предъявить алгоритм, решающий задачу за линейное время.

Описанный далее алгоритм ищет максимальное ребро минимального веса и одновременно строит остовное дерево. С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро-медиану за <tex>O(E)</tex> и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом не превосходили по весу ребер во втором. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]].
* Если да, то рекурсивно запустим алгоритм от него.
* В противном случае сконденсируем получившиеся несвязные компоненты в супервершины и рассмотрим граф с этими вершинами и ребрами из второго подмножества. Во время просмотра компонент связности, при построении конденсации, добавим все пройденные ребра в остов.
На последнем шаге останутся две компоненты связности и одно ребро в первом подмножестве — это максимальное ребро минимального веса, добавим его в остов. Получившийся остов может не быть минимальным, но все ребра в нем не превосходят по весу ребра, которое мы нашли.

На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, тогда время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>.

==Пример==
{| class = "wikitable"
| Рёбра ''(в порядке их просмотра)'' || ae || cd || ab || be || bc || ec || ed
|-
| Веса рёбер ||<tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>
|}

{| class = "wikitable"
! Изображение !! Описание
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_1.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Первое ребро, которое будет рассмотрено — '''ae''', так как его вес минимальный. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''e''' — зелёное). 
Объединим красное и зелёное множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_2.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''cd'''. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''c''' — синее и '''d''' — голубое). 
Объединим синее и голубое множество в одно (синее), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_3.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Дальше рассмотрим ребро '''ab'''. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''b''' — розовое). 
Объединим красное и розовое множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_4.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''be'''. 
Оно соединяет вершины из одного множества, поэтому перейдём к следующему ребру '''bc''' 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''b''' — красное и '''c''' — синее). 
Объединим красное и синее множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_5.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рёбра '''ec''' и '''ed''' соединяют вершины из одного множества, 
поэтому после их просмотра они не будут добавлены в ответ 
Всё рёбра были рассмотрены, поэтому алгоритм завершает работу. 
Полученный граф — минимальное остовное дерево
|}

==Асимптотика==
Сортировка <tex>E</tex> займет <tex>O(E\log E)</tex>. 
Работа с СНМ займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4</tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу. 
Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E)</tex>.

==См. также==
* [[Алгоритм Прима]]
* [[Алгоритм Борувки]]

==Источники информации==
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Википедия — Функция Аккермана]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9A%D1%80%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0 Википедия — Алгоритм Крускала]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithm Wikipedia — Kruskal's algorithm]
* [http://e-maxx.ru/algo/mst_kruskal MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Крускала]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]

Участник:Yulya3102/Матан3сем

2014-11-28T07:09:13Z

194.85.161.36: /* Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда */ \lim

== Основные вопросы ==

=== Признак Вейерштрасса ===
{{Теорема
|statement=
Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.

Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>.
|proof=
<tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le
sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0
</tex>
}}

=== Теорема Стокса--Зайдля для рядов ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.
|proof=
1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex>

из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце.
}}

=== Теорема об интегрировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>.

Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex>

<tex> * </tex>
1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл.
2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.
|proof=
<tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>

Сделаем предельный переход по <tex>N</tex>

<tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex>
}}

=== Теорема о дифференцировании функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex>

2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex>

Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>.
|proof=
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
* <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex>

* <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex>

* Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>.

<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex>
}}

=== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ===
{{
Теорема
|statement=
Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>.

1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex>

2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex>

Тогда

1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится

2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex>
|proof=
1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел

* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex>
* <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex>

<tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex>

Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти

<tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex>

<tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

<tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex>

При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex>

Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex>

<tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex>

<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex>

Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]

<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex>
}}

=== Теорема о перестановке пределов ===
(<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>)

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>]

1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex>

2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex>

Тогда

1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex>

2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex>
|proof=
<tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex>

Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex>

Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex>

<tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex>

Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность)

<tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex>

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex>

2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex>

<tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex>
}}
Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex>

<tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex>

при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный

<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex>

=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex>

1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex>

2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex>

Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>.

|proof=
Применяя преобразование Абеля

<tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex>

В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex>

<tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex>

Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем

<tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex>

Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что

<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) :
|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex>

Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>.
}}

=== Метод суммирования Абеля ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>.
|proof=
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex>

<tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex>

<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex>
}}

=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>

Возможны три случая:

1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится

2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>

3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при

<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится

<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость

<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>

* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>

1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится

при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)

3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>

<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно

<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}

=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:

1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>

2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]

<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>

<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>

<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.

<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>

(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>

В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}

=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>

<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>

(уравнения Коши-Римана)

|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}

=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>

Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>

[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>

<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>

Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>

Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>

<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>

<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>

<tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}

=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>

1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>

1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>

1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>

{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>

<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>

<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}

* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>

2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>

2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>

2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>

2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>

2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>

<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>

<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>

<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>

2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>

<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>

2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>

<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>

-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>

<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>

<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>

=== Единственность производной ===
{{Теорема
|statement=Производный оператор единственный.
|proof=Покажем, что значение производного оператора <tex>A</tex> на каждом векторе <tex>h\in\mathbb{R}^n</tex> определяется однозначно. По линейности оператора <tex>A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m</tex>. Зафиксируем <tex>h\ne\mathbb{O}_n</tex>. Возьмём достаточно малое по модулю <tex>t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}</tex> (достаточно взять <tex>|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)</tex>, где <tex>B(x, r)\subset D</tex>) и подставим <tex>th</tex> вместо <tex>h</tex> в равенство из [[#Дифференцируемое отображение|определения]]. По линейности <tex>A</tex> имеем:

<tex>f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0</tex>.

Перенеся <tex>f(x)</tex> в левую часть и разделив на <tex>t</tex>, получим:

<tex>{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah</tex>,

то есть

<tex>Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}</tex>.
}}

=== Лемма о покоординатной дифференцируемости ===
{{Лемма
|statement=Дифференцируемость отображения <tex>f</tex> в точке <tex>x</tex> равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций <tex>f_i</tex> в точке <tex>x</tex>.
|proof=
Пусть <tex>f</tex> дифференцируемо в точке <tex>x</tex>. Запишем равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]] покоординатно:

<tex>f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m]</tex>.

Координатные функции <tex>A_i</tex> линейного оператора <tex>A</tex> являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения <tex>\alpha</tex> равносильно такому же свойству его координатных функций <tex>\alpha_i</tex>. Поэтому для <tex>f_i</tex> выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть <tex>f_i</tex> дифференцируемы в точке <tex>x</tex>. Тогда для каждого <tex>i\in[1:m]</tex> существует линейная функция <tex>A_i</tex> и функция <tex>\alpha_i</tex>, непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для <tex>f</tex> выполняется равенство [[#Производный оператор|из определения производного оператора]], где <tex>A</tex> — оператор с координатными функциями <tex>A_i</tex>.
}}

=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>

Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>

Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) = f'(a) \cdot h + o(h)</tex>

<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>

<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].

<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}

=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>

<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа

// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка

<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>

<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>

<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}

=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально

<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>

<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>

<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>

<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>

<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}

=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>

<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>

<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;

<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>

Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>

<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>

<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>

<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>

1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>

<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>

<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>

<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>

<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>

<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}

=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:

1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>

2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>

(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>

<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>

<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + b) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>

<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>

<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>

<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.

<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>

2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>

Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>

<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>

Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>

<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>

<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>

// Если ехать быстро и криво

<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>

<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>

// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}

=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>

<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление

Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.

Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>

// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}

=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>

<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>

фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>

<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки

<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>

<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>

<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:

Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>

* Замечание 2:

Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>

Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>

и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка

Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>

=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>

<tex> r = 1 </tex>

<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>

<tex> r = r + 1 </tex>

<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>

<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m + 1}} = </tex>

<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;

<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс

<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1

<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>

* Замечание 2

<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>

<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>

=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}

=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=

<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>

<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>

Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

}}

Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.

Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}

=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть

<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>

<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>

<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>

<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>

1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>

2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]

3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>

<tex>(2)</tex>

<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}

=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>

<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>

Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>

<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}

=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:

1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;

2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;

3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=

Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>

Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>

Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)

Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>

Само доказательство:

<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).

<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}

=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:

<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>

<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>

<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>

? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>

<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>

<tex> II \Rightarrow I </tex>

<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>

<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>

<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>

Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}

=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>.

Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>)

|proof=
Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
}}
'''Теорема Ролля:'''
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>.

Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.
|proof=
Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно.
Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.
}}

=== Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах ===
{{Утверждение
|statement=
1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> 
2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.
|proof=
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex>

(Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>)

<tex> x = 0 : \text{ok} </tex>

<tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex>

<tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex>

2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.)

<tex> x = 0 : \text{triv} </tex>

<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>
}}

=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).

2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).

3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.

4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>

Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>

<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>

<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>

Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума

<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>

<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>

<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>

<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}

=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>

<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>

<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>

<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>

2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>

<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>

// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}

=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.

* Замечание

1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное

2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?

<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>

при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>

<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>

Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>

Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>

<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>

<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>

В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.

На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>

<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]

<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>

<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}

=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.

Тогда:

1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=

1) <tex> r = 1 </tex>

<tex>F(O) = O' </tex> — открытое

Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>

Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.

* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>

<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>

* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.

Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>

<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>

<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>

Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>

<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>

<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>

<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>

2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}

=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>

Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима

[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.

<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>

<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>

<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>

<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>

<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>

<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание

<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.

<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле

=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:

1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>

'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>

|proof=

Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.

<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>

<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.

<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>

По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.

Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.

Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}

=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.

Эквивалентные утверждения:

1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие

2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:

2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>

2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>

<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>

<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях

<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.

<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>

<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>

<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>

<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>

<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>

<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>

<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>

<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}

=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.

По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>

<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация

<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.

<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.

<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>

<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>

При таком <tex> \lambda : </tex>

<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}

=== Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.
|proof=
<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>
}}

=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex>

<tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex>

<tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex>

3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex>

Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>.

<tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex>

4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей:

<tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases}
\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\
\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]
\end{cases} </tex>

то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>.

<tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex>

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону)

<tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex>

<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex>

<tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex>

5) Оценка интеграла:
{{
Теорема
|statement=
<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути.

<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>
|proof=
<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>
}}

=== Обобщенная формула Ньютона--Лебница ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий.

Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.
|proof=
1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути

\\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex>

\\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex>

2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий

<tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>
}}

=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в <tex> O </tex>

2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)

3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]]

<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно

<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>

<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>

<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно

<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>

<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>

Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>

Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?

Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)

Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>

<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>

<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>

<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>

<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}

=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>.
|proof=
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex>

<tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex>

<tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex>

<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex>

<tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex>

<tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела.
}}

=== Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex>
|proof=
<tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое)
}}

{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное.
|proof=
фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex>

<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex>

<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex>

<tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex>
}}

=== Лемма о гусенице ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>.
|proof=
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex>

<tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

<tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex>

Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex>

<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие

Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex>

<tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex>
}}

=== Лемма о равенстве интегралов по похожим путям ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>

<tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex>

<tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex>

Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex>

в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д.

<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex>

<tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex>
}}
* Замечание

<tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex>

=== Лемма о похожести путей, близких к данному ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.
|proof=
Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex>

<tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex>

<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>

<tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex>

<tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex>

<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей
}}

=== Равенство интегралов по гомотопным путям ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.
|proof=
<tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>

<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная

<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна)

<tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна.

<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex>
}}

=== Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально.
|proof=
<tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>

По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex>
}}

Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально.

=== Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex>
|proof=

Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи:

1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex>

Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)

2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл.

3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия.

}}

=== Лемма о локализации (в методе Лапласа) ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>.
|proof=
<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>

<tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем
}}

=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов ===

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>.

|proof=

* В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex>

* вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>.

* Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex>

'''Утверждения:'''

1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации)

2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex>

<tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно)

'''Доказательство'''

Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что

<tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex>

<tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex>

Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:

<tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex>

<tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex>

По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно.

Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>.

Вроде доказали.

}}

=== Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>

<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>

Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>

<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>

<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>

<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>

<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>

<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание

<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>

=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex>
|proof=
<tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex>

// <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex>

// <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex>

// <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex>

<tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex>
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>

== Определения и факты ==
[[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]]

Алгоритм Краскала

2014-11-20T09:56:12Z

194.85.161.36: /* Реализация */

Алгоритм Краскала (англ. ''Kruskal's algorithm'') — алгоритм поиска [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева]] (англ. ''minimum spanning tree'', ''MST'') во взвешенном [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы | неориентированном связном графе]].

==Идея==
Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), поддерживая следующий инвариант: на каждом шаге <tex>F</tex> можно достроить до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания веса ребер. Добавление очередного ребра <tex>e</tex> в <tex>F</tex> может привести к возникновению цикла в одной из компонент связности <tex>F</tex>. В этом случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. В противном случае <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] <tex> \langle S, T \rangle </tex> такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> и есть минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>F+e</tex> можно продолжить до MST, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. 

==Реализация==
// <tex>G</tex> {{---}} исходный граф
// <tex>F</tex> {{---}} минимальный остов
// для проверки возможности добавления ребра используется система непересекающихся множеств
'''function''' <tex>\mathtt{kruskalFindMST}():</tex>
<tex> \mathtt{F} \leftarrow V(G)</tex>
<tex>\mathtt{sort}(E(G))\</tex>
'''for''' <tex>vu \in E(G)</tex>
'''if''' <tex>v</tex> и <tex>u</tex> в разных компонентах связности <tex>F</tex>
<tex> \mathtt{F}\ =\ \mathtt{F} \bigcup \mathtt{vu}\</tex>

==Задача о максимальном ребре минимального веса==
Очевидно, что максимальное ребро в MST минимально. Пусть это не так, тогда рассмотрим разрез, который оно пересекает. В этом разрезе должно быть ребро с меньшим весом, иначе максимальное ребро было бы минимальным, но в таком случае минимальный остов не является минимальным, следовательно, максимальное ребро в минимальном остовном дереве минимально. Если же максимальное ребро в остовном дереве минимально, то такое дерево может не быть минимальным. Зато его можно найти быстрее чем MST, а конкретно за <tex>O(E)</tex>. Для этого с помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем за <tex>O(E)</tex> ребро-медиану и разделим множество ребер на два подмножества, так чтобы в первом подмножестве ребра были меньше медианы, а во втором больше. Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов, просто запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]] за <tex>O(E)</tex>. Если да, то удалим все ребра, которые больше медианы, и запустим алгоритм от первого подмножества. Иначе сожмем компоненты связности в супервершины, рассмотрим новый граф с такими вершинами и оставшимися ребрами, то есть ребрами, которые соединяют компоненты связности старого графа. 
На каждой итерации остается половина ребер, следовательно, время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>.

==Пример==
Задан неориентированный связный граф, требуется построить в нём минимальное остовное дерево. 
Создадим новый граф, содержащий все вершины из заданного графа, но не содержащий рёбер. 
Этот новый граф будет ответом, в него будут добавлены рёбра из заданного графа по ходу выполнения алгоритма. 
Отсортируем рёбра заданного графа по их весам и рассмотрим их в порядке возрастания.
{| class = "wikitable"
| Рёбра ''(в порядке их просмотра)'' || ae || cd || ab || be || bc || ec || ed
|-
| Веса рёбер ||<tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex>
|}

{| class = "wikitable"
! Изображение !! Описание
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_1.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Первое ребро, которое будет рассмотрено — '''ae''', так как его вес минимальный. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''e''' — зелёное). 
Объединим красное и зелёное множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_2.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''cd'''. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''c''' — синее и '''d''' — голубое). 
Объединим синее и голубое множество в одно (синее), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_3.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Дальше рассмотрим ребро '''ab'''. 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''a''' — красное и '''b''' — розовое). 
Объединим красное и розовое множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_4.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рассмотрим следующие ребро — '''be'''. 
Оно соединяет вершины из одного множества, поэтому перейдём к следующему ребру '''bc''' 
Добавим его к ответу, так как его концы соединяют вершины из разных множеств ('''b''' — красное и '''c''' — синее). 
Объединим красное и синее множество в одно (красное), так как теперь они соединены ребром.
|-
|[[Файл:Mst_kruskal_5.png|200px]]
|style="padding-left: 1em" |Рёбра '''ec''' и '''ed''' соединяют вершины из одного множества, 
поэтому после их просмотра они не будут добавлены в ответ 
Всё рёбра были рассмотрены, поэтому алгоритм завершает работу. 
Полученный граф — минимальное остовное дерево
|}

==Асимптотика==
Сортировка <tex>E</tex> займет <tex>O(E\log E)</tex>. 
Работа с [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | системой непересекающихся множеств]] займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит 4 во всех практических приложениях и которую можно принять за константу. 
Алгоритм работает за <tex>O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E)</tex>.

==См. также==
* [[Алгоритм Прима]]
* [[Алгоритм Борувки]]

==Источники информации==
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн — Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 Википедия — Функция Аккермана]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%9A%D1%80%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D0%B0 Википедия — Алгоритм Крускала]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal's_algorithm Wikipedia — Kruskal's algorithm]
* [http://e-maxx.ru/algo/mst_kruskal MAXimal :: algo :: Минимальное остовное дерево. Алгоритм Крускала]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]

Список заданий по АСД

2014-10-01T09:08:24Z

194.85.161.36:

1<wikitex>
= Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных, 3 семестр =

Некоторые задания можно найти в книге [http://www.ozon.ru/context/detail/id/4452506/ Харари, Теория графов]

# Доказать, что если в ориентированном графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
# Доказать, что если в неориентированным графе существует цикл, то в нем существует и простой цикл.
# Будем называть ''согласованным циклом'' в графе класс эквивалентности циклических путей относительно циклического сдвига. При этом циклический путь не должен проходить два раза по одному ребру в разных направлениях. Докажите, что в графе есть согласованный цикл тогда и только тогда когда там есть цикл.
# Петя придумал отношение средней связности: $u$ средне связана с $v$, если из $u$ достижима $v$ или из $v$ достижима $u$. Является ли это отношение отношением эквивалентности?
# Пусть граф $G$ - объединение двух различных простых путей из $u$ в $v$. Докажите, что в $G$ есть цикл.
# Харари 2.3
# Харари 2.5
# Харари 2.9
# Харари 2.13
# Харари 2.15
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
# Харари 2.16
# Харари 2.20
# Харари 2.22
# Харари 2.29
# Харари 2.31
# Харари 2.32
# Харари 2.33
# Харари 2.34 (а)
# Харари 2.34 (б)
# Харари 2.35
# Харари 2.36
# Харари 4.2
# Харари 4.3
# Харари 4.4
# Харари 4.6
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
# Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Какое максимальное число точек сочленения может быть в графе с $n$ вершинами?
# При каких соотношениях $a$, $b$, $n$, $m$, $k$ существует граф с $a$ точками сочленения, $b$ мостами, $n$ вершинами, $m$ рёбрами, $k$ компонентами связности?
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это рефлексивно-транзитивное замыкание $R$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Харари 3.2
# Харари 3.3
# Харари 3.4
# Харари 3.5
# Харари 3.6
# Харари 3.7
# Харари 3.9
# Граф называется вершинно трёхсвязным, если он остаётся связным после удаления любых двух вершин. Доказать или опровергнуть, что в вершинно трёхсвязном графе любые три вершины лежат на простом цикле.
# Граф называется вершинно k-связным, если он остаётся связным после удаления любых (k - 1) вершин. Доказать или опровергнуть, что в вершинно k-связном графе любые k вершин лежат на простом цикле.
# Пусть $G$ - связный граф. Обозначим как $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность. (для полного графа это число равно n - 1), $\lambda(G)$ - минимальное число рёбер, которое необходимо удалить, чтобы граф потерял связность, $\delta(G)$ - минимальную степень в вершины в графе $G$. Докажите, что для любых $a$, $b$, $c$, таких что $1 \le a \le b \le c$, существует граф $G$, такой что $\kappa(G) = a$, $\lambda(G) = b$, $\delta(G) = c$.
# Харари 5.2
# Харари 5.5
# Харари 5.6
# Харари 5.7
# В условиях теоремы Дирака предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
# В условиях теоремы Оре предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
# В условиях теоремы Хватала предложить алгоритм нахождения в графе гамильтонова цикла.
# Харари 7.2
# Харари 7.4
# Харари 7.5
# Харари 7.7
# Харари 7.9
# Харари 7.14
# Харари 7.17
# Харари 7.18
</wikitex>

Пересечение многоугольников (PSLG overlaying)

2014-03-29T07:24:34Z

194.85.161.36: /* Объединения графов */

[[Файл:PSLG.png|400px|thumb|left|Input <tex>\Rightarrow</tex> Output]]
[[Файл:PSLG1.png|400px|thumb|right|Создание новой компоненты]]
[[Файл:PSLG2.png|400px|thumb|right|Создание новой компоненты]]
[[Файл:PSLG3.png|400px|thumb|left|Граф для поиска face]]

==Постановка задачи==
Даны два [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|ППЛГ]], требуется построить их объединение в виде [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. При этом создав новые <tex>face</tex> и обновив старые.

===Формально===

Определим объединение двух pslg <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex>, чтобы получился граф <tex>O(S1, S2)</tex>, такой, что существует <tex>face</tex> f в <tex>O(S1, S2)</tex>, тогда и только тогда есть <tex>face</tex> f1 и f2 в <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex> соответственно, что <tex>f</tex> является максимально связанным подмножеством <tex>f1 \cap f2</tex>. Требуется чтобы каждый <tex>face</tex> в <tex>O(S1, S2)</tex> был отмечен с помощью label of the <tex>faces</tex> в <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex>, который содержит их. Таким образом мы получаем доступ к информации хранящейся на этих <tex>faces</tex>.

===Алгоритм===

====Первоначальное слияние====

Для начала посмотрим, как можно больше информации от doubly connected edge lists для <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex> мы можем повторно использовать в doubly connected edge lists для <tex>O(S1, S2)</tex>. Рассмотрим сеть ребер и вершин S1. Эта сеть разделена на кусочки краями <tex>S2</tex>. Эти кусочки в большинстве своем могут использоваться повторно, все, за исключением тех, которые отделены краями <tex>S2</tex>. Такие нужно обновлять. Если ориентация <tex>half-edge</tex> изменится, нам придется менять информацию в этих записях. Половинки ребра ориентированы таким образом, что <tex>face</tex>, которым они связаны лежит слева; форма <tex>face</tex> может изменяться в наложении, но он будет оставаться в той же стороне <tex>half-edge</tex>. Следовательно, мы можем повторно использовать <tex>half-edge</tex> records, соответствующие краям, которые не пересекают ребра из другого графа.

====Объединения графов====
Во-первых, скопировать doubly connected edge lists <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex> в один новый <tex>DCEL</tex>. Новый <tex>DCEL</tex> не является допустимым <tex>DCEL</tex>, т.к. он еще не представляет собой плоский подграф. Это задача алгоритма заметающей прямой: он должен трансформировать <tex>DCEL</tex> в допустимый <tex>DCEL</tex> для <tex>O(S1, S2)</tex> путем вычисления пересечения между двумя сетями ребер, и связывая воедино соответствующие части из двух <tex>DCEL</tex>. Применяем этот алгоритм на множестве сегментов, что является объединением множеств ребер двух подграфов <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex>. Алгоритм поддерживается двумя структурами данных: очереди событий <tex>Q</tex>, в котором хранятся точки событий, и структура состояния <tex>T</tex>, которой является бинарное дерево храненящее сегменты, пересекающие линии развертки, расположенные слева направо. Мы теперь также должны поддерживать <tex>DCEL</tex> <tex>D</tex>. Первоначально <tex>D</tex> содержит копию <tex>DCEL</tex> для <tex>S1</tex> и <tex>DCEL</tex> для <tex>S2</tex>. В плоскости развертки преобразуем <tex>D</tex> к правильному <tex>DCEL</tex> для <tex>O(S1, S2)</tex>. Мы держим перекрестные указатели между ребер в структуре состояния <tex>T</tex> и половина текущих записей в <tex>D</tex>, которые соответствуют им. Таким образом мы можем получить доступ к части <tex>D</tex>, которая должна быть изменена, когда мы сталкиваемся с точкой пересечения.

В другом случае, мы поддерживаем то, что в любое время в течение развертки, часть выше линии развертки наложения будет считаться правильной. Теперь что мы должны делать, когда мы достигнем точки событий. Прежде всего, мы обновляем <tex>T</tex> и <tex>Q</tex>, как и в алгоритме заметающей прямой. Если событие включает в себя только ребра из одного из двух подграфов, это все, точка событие является вершиной, которые могут быть использованы повторно. Если событие включает края с двух подграфов, мы должны сделать локальные изменения в <tex>D</tex> -- связать doubly connected edge list двух оригинальных подграфов в точке пересечения.

Рассмотри, когда edge <tex>e</tex> из <tex>S1</tex> проходит через вершину <tex>V</tex> <tex>S2</tex>, (см. Рисунок) edge <tex>e</tex> должно быть заменено двумя edges обозначим <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>. В <tex>DCEL</tex>, два <tex>half-edge</tex> для е должны превратиться в четыре. Мы создаем два новых <tex>half-edge</tex>, с <tex>V</tex> в нуле. Два существующих <tex>half-edge</tex> для е содержат конечные точки <tex>e</tex>, как их происхождения. Тогда мы объединяем попарно существующие <tex>half-edges</tex> с новыми <tex>half-edges</tex>, устанавливая их указатели twin'ов. Так <tex>e'</tex> представлен одним новым и одним существующим частично edge, и то же самое для <tex>e''</tex>. Теперь мы должны установить <tex>Prev</tex> и <tex>Next</tex>. <tex>Next</tex> двух новых <tex>half-edges</tex> являются копией <tex>Next</tex> старого <tex>half-edge</tex>, не имеющего пары. В <tex>half-edges</tex>, в которые эти указатели точки должны обновлять свои <tex>Prev</tex> и устанавливать его на новых <tex>half-edges</tex>. Далее мы должны установить <tex>Next</tex> и <tex>Prev</tex> четырех <tex>half-edges</tex> представляющих <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex>, и из четырех <tex>half-edges</tex> инцидентного <tex>S2</tex> <tex>v</tex>. Мы размещаем эти четыре <tex>half-edges</tex> от <tex>S2</tex>, проверяя, где <tex>e'</tex> и <tex>e''</tex> должны быть в циклическом порядке вершин вокруг вершины <tex>v</tex>. Есть четыре пары <tex>half-edges</tex>, которые связанны между собой <tex>Next</tex> с одним и <tex>Prev</tex> с другим. <tex>e'</tex> должен быть привязан к первому <tex>half-edge</tex> по часовой стрелке с началом в <tex>v.</tex> <tex>half-edge</tex> для <tex>e'</tex> с началом в <tex>v</tex> должен быть связан с первым против часовой стрелки <tex>half-edge</tex> с окончанием в <tex>v</tex>. Точно также и для <tex>e''</tex>.

====Время работы объединения====

Большинство из шагов в приведенном выше описании принимать только константное время. Есть случаи на которые потребуется дополнительное время, О(M), где Mчисло ребер, точки событий. Это означает, что обновление <tex>D</tex> не увеличивает время работы алгоритма заметащей прямой асимптотически. Любое пересечение, которое мы находим является вершиной наложения. Из этого следует, что вершина record и <tex>half-edge</tex> record doubly connected edge list для <tex>O(S1, S2)</tex> можно вычислить за <tex>O(n \ * \ \log n + k \ *\ \log n)</tex> время, где <tex>n</tex> обозначает сумму сложностей <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex>, а k является сложностью наложения.

====Воссоздание <tex>faces</tex>====
После того, как все сделано, осталось вычислить информацию о <tex>faces</tex> в <tex>O(S1, S2)</tex>. Точнее, мы должны создать <tex>face</tex> record для каждого <tex>face</tex> е в <tex>O(S1, S2)</tex>, мы должны сделать <tex>outer\_component</tex> (<tex>e</tex>) указывают на <tex>half-edges</tex> на внешней границе <tex>F</tex>, и мы должны сделать список <tex>inner\_components</tex> (<tex>F</tex>) из указателей на <tex>half-edges</tex> на связанных областях пробелов внутри <tex>f</tex>. Кроме того, мы должны установить <tex>incident\_face</tex> () поля времени <tex>half-edges</tex> на границе <tex>F</tex> так, что они указывают на лицевые записи <tex>F</tex>. Наконец, каждый из новых <tex>faces</tex> должны быть помечены именами <tex>faces</tex> в старых подграфах, которые содержат его. Рассмотрим два <tex>half-edges</tex> цикла, свойственных <tex>v</tex>. Т.к. мы знаем, что incident <tex>face</tex> лежит слева, мы можем вычислить угол который эти два <tex>half-edges</tex> образуют внутри <tex>face</tex>. Если этот угол f меньше, чем 180◦ то циклом является внешняя граница, и в противном случае это граница дыры. Это свойство имеет место для левой вершины цикла, но не обязательно для других вершин этого цикла.

{{Лемма
|about=
К предыдущему вопросу
|statement=
Каждая компонента графа отвечает за множество циклов инцидентных одному <tex>face</tex>.
|proof= Рассмотрим цикл <tex>C</tex>, который ограничивает дыру в <tex>face</tex> <tex>f</tex>. Поскольку <tex>f</tex> локально лежит левее самой левой вершины из <tex>C</tex>, то <tex>C</tex> должен быть соединен с другим циклом, который тоже ограничивает <tex>f</tex>. отсюда следует, что циклы есть компонента связности в графе, описывающая один и тот-же <tex>face</tex>. Для того, что бы закончить доказательство, покажем, что каждый цикл ограничивающий дыру в <tex>f</tex> есть в той же компоненте связности, что и внешняя граница <tex>f</tex>. Предположим, что есть цикл, для которого это не так. Пусть <tex>C</tex> — самый левый такой цикл, то есть тот, чья самая левая вершина самая левая. По определению есть ребро между <tex>C</tex> и неким <tex>C'</tex>, который лежит слева от самой левой вершины <tex>C</tex>. Следовательно <tex>C</tex> в той же компоненте связности, что и <tex>C'</tex>, который не в той же компоненте, что внешняя граница <tex>f</tex>. Противоречие.
}}

Напомним, что в алгоритме развертки плоскости для отрезка пересечения мы всегда искали сегменты сразу слева от точки событий. (Они должны были быть проверены на пересечении с крайнего левого края через точку событий.) Таким образом, информация, при помощи которой мы должны построить <tex>G</tex> определяется в плоскости развертки. Таким образом, чтобы построить <tex>G</tex>, мы сначала делаем узел для каждого цикла. Чтобы найти дуги <tex>G</tex>, рассмотрим левую вершину <tex>V</tex> для каждого цикла, ограничивающую отверстие. Если <tex>half-edge</tex> сразу же выходит из <tex>V</tex>, то мы добавляем дугу между двумя узлами в <tex>G</tex>, представляющих цикл, содержащий е и цикл у которого <tex>V</tex> является самой левой вершиной. Чтобы найти эти узлы в <tex>G</tex> мы должны указатели от каждого <tex>half-edge</tex> записать в узел <tex>G</tex>, представляющего цикл этот. Так информация o <tex>face</tex> в doublyconnected edge list может быть установлена в <tex>О(n\ +\ k)</tex> времени, после плоскости развертки. Каждая грань <tex>e</tex> в наложении должна быть помечена с именами <tex>face</tex> в старых графах, которые содержали его. Чтобы найти эти <tex>face</tex>, надо рассмотреть произвольную вершину <tex>V</tex> в <tex>F</tex>. Если <tex>v</tex> является пересечением <tex>e1</tex> от <tex>S1</tex> и <tex>е2</tex> от <tex>S2</tex>, то мы можем решить, какие <tex>face</tex> из <tex>S1</tex> и <tex>S2</tex> содержат <tex>F</tex>, глядя на <tex>incident\_face</tex> указатель соответствующих <tex>half-edges</tex> соответствующих <tex>e1</tex> и <tex>e2</tex>. Если <tex>v</tex> не пересечение, но вершина, скажем, S1, то мы знаем только <tex>face</tex> S1, содержащей <tex>f</tex>. Чтобы найти <tex>face</tex> <tex>S2</tex> , содержащий <tex>F</tex>, мы должны определить <tex>face</tex> <tex>S2</tex>, которое содержит <tex>v</tex>. Другими словами, если бы мы знали для каждой вершины <tex>S1</tex>, в котором <tex>face</tex> <tex>S2</tex> находился, и наоборот, то мы могли бы обозначить <tex>face</tex> <tex>O(S1, S2)</tex> правильно.

==Итог==
'''MapOverlay (<tex>S_1</tex>, <tex>S_2</tex>)''' <tex>:</tex>

1. Копируем <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex> в граф <tex>D</tex>.

2. Находим все пересечения ребер из <tex>S_1</tex> с ребрами из <tex>S_2</tex> с помощью заметающей прямой.

2.1 Когда находим точки пересечения, то обновляем <tex>D</tex>, то есть строим из него [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]].

3. Теперь <tex>D</tex> это нормальный [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]], но без информации о <tex>face</tex>'ах.

4. Находим boundary cycles в <tex>D</tex>. То есть обновляем этот граф. Пока только добавляя в него ребра (<tex>half-edge</tex>'ы соответственно).

5. Создаем граф <tex>G</tex> (о нем ниже), в котором узлы будут отвечать за boundary cycles и в котором ребра будут соединять только те узлы, один из которых будет являться границей дыры (<tex>hole</tex>, это внутренний цикл <tex>face</tex>'a), а другой будет находиться слева от самой левой точки первого. (В случае, если это самая внешняя граница, то для нее пусть будет мнимая гигантская граница, с которой мы ее и соединим).

5.1. Для каждой компоненты графа:

Пусть <tex>C</tex> будет уникальная наружная граница цикла в компоненте, а <tex>f</tex> будет означать face ограниченный этим циклом. Создадим face для <tex>f</tex>. Запишем <tex>outer\_component</tex> в какой-нибудь <tex>half-edge</tex> из <tex>C</tex>. И создадим список <tex>inner\_components</tex>, состоящий из указателей на какой-нибудь <tex>half-edge</tex> из каждого цикла. А так же пусть <tex>incident\_face</tex> в каждом <tex>half-edge</tex> будут обновлены на <tex>f</tex>.

== Литература и источники ==
* Вычислительная геометрия. Алгоритмы и приложения, де Берг Марк и другие. Глава 2.3

Алгоритм Ахо-Корасик

2014-03-12T08:50:38Z

194.85.161.36: /* Пример реализации */

== Задача алгоритма ==
Найти для каждого образца из заданного множества образцов (размером <tex>k</tex>) все его вхождения в текст за время <tex>O(m+n+a)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} суммарная длина образцов, <tex>n</tex> {{---}} длина текста, <tex>a</tex> {{---}} размер ответа (количество пар). В худшем случае <tex>a=nk</tex>, но на практике он встречается редко.

== Шаг 1 ==
Строим [[Бор|бор]] из образцов. 
Построение выполняется за время <tex>O(m)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} суммарная длина образцов.

=== Пример построенного бора ===
Бор для набора образцов {he, she, his, hers}: 
[[Файл:Aho-corasick1.jpg‎]]

== Шаг 2 ==
Превращаем бор в автомат. 
Узлы бора становятся состояниями автомата; корень {{---}} начальное состояние. 
Узлы бора, в которых заканчиваются образцы, становятся терминалами. 
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций: 
1) <tex>parent(u)</tex> {{---}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>; 
2) <tex>\pi(u) = \delta(\pi(parent(u)), c)</tex> {{---}} суффиксная ссылка; здесь <tex>u</tex> {{---}} сын <tex>parent(u)</tex> по символу <tex>c</tex>; 
3) <tex>\delta(u, c) =
\begin{cases}
v\text{, if $v$ is son by symbol $c$ in trie;}\\
root\text{, if $u$ is root and $u$ has no child by symbol $c$ in trie }\\
\delta(\pi(u), c)\text{, else.}
\end{cases}</tex> {{---}} функция перехода. 
Суффиксная ссылка <tex>\pi(u) = v</tex>, если <tex>[v]</tex> {{---}} максимальный суффикс <tex>[u]</tex>, <tex>[v]\neq[u]</tex>. Обозначение: <tex>[u]</tex> {{---}} слово, приводящее в вершину <tex>u</tex> в боре. 
Функции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом обхода в глубину с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма обхода в ширину.
=== Пример автомата Ахо-Корасик ===
[[Файл:Aho-corasick2.jpg]] 
Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень.

== Шаг 3 ==
Построение сжатых суффиксных ссылок. 
<tex>up(u) =
\begin{cases}
\pi(u)\text{, if $\pi(u)$ is terminal;}\\
\emptyset\text{, if $\pi(u)$ is root;}\\
up(\pi(u))\text{, else.}
\end{cases}</tex> {{---}} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам. 
Сжатые суффиксные ссылки могут отыскиваться при помощи ленивой рекурсии.

== Использование автомата ==
По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам образцы, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему образцы тоже отмечаем. 
''Примечание.'' Если требуется найти только первое вхождение образца в текст, то существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, т.е. если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку.

== Пример реализации ==
Ниже представлена реализация на C++ некоторых функций (используется ленивая рекурсия). 
'''Структура вершины:'''
struct Node {
Node* son[SZ]; // массив сыновей; SZ - это размер алфавита
Node* go[SZ]; // массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии)
Node* parent; // вершина родитель
Node* suffLink; // суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии)
Node* up; // сжатая суффиксная ссылка
char charToParent; // символ, ведущий к родителю
bool leaf; // флаг, является ли вершина терминалом
std::vector<int> leafPatternNumber; // номера образцов, за которые отвечает терминал
};
'''Функция, для вычисления суффиксной ссылки:'''
Node* getSuffLink(Node* v) {
if (!v->suffLink) { // если суффиксная ссылка ещё не вычислена
if (v == root || v->parent == root) {
v->suffLink = root;
} else {
v->suffLink = getGo(getSuffLink(v->parent), v->charToParent);
}
}
return v->suffLink;
}
'''Функция, для вычисления перехода:'''
Node* getGo(Node* v, char c) {
if (!v->go[c]) { // если переход по символу c ещё не вычислен
if (v->son[c]) {
v->go[c] = v->son[c];
} else {
v->go[c] = (v == root) ? root : getGo(getSuffLink(v), c);
}
}
return v->go[c];
}
'''Функция, для вычисления сжатой суффиксной ссылки:'''
Node* getUp(Node* v) {
if (!v->up) { // если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена
if (getSuffLink(v)->leaf) {
v->up = getSuffLink(v);
} else if (getSuffLink(v) == root) {
v->up = root;
} else {
v->up = getUp(getSuffLink(v));
}
}
return v->up;
}
'''Функция, для добавление образца в бор:'''
void addString(std::string const& s, int patternNumber) {
Node* cur = root;
for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {
char c = s[i] - 'a';
if (cur->son[c] == 0) {
cur->son[c] = new Node;
/* здесь также нужно обнулить указатели на переходы и сыновей */
cur->son[c]->suffLink = 0;
cur->son[c]->up = 0;
cur->son[c]->parent = cur;
cur->son[c]->charToParent = c;
cur->son[c]->leaf = false;
}
cur = cur->son[c];
}
cur->leaf = true;
cur->leafPatternNumber.push_back(patternNumber);
}
'''Функция, для процессинга текста (поиск, встречается образец или нет):'''
void processText(std::string const& t, std::vector<bool>& found) { // found - это вектор, длина которого равна количеству образцов
found.assign(w, false); // w - количество образцов
Node* cur = root;
for (int i = 0; i < t.length(); ++i) {
char c = t[i] - 'a';
cur = getGo(cur, c);
for (int j = 0; j < cur->leafPatternNumber.size(); ++j) {
found[cur->leafPatternNumber[j]] = true;
}
/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины,
обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки
и так до корня. Хорошо ускорит программу сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин. */
}
}
Кроме этих функций требуется инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет.

== Источники ==
* http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick
* http://aho-corasick.narod.ru/

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]

Получение следующего объекта

2013-12-26T06:18:04Z

194.85.161.36: /* Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания */

== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Объект <tex>Q</tex> называется следующим за <tex>P</tex>, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>R</tex>, что <tex>P < R < Q</tex>.

Отсюда понятен алгоритм:
* Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>
* К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>)
* Дописываем минимальный возможный хвост
По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.

== Специализация алгоритма для генерации следующего [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 битового вектора] ==
* Находим минимальный суффикс, в котором есть 0, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
* Вместо 0 записываем 1
* Дописываем минимально возможный хвост из нулей
'''for''' i = n '''downto''' 1
'''if''' a[i] == 0
a[i] = 1
'''for''' j = i + 1 to n
a[j] = 0
'''break'''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|0||1||style="background:#FFCC00"|0||1||1||исходный битовый вектор
|-
| || ||^|| || ||находим элемент 0 (самый правый)
|-
|0||1||style="background:#FFCC00"|1||1||1||меняем его на 1
|-
|0||1||1||style="background:#FFCC00"|0||style="background:#FFCC00"|0||меняем элементы правее на нули
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}

== Специализация алгоритма для генерации [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 следующей перестановки] ==
* Двигаясь справа налево, находим элаемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
* Перевернем правую часть

'''for''' i = n - 1 '''downto''' 1
'''if''' a[i] < a[i + 1]
'''for''' j = i + 1 '''to''' n
'''if''' (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
min==j
swap(a[i], a[j])
reverse(a[i + 1]..a[n])
'''break'''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка
|-
| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
|-
| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами
|-
|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующей [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 мультиперестановки] ==
* Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
* Переворачиваем правую часть.
'''function''' nextMultiperm(var b:array[1..N] of integer): array[1..N] of integer;
'''var''' i , j : '''integer''';
'''begin'''
i := N - 1;
'''while''' (i > 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) '''do'''
dec(i);
'''if''' i > 0 '''then'''
'''begin'''
j := i + 1;
'''while''' (j < N) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) '''do'''
inc(j);
swap(b[i] , b[j]);
'''for''' j := i + 1 '''to''' (N + i) '''div''' 2 '''do'''
swap(b[j], b[N - j + i + 1]);
return(b[1..N]);
'''end'''
'''else'''
'''begin'''
return(null);
'''end;'''
'''end;'''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.
|-
| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
|-
| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.
|-
|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.
|-
|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.
|}

== Специализация алгоритма для генерации [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 следующего сочетания] ==

* Добавим в конец массива с сочетанием N+1 – максимальный элемент.
* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на 2.
* Увеличим найденный элемент на 1, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
'''function''' nextChoose(var a:array[1..k] of integer): array[1..k] of integer; // n,k - параметры сочетания.
'''var'''
i,j : '''integer;'''
b:array[1..k+1] of '''integer;'''
'''begin'''
'''for''' i := 1 '''to''' k '''do'''
b[i]:=a[i];
b[k + 1] := n + 1;
i := n;
'''while''' (i > 0) '''and''' ((b[i + 1] - b[i]) < 2) '''do'''
i := i - 1;
'''if''' i > 0 '''then'''
'''begin'''
b[i] := b[i] + 1;
'''for''' j := i + 1 '''to''' k '''do'''
b[j] := b[j - 1] + 1;
'''for''' i := 1 '''to''' k '''do'''
a[i] := b[i];
return(a[1..k]);
'''end'''
'''else'''
return(null);
'''end;'''

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''||
|-
| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
|-
|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.
|-
|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.
|-
|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 разбиения на слагаемые] ==
Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые в упорядоченном множестве разбиений числа.
* Увеличим предпоследнее число на 1, уменьшим последнее на 1.
* Если предпоследний элемент стал больше последнего, то увеличиваем предпоследний элемент на величину последнего.
* Если предпоследний элемент меньше последнего, то проверяем, можем ли мы разбить последний элемент на сумму предпоследних. Если да – разбиваем, пока предпоследний*2 < последнего.

<code>
// b – список, содержащий разбиение данного числа, length – его размер.
'''function''' nextPartition(var b:list): list;
'''var''' i : '''integer;'''
'''begin'''
b.set(b.size,b.get(b.size) - 1);
b.set(b.size-1,b.get(b.size-1) + 1);
'''if''' b.get(b.size-1) > b.get(b.size) '''then'''
'''begin'''
b.set(b.size-1,b.get(b.size-1) + b.get(b.size));
b.size(b.size-1);
'''end'''
'''else'''
'''begin'''
'''while''' b.get(b.size-1) * 2 <= b.get(b.size) '''do'''
'''begin'''
b.add(b.get(b.size)-b.get(b.size-1));
b.set(b.size-1,b.get(b.size-1));
'''end;'''
'''end;'''
return(b);
'''end;'''
</code>

=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border = 1
|1||style="background:#FFCC00"|1||style="background:#FFCC00"|7|| || ||Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
|1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|6|| || ||Проверяем: 2<6, значит разбиваем 6 пока оно не станет <4
|-
|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| ||
|-
|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
|'''1'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||'''2'''||Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
|}

== Специализация алгоритма для генерации следующего [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%8B#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80.D1.8B_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BE.D0.B1.D1.8A.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D0.B2 разбиения на подмножества] ==

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>

Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:

*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.

'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

* Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не сможем выполнить одно из действий, описанных ниже:
** Заменить рассматриваемый элемент уже удаленным. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. '''Важное замечание''': мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
** Дополнить рассматриваемое подмножество уже удаленным элементом. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

<code>
// a - список, содержащий подмножества
// used - список, в котором мы храним удаленные элементы
fl = ''false''
'''for''' i = n - 1 '''downto''' 0
'''if''' можем добавить в конец подмножества элемент из used
добавляем
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' можем заменить элемент, другим элементом из списка used
заменяем
fl = ''true''
'''break'''
used.add(a[i][j]) // удаляем j элемент i подмножества и добавляем его в список
'''if''' (fl) '''break'''
// далее выведем все получившиеся подмножества
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
println(used[i]) // выводим лексикографически минимальных хвост
</code>

=== Пример работы ===

'''Рассмотрим следующее разбиение:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}

'''1 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}

'''2 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}

'''3 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}

'''4 Шаг:'''

{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}

== Ссылки ==
* [[Получение объекта по номеру]]
* [[Получение номера по объекту]]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]
* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]

Теорема о поглощении

2013-12-10T15:08:12Z

194.85.161.36: Ссылку на определение поглощающего состояния

{{Утверждение
|statement=Состояние является [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|поглощающим]] тогда и только тогда, когда <tex> p_{ii} = 1</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> поглощающими состояниями и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму''':
<tex>P = \begin{pmatrix}
Q & R \\
0 & I
\end{pmatrix}</tex> ,

где <tex>I</tex> - единичная матрица (<tex>r \times r</tex>), <tex>0</tex> – нулевая матрица (<tex>r \times t</tex>), <tex>R</tex> – ненулевая поглощающая матрица (<tex>t \times r</tex>) и <tex>Q</tex> - непоглощающая (<tex>t \times t</tex>). Первые <tex>t</tex> состояний переходные и последние <tex>r</tex> состояний поглощающие.
}}

{{
Теорема
|about=о поглощении
|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной 1, она перейдет в поглощающее состояние.

|proof=
Пусть <tex>P</tex> - [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Приведем ее в каноническую форму:

<tex>P = \begin{pmatrix}
Q & R \\
0 & I
\end{pmatrix}</tex>

Пусть вектор <tex>c^{(t)}</tex> - вектор вероятности нахождения на шаге <tex>t</tex>.
Он вычисляется, как произведение вектора на нулевом шаге на матрицу перехода в степени <tex>t</tex>.
<tex> c^{(t)} = c^{(0)} \times P^t</tex>
Рассмотрим, что представляет из себя возведение матрицы <tex>P</tex> в степень:

Для <tex>t = 2</tex> :

<tex>P^{2} =
\begin{pmatrix}
Q & R \\
0 & I
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
Q & R \\
0 & I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Q \times Q + R \times 0 & Q \times R + R \times I \\
0 \times Q + I \times 0 & 0 \times R + I \times I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Q^2 & X \\
0 & I
\end{pmatrix}</tex> .

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> - некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой вид: <tex>\begin{pmatrix}
Q^n & X \\
0 & I
\end{pmatrix}</tex> .

Докажем, что <tex>Q^n \xrightarrow{} 0</tex>, при <tex> n\xrightarrow{}+\infty</tex>.

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное <tex>j</tex>. Пусть <tex>p<1</tex> - вероятность того, что через <tex>m_i</tex> шагов из шага <tex>i</tex> не попадет в поглощающее состояние.
Пусть <tex>m = max(m_i)</tex>, а <tex>p = max(p_i)< 1</tex>

Тогда получаем: <tex>\sum_{j} {Q^m_{ij}}\leqslant p</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>

В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.
}}

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]

[[Категория: Марковские цепи ]]

Эвристики для поиска кратчайших путей

2013-12-04T09:12:44Z

194.85.161.36: /* Алгоритм A* */

Данная статья - перевод выступления Renato F. Werneck в Microsoft Data Structures and Algorithms School в 2010 году.

== Проблема поиска кратчайшего пути ==
Дано:
* ориентированный граф <tex>G=(V,E)</tex>
* <tex>l(u,v) \geqslant 0</tex>
* <tex>|V|=n, |E|=m</tex>
* отправная точка - вершина <tex>s</tex>, пункт назначения - вершина <tex>t</tex>

Цель: найти кратчайший путь <tex> s \rightsquigarrow t</tex>

Мы будем рассматривать сеть автомобильных дорог:
* <tex>V</tex> - множество перекрёстков
* <tex>E</tex> - множество дорог
* <tex>l(u,v)</tex> - среднее время, которое занимает проезд по дороге

=Алгоритм Дейкстры=
основная статья: [[Алгоритм Дейкстры]]
* на каждом шаге выбирает из множества непросмотренных вершин вершину с наименьшим расстоянием до старта и релаксирует рёбра, исходящие из неё
* завершает свою работу, когда цель достигнута (или просмотрены все вершины)

Скорость работы алгоритма Дейкстры сильно зависит от скорости операций с приоритетной очередью.

Поскольку мы рассматриваем сеть автомобильных дорог, то <tex>m = O(n)</tex> (граф планарен почти везде).

Для фибоначчиевых куч время работы алгоритма составляет <tex>O(V\log{V}+E)</tex>, для двоичных куч: <tex>O(E\log{V})</tex>

Но на практике чаще используются 2-, 4- и 8-ичные кучи: они более простые, оценка времени работы содержит меньшее количество скрытых констант.

==Улучшения алгоритма Дейкстры==
===Многоуровневые корзины(multi-level buckets, MLB)===
<div >[[Файл:multilevel_buckets.jpg ]]</div>

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" align="right"
|+ Сравнение различных структур данных для поиска кратчайшего пути на карте Европы (CPU 2,4GHz, 16MB RAM)
! Структура данных !! Время работы (сек)
|-
| Двоичная куча || 12,38
|-
| 4-куча || 11,53
|-
| 8-куча || 11,52
|-
| MLB || 9,36
|-
| MLB + калибровка || 8,04
|-
|}
Подходит только графов с целочисленными рёбрами.
* Будем складывать вершины в "корзины" <tex>B[i] \subset V: {d(u)=i} </tex>
* Наша структура данных будет поддерживать индекс <tex>L: \forall B[i]: i<L \Rightarrow B[i] = \emptyset </tex>
* На каждом шаге алгоритма, если <tex>B[L]</tex> пусто, то увеличим <tex>L</tex>, а иначе достанем одну вершину из <tex>B[L]</tex>
* При релаксации будем убирать вершину из исходной корзины и класть в корзину, соответствующую новому значению <tex>dist(u)</tex>

Можно заметить, что при такой реализации, все операции с приоритетной очередью будут выполняться за <tex>O(1)</tex>. Тогда, для одного уровня корзин время работы алгоритма Дейкстры можно оценить как <tex>O(m+nC)</tex>, где <tex>C</tex> - максимальная длина ребра в графе.

При двухуровневой реализации будем поддерживать два уровня корзин: первый уровень будет соответствовать одноуровневой реализации, а корзины второго уровня будут содержать диапазон значений корзин первого уровня, которые в них входят.

Соответственно, нам нужно поддерживать два индекса <tex>L_{top}</tex> и <tex>L_{bottom}</tex> для каждого из уровней соответственно.

При такой реализации, время работы алгоритма Дейкстры можно оценить как <tex>O(m+n(1+ \sqrt{C}))</tex>

===Калибровка(caliber)===
Введём величину калибр вершины <tex>c(v)</tex> - вес минимального ребра, входящего в <tex>v</tex> , или <tex>\infty</tex>, если в вершину не входит ни одно ребро. Будем говорить, что текущее значение <tex>d(v)</tex> точно, если оно равно длине пути <tex>s \rightsquigarrow v</tex>.
{{Лемма
|about = 1
|statement =
Предположим, что длины рёбер неотрицательны. Пусть <tex>\mu</tex> - минимальное из текущих значений <tex>d(v):v \in V</tex>. Тогда, если существует такая вершина <tex>u</tex>, что <tex>\mu + c(u) \geqslant d(u)</tex>, то текущее значение <tex>d(u)</tex> точно.
}}
Эта лемма позволяет нам смягчить правило выбора текущей вершины в алгоритме Дейкстры, при этом сохраняя инвариант(почти все вершины обрабатываются единожды).
Калибровка использует Лемму 1 чтобы находить и обрабатывать вершины с точными текущими значениями расстояния до них.

Модифицируем нашу MLB - структуру: будем хранить помеченные вершины в двух группах: сет <tex>F</tex> и приоритетная очередь <tex>B</tex>, реализованная на MLB.
Алгоритм, приведённый ниже, называется алгоритмом умной очереди.

Вершины в <tex>F</tex> будут иметь точные метки. Если <tex>F</tex> непусто, мы удалим оттуда вершину и прорелаксируем всех её соседей. Если же <tex>F</tex> пусто, мы достанем из
<tex>B</tex> вершину с минимальной меткой и прорелаксируем всех её соседей.

Рассмотрим механизм релаксации: пусть мы уменьшаем <tex>d(u)</tex>. Заметим, что в этом случае <tex>u</tex> не могло лежать в <tex>F</tex>(иначе <tex>d(u)</tex> было не точно). Если <tex>u \in B</tex> - применим <tex>decrease - key</tex> к <tex>u</tex>. Эта операция либо переместила <tex>u</tex> внутри <tex>B</tex>, либо определила, что метка <tex>d(u)</tex> точна и переместила <tex>u</tex> в <tex>F</tex>.
Если же <tex>u \notin F \hspace{2 mm} \& \hspace{2 mm} u \notin B</tex>, мы применим операцию <tex>insert</tex>, и <tex>u</tex> запишется в
<tex>F</tex> или <tex>B</tex>, в зависимости от того, выполняется ли условие леммы.

===Двунаправленный поиск===
Мы можем уменьшить количество посещённых вершин в алгоритме Дейкстры, просто запустив его и из начальной и из конечной вершины. Такая эвристика не испортит скорость работы в худшем случае.

Создадим две приоритетных очереди и запустим на одной из них алгоритм Дейкстры, ищущий <tex>d_{forward}(v)</tex> из <tex>s</tex>, а на другой - ищущий <tex>d_{reverse}(v)</tex> из <tex>t</tex>. Алгоритм завершит свою работу, когда какая-нибудь вершина <tex>z</tex> будет удалена из обоих очередей.

Тонкость этого алгоритма заключается в том, что кратчайший путь <tex>s \rightsquigarrow t</tex> не обязательно пройдёт через вершину <tex>v</tex>. Поэтому после остановки двунаправленного поиска, нам необходимо перебрать все рёбра из вершин, имеющих <tex>d_{forward}</tex> в
вершины с <tex>d_{reverse}(v)</tex> и найти ребро <tex>uv</tex> с минимальным <tex>d_{forward}(u)+\ell(uv)+ d_{reverse}(v) </tex>. Если эта величина меньше, чем длина первоначально найденного пути - то это и есть результат работы алгоритма.

На практике, такой двунаправленный поиск быстрее обычного алгоритма Дейкстры примерно в два раза.

=Двухэтапные алгоритмы=

К сожалению, двунаправленный алгоритм Дейкстры всего в два раза быстрее обычного, а это слишком медленно. Рассмотрим алгоритм поиска кратчайшего пути, состоящий из двух этапов:
# Препроцессинг
#* запускается единожды для графа
#* может занимать много времени
#* рассчитывает некую вспомогательную информацию
# Запрос
#* может использовать данные, полученные во время препроцессинга
#* запускается по требованию для пары <tex>(s,t)</tex>
#* должен выполняться очень быстро (в реальном времени)

Можно рассмотреть в этом ключе два примера:
* Алгоритм Дейкстры: препроцессинг - ничего не делать, запрос - выполнение алгоритма Дейкстры;
* Полный перебор: препроцессинг - посчитать таблицу расстояний размером <tex>n \times n</tex> (займёт порядка 5 лет времени и 1 петабайта памяти для карты Европы), запрос - обратиться к элементу таблицы.

Оба эти примера - крайние случаи. Нам нужно нечто более гибкое: препроцессинг за часы/минуты, рост количества предпосчитанных данных линейно от размера графа и запросы в реальном времени.

=Алгоритм A*=
основная статья: [[Алгоритм A*]]

Приведём немного изменённую версию этого алгоритма.

Возьмём функцию <tex>h(v): V \rightarrow \mathbb{R} </tex> - потенциал вершины. Тогда, с её помощью можно определить редуцированную стоимость каждого ребра как <tex>\ell_{h}(v,w) = \ell(v,w)-h(v)+h(w)</tex>

Заметим, что замена <tex>\ell</tex> на <tex>\ell_{h}</tex> не изменит кратчайших путей: возьмём любой путь <tex>P = (s=v_{0},v_{1},...,v_{k},v_{k+1}=t)</tex>. Тогда <tex>\ell_{h}(P) = \ell_{h}(s,v_{1}), \ell_{h}(s,v_{w})</tex>. Тогда <tex>\ell_{h}(P) = \ell_{h}(s,v_{1})+\ell_{h}(v_{1},v_{2})+...+\ell_{h}(v_{k},t) =</tex> <tex> \ell(s,v_{1})-h(s)+h(v_{1})+\ell(v_{1},v_{2})-h(v_1)+h(v_{2})+...+\ell(v_{k},t)-h(v_k)+h(t) = </tex> <tex>\ell(P)-h(s)+h(t)</tex>.

Таким образом длины все путей <tex>s \rightsquigarrow t</tex> изменятся на одну и ту же величину <tex>h(t)-h(s)</tex>

В нашем случае, алгоритм A* будет эквивалентен алгоритму Дейкстры, на графе <tex>G_{h}</tex>, у которого стоимости рёбер заменили на их редуцированные стоимости. На каждом шаге необходимо будет выбирать из очереди вершину <tex>v</tex> с минимальным значением <tex>\ell(P_{s \rightsquigarrow v})-h(s)+h(v)</tex>. Очевидно, <tex>h(s)</tex> будет одинаковым для любой вершины <tex>v</tex>.

Назовём функцию <tex>h</tex> правдоподобной, если <tex>\forall (u,v): \ell_{h}(u,v) \geqslant 0</tex>. Известно, что, если <tex>h(t)\leqslant 0</tex> и <tex>h</tex> правдоподобна, то для любого <tex>v</tex>, <tex>h(v)</tex> - нижняя граница <tex>dist(v,t)</tex>

Главное отличие от алгоритма Дейкстры в том, что A* является целенаправленным алгоритмом - он обрабатывает в первую очередь те вершины, которые находятся ближе к результату.

Скорость работы алгоритма A*:
* в худшем случае - <tex>h(v)=0</tex> - вырождается в алгоритм Дейкстры
* в лучшем случае - <tex>\forall v: h(v)=dist(v,t)</tex>
**<tex>\ell_{h}(v,w)=0</tex>, если ребро <tex>(v,w)</tex> лежит на кратчайшем пути, иначе редуцированная стоимость положительна
**все посещённые вершины будут лежать на кратчайшем пути
== Двунаправленный A*==

Задача о наибольшей общей возрастающей последовательности

2013-11-29T12:15:10Z

194.85.161.36: /* Решение за время O(N2) */

Даны два массива: <tex> a[1..n] </tex> и <tex> b[1..m] </tex>. Требуется найти их ''наибольшую общую возрастающую подпоследовательность (НОВП).''

==Решение за время O(N4)==
Построим следующую динамику: <tex> d[i][j] </tex> - это длина наибольшей возрастающей подпоследовательности массивов <tex> a </tex> и <tex> b </tex>, последний элемент которой <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] (a[i] = b[j]) </tex>. Будем заполнять <tex> d[i][j] </tex> сначала по увеличению <tex> i </tex>, а при равенстве по увеличению <tex> j </tex>. Ответом на задачу будет максимум из всех элементов <tex> d[i][j] </tex>, где <tex> i = 1...n </tex>, <tex> j = 1...m. </tex>

Заполнять <tex> d </tex> будем следующим образом: на очередном шаге сравниваем элементы <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex>.
Если <tex> a[i] \neq b[j] </tex>, то <tex> d[i][j] = 0 </tex> (так как нет НОВП, оканчивающейся в разных элементах).
Если <tex> a[i] = b[j] </tex>, то эти элементы могут быть частью НОВП. Переберём, какие элементы стояли перед ними в массивах <tex> a </tex> и <tex> b </tex>. Заметим, что предыдущие значения <tex> d </tex> уже известны, тогда очередное значение
<tex> d[i][j] = max(d[k][l] + 1, </tex> для всех <tex> k = 1..i-1 </tex> и <tex> l = 1..j-1), </tex> при условии, что <tex> a[k] = b[l] </tex>

Для восстановления подпоследовательности можно хранить массив предков <tex> prev[1..n] </tex> массива <tex> a: prev[i] </tex> - индекс предыдущего элемента НОВП, которая оканчивается в <tex> a[i] </tex>.

a[n], b[m]
d[n][m] //динамика
prev[n] //массив предков
inputData(a, n)
inputData(b, m)
'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' a[i] == b[j]
d[i][j] := 1 //НОВП как минимум 1, состоит из одного элемента a[i] <-> b[j]
'''for''' k = 1...i-1
'''for''' l = 1...j-1
'''if''' a[k] == b[l] '''and''' a[k] < a[i] '''and''' d[i][j] < d[k][l] + 1
d[i][j] := d[k][l] + 1
prev[i] := k
//восстановление
b_i := 1 //ищем лучшую пару (b_i, b_j)
b_j := 1 //d[b_i][b_j] <tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' d[b_i][b_j] < d[i][j]
b_i := i
b_j := j
print(d[b_i][b_j]) //размер НОВП
pos := b_i //проходим по массиву a, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(a[pos])
pos := prev[pos]

==Решение за время O(N3)==
Улучшим предыдущее решение. Пусть теперь <tex> d[i][j] </tex> - динамика, в которой элемент <tex> a[i] </tex> по-прежнему последний представитель НОВП массива <tex> a </tex>, а <tex> b[j] </tex> может не быть быть последним представителем массива <tex> b </tex>. Тогда если <tex> a[i] \neq b[j] </tex>, будем "протаскивать" последнее удачное сравнение в динамике: <tex> d[i][j] = d[i][j-1] </tex> (понять это можно так: <tex> a[i] \neq b[j] </tex> , поэтому <tex> b[j] </tex> не последний представитель НОВП из массива <tex> b </tex>, а значит предыдущий элемент НОВП находится в префиксе <tex> b[1..j-1] </tex>, но <tex> d[i][j-1] </tex> уже посчитан).
Если <tex> a[i] = b[j] </tex>, то одним дополнительным циклом пробежим по <tex> a </tex> и найдём предыдущий элемент НОВП, оканчивающейся в <tex> a[i] </tex> (он меньше <tex> a[i] </tex>). Из подходящих элементов выберем тот, для которого <tex> d[k][j] </tex> - максимальна.
Правильнее было бы использовать индекс <tex> j-1 </tex> в <tex> d[k][j-1] </tex>, то есть без элемента <tex> b[j] </tex>. Но так как последовательность ''строго возрастает'', <tex> b[j] </tex> точно не будет два раза элементом НОВП. Тогда мы, не рассматривая граничные случаи <tex> d[i][0] </tex>, можем использовать индекс <tex> j </tex> в динамике <tex> d[k][j] </tex>.

<tex> d[i][j] = max(d[k][j]) + 1 </tex> для всех <tex> k = 1..i-1, a[k] < a[i]). </tex>

'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' a[i] == b[j]
d[i][j] := 1 //НОВП как минимум 1, состоит из одного элемента a[i] <-> b[j]
'''for''' k = 1...i-1
'''if''' a[k] < a[i] '''and''' d[i][j] < d[k][j] + 1
d[i][j] := d[k][j] + 1
prev[i] := k
'''else'''
d[i][j] = d[i][j-1]
//восстановление
b_i := 1 //ищем лучший элемент d[b_i][m] <tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' i = 1...n
'''if''' d[b_i][m] < d[i][m]
b_i := i
print(d[b_i][m]) //размер НОВП
pos := b_i //проходим по массиву a, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(a[pos])
pos := prev[pos]

==Решение за время O(N2)==
Пусть теперь <tex> d[i][j] </tex> - это длина наибольшей общей возрастающей подпоследовательности префиксов <tex> a[1..i] </tex> и <tex> b[1..j] </tex> (элементы <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> могут не входить в НОВП). Вычислять <tex> d </tex> будем по увеличению <tex> i </tex>, а при равенстве - по увеличению <tex> j </tex>. Заметим, что в предыдущем решении при каждом равенстве элементов <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> приходилось пробегать дополнительным циклом по массиву <tex> a </tex> в поисках элемента, меньшего <tex> a[i] </tex>, для которого <tex> d[k][j] </tex> на префиксе <tex> a[1..k] </tex> и <tex> b[1..j] </tex> была наилучшей. А раз мы считаем <tex> d </tex> сначала по увеличению <tex> i </tex> , то <tex> a[i] </tex> можно считать фиксированным, а <tex> b[j] </tex> - переменным. Тогда давайте в дополнительной переменной хранить лучший элемент и его индекс в массиве <tex> b </tex>, такой, что этот элемент строго меньше <tex> a[i] </tex> и значение динамики для него максимально. Фактически, это решение отличается от предыдущих только более "хитрой" реализацией.

d[n][m]
prev[m]
'''for''' i = 1...n
best_ind := 0 //позиция "лучшего" элемента в массиве b
best := 0 //значение динамики для "лучшего" элемента
'''for''' j = 1...m
d[i][j] := d[i-1][j] //НОВП на префиксе a[1..i-1] и b[1..j], то есть без элемента a[i]
'''if''' a[i] == b[j] '''and''' d[i-1][j] < best + 1 //можем использовать a[i]-тый элемент для увеличения НОВП
d[i][j] := best + 1
p[j] := best_ind
'''if''' a[i] > b[j] '''and''' d[i-1][j] > best //в момент следующего равенства a[i] = b[j'] нам не придётся бежать циклом в поисках элемента k:
best := d[i-1][j] //b[k] < b[j'] = a[i]. Мы считаем элемент a[i] фиксированным и сравниваем кандидатов с ним
best_ind := j
//восстановление (по массиву b)
b_j := 1 //ищем лучший элемент d[n][b_j]<tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' k = 1...m
'''if''' d[n][b_j] < d[n][j]
b_j := j
print(d[n][b_j]) //размер НОВП
pos := b_j //проходим по массиву b, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(b[pos])
pos := prev[pos]

== См. также ==

*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]

== Источники ==

*http://codeforces.ru/contest/10/problem/D Codeforces - Задача о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]

Задача о наибольшей общей возрастающей последовательности

2013-11-29T12:13:52Z

194.85.161.36: /* Решение за время O(N2) */

Даны два массива: <tex> a[1..n] </tex> и <tex> b[1..m] </tex>. Требуется найти их ''наибольшую общую возрастающую подпоследовательность (НОВП).''

==Решение за время O(N4)==
Построим следующую динамику: <tex> d[i][j] </tex> - это длина наибольшей возрастающей подпоследовательности массивов <tex> a </tex> и <tex> b </tex>, последний элемент которой <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] (a[i] = b[j]) </tex>. Будем заполнять <tex> d[i][j] </tex> сначала по увеличению <tex> i </tex>, а при равенстве по увеличению <tex> j </tex>. Ответом на задачу будет максимум из всех элементов <tex> d[i][j] </tex>, где <tex> i = 1...n </tex>, <tex> j = 1...m. </tex>

Заполнять <tex> d </tex> будем следующим образом: на очередном шаге сравниваем элементы <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex>.
Если <tex> a[i] \neq b[j] </tex>, то <tex> d[i][j] = 0 </tex> (так как нет НОВП, оканчивающейся в разных элементах).
Если <tex> a[i] = b[j] </tex>, то эти элементы могут быть частью НОВП. Переберём, какие элементы стояли перед ними в массивах <tex> a </tex> и <tex> b </tex>. Заметим, что предыдущие значения <tex> d </tex> уже известны, тогда очередное значение
<tex> d[i][j] = max(d[k][l] + 1, </tex> для всех <tex> k = 1..i-1 </tex> и <tex> l = 1..j-1), </tex> при условии, что <tex> a[k] = b[l] </tex>

Для восстановления подпоследовательности можно хранить массив предков <tex> prev[1..n] </tex> массива <tex> a: prev[i] </tex> - индекс предыдущего элемента НОВП, которая оканчивается в <tex> a[i] </tex>.

a[n], b[m]
d[n][m] //динамика
prev[n] //массив предков
inputData(a, n)
inputData(b, m)
'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' a[i] == b[j]
d[i][j] := 1 //НОВП как минимум 1, состоит из одного элемента a[i] <-> b[j]
'''for''' k = 1...i-1
'''for''' l = 1...j-1
'''if''' a[k] == b[l] '''and''' a[k] < a[i] '''and''' d[i][j] < d[k][l] + 1
d[i][j] := d[k][l] + 1
prev[i] := k
//восстановление
b_i := 1 //ищем лучшую пару (b_i, b_j)
b_j := 1 //d[b_i][b_j] <tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' d[b_i][b_j] < d[i][j]
b_i := i
b_j := j
print(d[b_i][b_j]) //размер НОВП
pos := b_i //проходим по массиву a, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(a[pos])
pos := prev[pos]

==Решение за время O(N3)==
Улучшим предыдущее решение. Пусть теперь <tex> d[i][j] </tex> - динамика, в которой элемент <tex> a[i] </tex> по-прежнему последний представитель НОВП массива <tex> a </tex>, а <tex> b[j] </tex> может не быть быть последним представителем массива <tex> b </tex>. Тогда если <tex> a[i] \neq b[j] </tex>, будем "протаскивать" последнее удачное сравнение в динамике: <tex> d[i][j] = d[i][j-1] </tex> (понять это можно так: <tex> a[i] \neq b[j] </tex> , поэтому <tex> b[j] </tex> не последний представитель НОВП из массива <tex> b </tex>, а значит предыдущий элемент НОВП находится в префиксе <tex> b[1..j-1] </tex>, но <tex> d[i][j-1] </tex> уже посчитан).
Если <tex> a[i] = b[j] </tex>, то одним дополнительным циклом пробежим по <tex> a </tex> и найдём предыдущий элемент НОВП, оканчивающейся в <tex> a[i] </tex> (он меньше <tex> a[i] </tex>). Из подходящих элементов выберем тот, для которого <tex> d[k][j] </tex> - максимальна.
Правильнее было бы использовать индекс <tex> j-1 </tex> в <tex> d[k][j-1] </tex>, то есть без элемента <tex> b[j] </tex>. Но так как последовательность ''строго возрастает'', <tex> b[j] </tex> точно не будет два раза элементом НОВП. Тогда мы, не рассматривая граничные случаи <tex> d[i][0] </tex>, можем использовать индекс <tex> j </tex> в динамике <tex> d[k][j] </tex>.

<tex> d[i][j] = max(d[k][j]) + 1 </tex> для всех <tex> k = 1..i-1, a[k] < a[i]). </tex>

'''for''' i = 1...n
'''for''' j = 1...m
'''if''' a[i] == b[j]
d[i][j] := 1 //НОВП как минимум 1, состоит из одного элемента a[i] <-> b[j]
'''for''' k = 1...i-1
'''if''' a[k] < a[i] '''and''' d[i][j] < d[k][j] + 1
d[i][j] := d[k][j] + 1
prev[i] := k
'''else'''
d[i][j] = d[i][j-1]
//восстановление
b_i := 1 //ищем лучший элемент d[b_i][m] <tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' i = 1...n
'''if''' d[b_i][m] < d[i][m]
b_i := i
print(d[b_i][m]) //размер НОВП
pos := b_i //проходим по массиву a, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(a[pos])
pos := prev[pos]

==Решение за время O(N2)==
Пусть теперь <tex> d[i][j] </tex> - это длина наибольшей общей возрастающей подпоследовательности префиксов <tex> a[1..i] </tex> и <tex> b[1..j] </tex> (элементы <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> могут не входить в НОВП). Вычислять <tex> d </tex> будем по увеличению <tex> i </tex>, а при равенстве - по увеличению <tex> j </tex>. Заметим, что в предыдущем решении при каждом равенстве элементов <tex> a[i] </tex> и <tex> b[j] </tex> приходилось пробегать дополнительным циклом по массиву <tex> a </tex> в поисках элемента, меньшего <tex> a[i] </tex>, для которого <tex> d[k][j] </tex> на префиксе <tex> a[1..k] </tex> и <tex> b[1..j] </tex> была наилучшей. А раз мы считаем <tex> d </tex> сначала по увеличению <tex> i </tex> , то <tex> a[i] </tex> можно считать фиксированным, а <tex> b[j] </tex> - переменным. Тогда давайте в дополнительной переменной хранить лучший элемент и его индекс в массиве <tex> b </tex>, такой, что этот элемент строго меньше <tex> a[i] </tex> и значение динамики для него максимально. Фактически, это решение отличается от предыдущих только более "хитрой" реализацией.

d[n][m]
prev[m]
'''for''' i = 1...n
best_ind := 0 //позиция "лучшего" элемента в массиве b
best := 0 //значение динамики для "лучшего" элемента
'''for''' j = 1...m
d[i][j] := d[i-1][j] //НОВП на префиксе a[1..i-1] и b[1..j], то есть без элемента a[i]
'''if''' a[i] == b[j] '''and''' d[i-1][j] < best + 1 //можем использовать a[i]-тый элемент для увеличения НОВП
d[i][j] := best + 1
p[j] := best_ind
'''if''' a[i] > b[j] '''and''' d[i-1][j] > best //в момент следующего равенства a[i] = b[j'] нам не придётся бежать циклом в поисках элемента k:
best := d[i-1][j] //b[k] < b[j'] = a[i]. Мы считаем элемент a[i] фиксированным и сравниваем кандидатов с ним
best_ind := j
//восстановление (по массиву b)
b_j := 1 //ищем лучший элемент d[b_i][m] <tex> \rightarrow </tex> max
'''for''' k = 1...m
'''if''' d[n][b_j] < d[n][j]
b_j := j
print(d[n][b_j]) //размер НОВП
pos := b_j //проходим по массиву b, выписывая элементы НОВП
'''while''' pos != 0
print(b[pos])
pos := prev[pos]

== См. также ==

*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]
*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]

== Источники ==

*http://codeforces.ru/contest/10/problem/D Codeforces - Задача о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]

Список заданий по ДМ

2013-11-26T13:27:15Z

194.85.161.36:

<wikitex>
= Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных, 1 семестр =

# Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на A. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на A. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
# Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
# Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
# Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
# Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
# Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
# Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
# Пусть $R$ - транзитивное антисимметричное отношение. Постройте минимальное отношение $S$, такое что $S^+ = R$
# Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
# Является ли пара $\{x\to y, \neg x\}$ базисом?
# Является ли набор $\{x \to y, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ базисом?
# Является ли набор $\{{\mathbf 0}, \langle xyz \rangle, \neg x\}$ базисом?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# Докажите, что любую монотонную самодвойственую функцию можно выразить через медиану
# Докажите, что любую функцию, кроме тождественной единицы, можно записать в [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0 СКНФ]
# Докажите, что любую функцию от $n$ переменных можно представить с использованием стрелки Пирса формулой, длиной не больше чем $2^n\cdot poly(n)$, где $poly(n)$ - полином, общий для всех функций
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и" и "или" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома (в виде 2-КНФ), то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = f(z_1, ..., z_n) = 1$ $\Rightarrow f(\langle x_1, y_1, z_1\rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Крома.
# Докажите, что если булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна, то выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$
# Докажите, что если выполнено следствие: $f(x_1, ..., x_n) = f(y_1, ..., y_n) = 1 \Rightarrow f(x_1\wedge y_1, ..., x_n \wedge y_n) = 1$, то булеву функцию $f$ можно задать в форме Хорна
# Постройте схему из функциональных элементов для операции медиана трех над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Постройте схему из функциональных элементов для операции $x \oplus y \oplus z$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$. Постарайтесь использовать минимальное число элементов.
# Предложите способ построить схему для функции $x_1 \oplus ... \oplus x_n$ над базисом $\{ \vee, \wedge, \neg\}$ с линейным числом элементов.
# Докажите, что не существует схем константной глубины для функций $x_1 \vee ... \vee x_n$, $x_1 \wedge ... \wedge x_n$, $x_1 \oplus ... \oplus x_n$.
# Постройте схему линейного размера для мультиплексора.
# Постройте схему линейного размера для дешифратора.
# Что получится, если в матричном умножителе заменить элементы "and" на элементы "or"?
# Докажите, что для функции "большинство из $2n+1$" существует схема из функциональных элементов глубины $O(\log n)$
# Докажите, что для сложения не существует схемы глубины $O(1)$
# Контактной схемой называется ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание (ребра в контактных схемах называют ''контактами'', а вершины - ''полюсами''). Зафиксируем некоторые значения переменным. Тогда ''замкнутыми'' называются ребра, на которых записана 1, ребра, на которых записан 0, называются ''разомкнутыми''. Зафиксируем две вершины $u$ и $v$. Тогда контактная схема вычисляет некоторую функцию $f$ между вершинами $u$ и $v$, равную 1 на тех наборах переменных, на которых между $u$ и $v$ есть путь по замкнутым ребрам. Постройте контактные схемы для функций "и", "или" и "не".
# Постройте контактную схему для функции "xor".
# Постройте контактную схему для функции медиана трех.
# Докажите, что любую булеву функцию можно представить контактной схемой.
# Постройте контактную схему "xor от $n$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему "большинство из $2n+1$ переменных", содержащую $O(n)$ ребер.
# Постройте контактную схему, в которой для каждого из $2^n$ наборов конъюнкций переменных и их отрицаний есть пара вершин, между которыми реализуется эта конъюнкция, используя $O(2^n)$ ребер
# Докажите, что любую функцию можно представить контактной схемой, содержащей $O(2^n)$ ребер
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 2, ..., 2^{n-1}$ (степени двойки) ?
# Как выглядит дерево Хаффмана для частот символов $1, 1, 2, 3, ..., F_{n-1}$ (числа Фибоначчи)?
# Докажите, что если размер алфавита - степень двойки и частоты никаких двух символов не отличаются в 2 или более раз, то код Хаффмана не лучше кода постоянной длины
# Модифицируйте алгоритм Хаффмана, чтобы строить $k$-ичные префиксные коды
# Укажите, как построить дерево Хаффмана за линейное время, если символы уже отсортированы по частоте
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов с длиной кодового слова не более L бит
# Предложите алгоритм построения оптимального кода среди префиксных кодов, для которых коды символов упорядочены лексикографически
# Предложите способ хранения информации об оптимальном префиксном коде для n-символьного алфавита, использующий не более $2n - 1 + n \lceil\log_2(n)\rceil$ бит ($\lceil x\rceil$ - округление $x$ вверх)
# Можно ли разработать алгоритм, который сжимает любой файл не короче заданной величины $N$ хотя бы на 1 бит?
# Приведите пример однозначно декодируемого кода оптимальной длины, который не является ни префиксным, ни развернутым префиксным
# Для каких префиксных кодов существует строка, для которой он является кодом Хаффмана? Предложите алгоритм построения такой строки.
# Пусть заданы пары $(u_i, v_i)$. Предложите алгоритм проверки, что существует код Хаффмана для некоторой строки, в котором $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц.
# Докажите, что если в коде Хаффмана для некоторой строки $i$-е кодовое слово содержит $u_i$ нулей и $v_i$ единиц, то для многочлена от двух переменных $f(x, y) = \sum_{i=1}^n x^{u_i}y^{v_i}$ выполнено $f(x, y) - 1 = (x + y - 1) g(x, y)$ для некоторого многочлена $g(x, y)$.
# Разработайте алгоритм кодирования Move To Front строки длиной $n$ за $O(n \log n)$
# Докажите, что при оптимальном кодирование с помощью LZ77 не выгодно делать повтор блока, который можно увеличить вправо
# Верно ли утверждение из предыдущего задания при кодировании с помощью L78?
# Разработайте алгоритм оптимального кодирования текста с помощью LZ77, если на символ уходит $c$ бит, а на блок повтора $d$ бит
# Предложите семейство строк $S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots$, где $S_i$ имеет длину $i$, таких, что при их кодировании с помощью LZW длина строки увеличивается. Начальный алфавит $\{0, 1\}$.
# Разработайте алгоритм обратного преобразования Барроуза-Уиллера
# Разработайте алгоритм обратного преобразования Барроуза-Уиллера за O(n)
# Проанализируйте время работы алгоритма арифиметического кодирования
# Докажите, что для любого $c > 1$ существует распределение частот $p_1, p_2, .., p_n$, что арифметическое кодирование в $c$ раз лучше Хаффмана
# При арифметическом кодировании можно учитывать, что с учетом уже потраченных символов соотношения символов становятся другими и отрезок надо делить в другой пропорции. Всегда ли кодирование с таким уточнением лучше классического арифметического кодирования?
# При арифметическом кодировании трудным моментом является деление отрезка в пропорциях, не являющихся степенями двойки. Рассмотрим модификацию арифметического кодирования, когда соотношения между символами приближаются дробями со знаменателями - степенями двойки. Что можно сказать про получившийся алгоритм?
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 2 битов
# Разработайте оптимальный код исправляющий одну ошибку при пересылке 3 битов
# Разработайте код, исправляющий две ошибки, использующий асимптотически не более $2n$ бит для кодирования $2^n$ символьного алфавита (для $n > n_0$)
# Докажите, что в зеркальном коде Грея $g_i = i \oplus \lfloor i / 2\rfloor$
# Докажите, что в зеркальном коде Грея при переходе от $g_i$ к $g_{i+1}$ меняется тот же бит, который меняется с 0 на 1 при переходе от $i$ к $i+1$
# Разработайте код Грея для k-ичных векторов
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз?
# При каких $a_1, a_2, ..., a_n$ существует обход гиперпараллелепипеда $a_1 \times a_2 \times ... \times a_n$, который переходит каждый раз в соседнюю ячейку и бывает в каждой ячейке ровно один раз, а в конце возвращается в исходную ячейку?
# Код "антигрея" - постройте двоичный код, в котором соседние слова отличаются хотя бы в половине бит
# Троичный код "антигрея" - постройте троичный код, в котором соседние слова отличаются во всех позициях
# При каких $n$ и $k$ существует двоичный $n$-битный код, в котором соседние кодовые слова отличаются ровно в $k$ позициях?
# Докажите, что для достаточно больших $n$ существует код Грея, который отличается от любого, полученного из зеркального перестановкой столбцов, отражением и циклическим сдвигом строк
# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Докажите корректность следующего алгоритма построения цепного кода. Начинаем со строки из $n$ нулей. Каждый раз пытаемся жадно приписать 1, если слово из последних $n$ символов уже встречалось раньше, то приписываем 0. Заканчиваем, когда все $2^n$ слов получены.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k = 0$
# Используйте предыдущее задание для альтернативного доказательства формулы включения-исключения: посчитайте для каждого элемента, сколько раз он будет посчитан в правой части формулы.
# Предложите алгоритм получения по перестановке ее таблицы инверсий за $O(n \log n)$.
# Предложите алгоритм получения перестановке по ее таблице инверсий.
# Предложите алгоритм получения перестановки по ее таблице инверсий за $O(n \log n)$.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Чему равно число перестановок с заданным циклическим классом?
# Степенью перестановки $\pi$ называется минимальное $k$, такое что $\pi^k=i$, где $i$ - тождественная перестановка. Как связана степень перестановки с ее циклическим классом?
# Предложите алгоритм поиска перестановки из $n$ элементов с максимальной степенью за $O(n^3)$.
# Максимумом в перестановке называется элемент, который больше своих соседей (одного, если он первый или последний, обоих иначе). Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементами с $k$ максимумами
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками
# Рассмотрим коды Грея для перестановок и коды Грея для их таблиц инверсий. Есть ли между ними связь?
# Сочетание с повторениями - это способ выбрать из $n$ элементов $k$, причем один элемент можно выбирать несколько раз. Порядок не важен. Чему равно число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$?
# Размещение с повторениями - это способ выбрать из $n$ элементов $k$, причем один элемент можно выбирать несколько раз. Порядок выбора важен. Чему равно число размещений с повторениями из $n$ по $k$?
# Докажите, что числа Стирлинга 1 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов базиса возрастающих факториальных степеней к базису обычных степеней
# Докажите, что числа Стирлинга 2 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств
# Докажите, что $n$-е число Каталана равно ${2n \choose n}/(n+1)$
# Двоичное дерево - это подвешенное дерево, где каждая вершина может иметь двух детей: левого и правого. Каждый из них также является двоичным деревом (либо отсутствует). Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно $n$-му числу Каталана.
# Подвешенное дерево с порядком на детях - это подвешенное дерево, где каждая вершина может иметь произвольное число детей, причем дети упорядочены. Каждый ребенок в свою очередь является подвешенным деревом. Докажите, что число подвешенных деревьев порядком на детях с $n$ вершинами равно $n-1$-му числу Каталана.
# Докажите, что число триангуляций правильного $n$-угольника равно $n-2$-му числу Каталана.
# Установите явное взаимно-однозначное соответствие между объектами из предыдущих трех заданий и правильными скобочными последовательностями.
# Разбиение на слагаемые это представление $n$ в виде суммы набора невозрастающих положительных целых чисел. Например, есть 5 разбиений числа 4: $4$, $3+1$, $2+2$, $2+1+1$ и $1+1+1+1$. Укажите способ подсчитать число разбиений числа на слагаемые за $O(n^2)$.
# Укажите способ подсчитать число разбиений числа на слагаемые за $O(n \sqrt{n})$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей подстроке за $O(n^2)$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности за $O(n^3)$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности за $O(n^2)$
# Докажите, что минимальное число невозрастающих подпоследовательностей, на которые можно разбить заданную последовательность, равно длине ее наибольшей возрастающей подпоследовательности
# Решите задачу о наибольшей возрастающей подпоследовательности за $O(n \log n)$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей подпоследовательности-палиндроме
# Рассмотрим задачу: расставить знаки +, * и скобки в выражении таким образом, чтобы его значение было минимальным по модулю. Почему неправильно работает решение на базе ДП, в котором для каждого подотрезка хранится минимальное и максимальное положительное и отрицательное значение, достижимое на этом отрезке?
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей пилообразной подпоследовательности (последовательность называется пилообразной, если никакие ее три подряд идущих элемента не образуют ни возрастающую, ни убывающую последовательность)
# Докажите, что произведение длины наибольшей возрастающей подпоследовательности и наибольшей убывающей подпоследовательности перестановки не меньше $n$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей подпоследовательности-палиндроме
# Будем говорить, что строки a и b образуют пару подстрок строки c, если c можно представить как xaybz, где x, y и z - произвольные строки. Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей паре подстрок.
# Задача о редакционном расстоянии: найдите последовательность действий для превращения строки $s$ в строку $t$ с помощью операций вставки, удаления и замены символа. Длины строк $m$ и $n$, соответственно. Требуется решить задачу за $O(mn)$ с памятью $O(m + n)$.
# Решите задачу о редакционном расстоянии, если помимо операций вставки, удаления и замены символа можно использовать операцию обмена местами двух соседних символов.
# Решите битоническую задачу о комивояжере: найдите во взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса, который удовлетворяет дополнительно следующему свойству: сначала номера посещенных вершин возрастают, а затем убывают.
# Задача о рюкзаке: дано $n$ предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Решите задачу за время $O(nc)$ с памятью $O(c)$.
# Задача о рюкзаке без ограничения на число одинаковых предметов: дано $n$ типов предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Каждого предмета можно брать несколько (любое количество) экземпляров. Решите задачу за время $O(nc)$ с памятью $O(c)$.
# Непрерывная задача о рюкзаке: дано $n$ жидкостей, у каждой жидкости есть доступное количество $w_i$ и стоимость единицы жидкости $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать для каждой жидкости число $0 \le x_i \le w_i$, чтобы суммарной стоимости выбранных жидкостей $\sum x_iv_i$ была максимальна и суммарное объем взятых жидкостей $\sum x_i$ был не более $c$.
# Задача о рюкзаке, большой рюкзак: дано $n$ типов предметов, у предмета $i$-го типа есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, предметов каждого типа можно взять любое количество, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Докажите, что если максимальный вес предмета $z$, то следует взять предметов с максимальным отношением $c_i/w_i$ с суммарным весом хотя бы $c - z^2$.
# Решите задачу о рюкзаке: дано $n$ предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$, время $O(2^{n/2} \cdot poly(n))$, память $O(2^{n/2})$
# Решите задачу: найти в дереве минимальное множество вершин, чтобы расстояние от любой вершины до одной из выбранных было не более $d$
</wikitex>

Представление функции класса DM с помощью медианы

2013-09-17T07:29:38Z

194.85.161.36: Исправлены опечатки

{{Теорема
|statement= Любую монотонную самодвойственную [[Определение булевой функции|булеву функцию]] (self-'''D'''ual, '''M'''onotone) можно представить как некоторую [[Суперпозиции|суперпозицию]] функции медианы(majority function, median operator).
|proof=
Единственная унарная функция из класса DM {{---}} проектор. С помощью медианы её можно выразить так:
<tex> P_1(x) = \langle x, x, x\rangle </tex>.

Бинарных функций из класса DM всего две.
Рассмотрим эти функции :
#<tex> ~f(0,0) < f(1,1)</tex> и <tex> f(0,0) = \lnot f(1,1)</tex>, следовательно, <tex> f(0,0)=0</tex> и <tex> f(1,1)=1 </tex>
#<tex> ~f(0,1) = \lnot f(1,0)</tex>
Из первого и второго пункта видно, что подходят только проректоры {{---}} <tex> P_1,P_2 </tex>

Теперь покажем, как эти функции можно представить с помощью медианы :

<tex> P_1 = \langle x, x, y \rangle, P_2 = \langle x, y, y\rangle</tex>.

Только четыре тернарные функции принадлежат классу DM. Рассмотрим эти функции :

Заметим, что для всех таких функций

<tex> f(0,0,0) < f(1,1,1)</tex> и <tex> f(0,0,0) = \lnot f(1,1,1), </tex> следовательно <tex>, f(0,0,0) = 0 </tex> и <tex> f(1,1,1) = 1 </tex>

#<tex>f(1,0,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(0,1,1) = \lnot f(1,0,0) = 0
\\ f(0,0,1) = f(0,1,0)= 0
\\ f(1,0,1) = f(1,1,0) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_1 </tex>  
#<tex>f(0,1,0)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,0,1) = \lnot f(0,1,0) = 0
\\ f(0,0,1) = f(1,0,0)= 0
\\ f(1,1,0) = f(0,1,1)= 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_2 </tex>  
#<tex>f(0,0,1)= 1 \Rightarrow\left\{\begin{matrix} f(1,1,0) = \lnot f(1,0,0) = 0
\\ f(1,0,0) = f(0,1,0) = 0
\\ f(1,0,1) = f(0,1,1) = 1
\end{matrix}\right.\Rightarrow f=P_3 </tex>
#<tex>f(1,0,0) = f(0,1,0) = f(0,0,1) = 0, </tex> следовательно, <tex> f = \langle x_1,x_2,x_3\rangle </tex>
Покажем как эти функции представляются с помощью медианы :
#<tex> P_1 = \langle x, x, y\rangle </tex>
#<tex> P_2 = \langle x, y, y\rangle </tex>
#<tex> P_3 = \langle x, z, z\rangle </tex>.

Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента :
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
: <tex> f_3(x_3, x_1, \bar x) = f(x_1, x_1, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> :
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = \langle f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x) \rangle </tex>
#Все три аргумента равны : <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.
#Равны два аргумента : <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex> (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 </tex> доказываются аналогично). Тогда :
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая :
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности): <tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> зажато между двумя остальными функциями, то она и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
:::*<tex> x_1 = x_2 = 1, x_3 = 0 </tex>. Доказывается аналогично.

}}
== Ссылки ==
* [http://oeis.org/A001206 Количество монотонных самодвойственных булевых функций от n аргументов].

* [http://math.stackexchange.com/questions/5523/monotone-self-dual-boolean-functions-clone Monotone self-dual boolean functions clone].
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции]]