Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

2018-04-26T13:51:20Z

195.19.247.97: /* Следствие */

[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]

== Теорема Лебега ==
{{Теорема
|author=
Лебег
|about=
о мажорируемой сходимости
|statement=
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность суммируемых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая.

Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

<tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
|proof=
<tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex>, следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> f_{n_k} </tex>.

<tex> |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) </tex>. Устремим <tex> k </tex> к бесконечности, тогда <tex> |f(x)| \le \varphi(x) </tex>.

По определению интеграла, <tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, можно подобрать <tex> A_\varepsilon </tex> — хорошее для <tex> \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu < \varepsilon </tex>.

<tex> \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex>

<tex> \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon </tex> (по выбору <tex> A_\varepsilon </tex>)

<tex> A_{\varepsilon} </tex> — хорошее, следовательно, <tex> \mu A_{\varepsilon} < + \infty </tex>, следовательно,
<tex> |\varphi(x)| \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>.

<tex> |f_n|, |f| </tex> мажорируются <tex> \varphi \le M </tex> на <tex> A_\varepsilon </tex>.

Тем самым, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| </tex> удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, <tex> \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>. Тогда и <tex> \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, что и требовалось доказать.
}}

Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

== Теорема Леви ==
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:
{{Теорема
|author=
Леви
|statement=
Пусть на <tex> E </tex> задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и <tex> f_n(x) \le f_{n+1}(x) </tex>. <tex> f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) </tex> — почти везде конечна на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f </tex>.
|proof=
В силу поточечной монотонности <tex> f_n </tex>, <tex> f </tex>, как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

Если <tex> \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f </tex>, то <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта <tex> f_n </tex>, и, по теореме Лебега, равенство выполняется.

Если же <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>, то для любого <tex> m \in \mathbb N </tex>, по определению интеграла неотрицательной функции, существует <tex> \exists E_m </tex> — хорошее для <tex> f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu </tex>.

<tex> f </tex> ограничена на <tex> E_m </tex>, мера <tex> E_m </tex> — конечна, значит, константа, которой определяется <tex> f </tex>, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для <tex> f_n </tex> и, по теореме Лебега, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f </tex>. Поэтому, начиная с <tex> N, m < \int\limits_{E_m} f_n </tex>.

Но <tex> E_m \subset E, f_n \ge 0 </tex>, и по свойствам интеграла, <tex> \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n </tex> и <tex> m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N </tex>, <tex> m </tex> — произвольное натуральное число, следовательно, <tex> \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f </tex>, что и требовалось доказать.
}}

=== Следствие ===
{{Лемма
|about=
следствие
|statement=
Пусть <tex> u_n(x) \ge 0 </tex> и измеримы на <tex> E </tex>, и <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n </tex> — сходится. Тогда <tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) </tex> сходится почти всюду на <tex> E </tex>.
|proof=
Все интегралы определены (неотрицательные функции). <tex> S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) </tex> с ростом <tex> n </tex> возрастает. Мы хотим установить, что предел <tex> S(x) \rightarrow + \infty </tex> самое большее — на нульмерном множестве.

Пусть <tex> E_1 = E(S(x) = + \infty) </tex> и <tex> \mu E_1 > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty </tex>.

Но к частичным суммам на <tex> E_1 </tex> применима теорема Леви и <tex> \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty </tex>, при этом <tex> \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k </tex>, а эта сумма имеет конечный предел.

Мы пришли к противоречию, значит, <tex> \mu E_1 = 0 </tex>.
}}

== Теорема Фату ==
{{Теорема
|author=
Фату
|statement=
Пусть измеримые <tex> f_n </tex> неотрицательны на <tex> E </tex> и сходятся на <tex> E </tex> по мере к функции <tex> f </tex>. Тогда <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n </tex>.
|proof=
По теореме Рисса выделяем из <tex> f_n </tex> сходящуюся почти всюду подпоследовательность. <tex> f_n </tex> неотрицательна, <tex> f_{n_k} \to f </tex>, следовательно, <tex> f </tex> тоже неотрицательна почти всюду на <tex> E </tex>, интеграл в неравенстве определен. Справа <tex> sup </tex> — не уменьшая общности, можно считать, что <tex> f_n \to f </tex> почти всюду.

Пусть <tex> g_n = \min \{ f, f_n \} </tex> (<tex> g_n </tex> — поточечный минимум);

<tex> g_n </tex> — измерима ( <tex> \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 </tex> )

<tex> g_n \le f_n </tex>. Докажем, что <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n </tex>

<tex> f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) </tex>

<tex> g_n \le f </tex>
Рассмотрим два случая:

а) <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>:

Тогда <tex> f </tex> — суммируемая мажоранта для <tex> g_n </tex>, и по теореме Лебега <tex> \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f </tex>, неравенство выполняется.

б) <tex> \int\limits_E f = + \infty </tex>.

Возьмем любое хорошее <tex> E' </tex> для <tex> f </tex>. <tex> E' </tex> — множество конечной меры, <tex> f </tex> на нем ограничена. <tex> \int\limits_{E'} f < + \infty </tex>. Тогда по уже доказанному, <tex> \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n </tex>.

Интеграл по любому хорошему <tex> E' </tex> для <tex> f </tex> не превосходит этой константы и, переходя к <tex> \sup </tex> по <tex> E </tex>, получаем <tex> \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n </tex>, что и требовалось доказать.
}}

[[Суммируемые функции произвольного знака|<<]][[Пространство L_p(E)|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега