Побитовые операции

2020-03-10T09:09:08Z

195.209.230.212: /* Побитовые сдвиги, поправлены символы операторов */

'''Побитовые операции''' (англ. ''bitwise operations'') — операции, производимые над цепочками битов. Выделяют два типа побитовых операций: [[Определение булевой функции | логические операции]] и побитовые сдвиги.
==Принцип работы==
===Логические побитовые операции===
Битовые операторы И <tex>(AND,\ \&)</tex>, ИЛИ <tex>(OR,\ \mid)</tex>, НЕ <tex>(NOT,\ \sim)</tex> и исключающее ИЛИ <tex>(XOR,\ $\textasciicircum$,\ \oplus)</tex> используют те же таблицы истинности, что и их логические эквиваленты.
====Побитовое И====
Побитовое И используется для выключения битов. Любой бит, установленный в <tex>0</tex>, вызывает установку соответствующего бита результата также в <tex>0</tex>.
{|class="wikitable"
!rowspan=2|&
|-
|11001010 11100010
|-
|||11000010
|}
====Побитовое ИЛИ====
Побитовое ИЛИ используется для включения битов. Любой бит, установленный в <tex>1</tex>, вызывает установку соответствующего бита результата также в <tex>1</tex>.
{|class="wikitable"
!rowspan=2| |
|-
|11001010 11100010
|-
|||11101010
|}
====Побитовое НЕ====
Побитовое НЕ инвертирует состояние каждого бита исходной переменной.
{|class="wikitable"
!rowspan=2| ~
|-
|11001010
|-
|||00110101
|}
====Побитовое исключающее ИЛИ====
Исключающее ИЛИ устанавливает значение бита результата в <tex>1</tex>, если значения в соответствующих битах исходных переменных различны.
{|class="wikitable"
!rowspan=2| ^
|-
|11001010 11100010
|-
|||00101000
|}

===Побитовые сдвиги===
Операторы сдвига <tex><<</tex> и <tex>{>>}</tex> сдвигают биты в переменной влево или вправо на указанное число. При этом на освободившиеся позиции устанавливаются нули (кроме сдвига вправо отрицательного числа, в этом случае на свободные позиции устанавливаются единицы, так как числа представляются в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код #Дополнительный код (дополнение до двух) | двоичном дополнительном коде]] и необходимо поддерживать знаковый бит).

Сдвиг влево может применяться для умножения числа на два, сдвиг вправо — для деления.
<code>
x = 7 // 00000111 (7)
x = x >> 1 // 00000011 (3)
x = x << 1 // 00000110 (6)
x = x << 5 // 11000000 (-64)
x = x >> 2 // 11110000 (-16)
</code>

В языке программирования Java существует также оператор беззнакового битового сдвига вправо <tex>>>></tex>. При использовании этого оператора на освободившиеся позиции всегда устанавливаются нули.

<code>
x = 7 // 00000111 (7)
x = x << 5 // 11100000 (-32)
x = x >>> 2 // 00111000 (56)
</code>

==Применение==
===Сложные операции===
====Определение знака числа====
Пусть дано число <tex>x</tex>. Поскольку при сдвиге вправо на освобождающиеся позиции устанавливается бит знака, знак числа <tex>x</tex> можно определить, выполнив сдвиг вправо на всю длину переменной:
<code>
'''int32''' getSign(x: '''int32'''):
'''if''' x != 0:
mask = 1
'''else''':
mask = 0

'''return''' mask | (x >> 31) // результатом будет -1, 0, или +1
// для отрицательного, равного нулю и положительного числа x соответственно
</code>
Используя побитовые операции можно также узнать, различны ли знаки двух переменных <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Если числа имеют различный знак, то результат операции XOR, произведенной над их знаковыми битами, будет единицей. Поэтому неравенство <tex>(x \oplus y) < 0</tex> будет верно в том случае, если числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> разного знака.

====Вычисление модуля числа без использования условного оператора====
Пусть дано число <tex>x</tex>. Если <tex>x</tex> положительно, то <tex>mask = 0</tex>, и <tex>(x + mask) \oplus mask = x</tex>. В случае, если <tex>x</tex> отрицательно, <tex>mask = -1</tex>. Тогда получается, что мы работаем с числом <tex>x</tex> так, как будто оно представлено в [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код #Код со сдвигом |
коде со сдвигом]] с тем отличием, что у нас знаковый бит принимает значение <tex>1</tex> для отрицательных чисел, а <tex>0</tex> {{---}} для положительных.
<code>
'''int32''' abs1(x: '''int32'''):
mask = x >> 31
'''return''' (x + mask) '''XOR''' mask

'''int32''' abs2(x: '''int32'''):
mask = x >> 31
'''return''' (x + mask) '''XOR''' mask
</code>

====Нахождение минимума и максимума из двух чисел без использования условного оператора====
Этот способ корректен только если можно утверждать, что величина <tex>(x - y)</tex> лежит между граничными значениями типа int.

Пусть даны числа <tex>x</tex> и <tex>y</tex> разрядности <tex>n</tex>. Тогда если <tex>x < y</tex>, то <tex>((x - y) >> (n - 1)) = -1</tex>, а если <tex>x \geqslant y</tex>, то <tex>((x - y) >> (n - 1)) = 0</tex>. Выражение <tex>((x - y) \& ((x - y) >> (n - 1))</tex> принимает значение <tex>0</tex>, если <tex>x \geqslant y</tex>, и <tex>(x - y)</tex>, если <tex>x < y</tex>.
<code>
'''int32''' min(x, y: '''int32'''):
'''return''' y + ((x - y) & ((x - y) >> 31))

'''int32''' max(x, y: '''int32'''):
'''return''' x - ((x - y) & ((x - y) >> 31))
</code>

====Проверка на то, является ли число степенью двойки====
Пусть дано число <tex>x</tex>. Тогда, если результатом выражения <tex>(x\ \&\&\ !(x\ \&\ (x - 1)))</tex> является единица, то число <tex>x</tex> {{---}} степень двойки.

Правая часть выражения <tex>(!(x\ \&\ (x - 1)))</tex> будет равна единице, только если число <tex>x</tex> равно <tex>0</tex> или является степенью двойки. Если число <tex>x</tex> является степенью двойки, то в двоичной системе счисления оно представляется следующим образом: <tex>1\underbrace{0\dots0}_{n}</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} показатель степени. Соответственно, выражение <tex>(x - 1)</tex> будет иметь вид <tex>\underbrace{1\dots1}_{n}</tex>, и <tex>x\ \&\ (x - 1)</tex> равно <tex>0</tex>.

Операция логического И в данном выражении отсекает тот случай, когда <tex>(x = 0)</tex> и не является степенью двойки, но при этом правая часть <tex>(!(x\ \&\ (x - 1)))</tex> равна единице.

====Нахождение младшего единичного бита====
Пусть дано число <tex>x</tex> и необходимо узнать его младший единичный бит.

Применим к числу <tex>x</tex> побитовое отрицание, чтобы инвертировать значения всех его бит, а затем прибавим к полученному числу единицу. У результата первая часть (до младшего единичного бита) не совпадает с исходным числом <tex>x</tex>, а вторая часть совпадает. Применив побитовое И к этим двум числам, получим степень двойки, соответствующую младшему единичному биту исходного числа <tex>(x\ \&\ (\sim x + 1))</tex>.

К такому же результату можно прийти, если сначала отнять от числа <tex>x</tex> единицу, чтобы обнулить его младший единичный бит, а все последующие разряды обратить в <tex>1</tex>, затем инвертировать результат и применить побитовое И с исходным числом <tex>(x\ \&\ \sim (x - 1))</tex>.

====Нахождение старшего единичного бита====
Пусть дано число <tex>x</tex> и необходимо узнать его старший единичный бит.

Рассмотрим некоторое число, представим его как <tex>0\dots01b \dots b</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} любое значение бита. Тогда, если совершить битовый сдвиг этого числа вправо на <tex>1</tex> и произвести побитовое ИЛИ результата сдвига и исходного числа, мы получим результат <tex>0\dots011b \dots b</tex>. Если мы повторим эту последовательность действий над полученным числом, но устроим сдвиг на <tex>2</tex>, то получим <tex>0\dots01111b \dots b</tex>. При каждой следующей операции будем увеличивать модуль сдвига до следующей степени двойки. После некоторого количества таких операций (зависит от разрядности числа) мы получим число вида <tex>0\dots01\dots1</tex>. Тогда результатом выполнения действий <tex>x - (x \texttt{ >> }1)</tex> будет число, состоящее только из старшего бита исходного числа.
<code>
'''int32''' greatestBit(x: '''int32'''):
power = 1
'''for''' i = 1 <tex> \ldots\log_2{32}</tex>:
x |= x >> power
power <<= 1
'''return''' x - (x >> 1)
</code>

====Циклический сдвиг====
Пусть дано число <tex>x</tex> и надо совершить циклический сдвиг его битов на величину <tex>d</tex>.
Желаемый результат можно получить, если объединить числа, полученные при выполнении обычного битового сдвига в желаемую сторону на <tex>d</tex> и в противоположном направлении на разность между разрядностью числа и величиной сдвига. Таким образом, мы сможем поменять местами начальную и конечную части числа.

<code>
'''int32''' rotateLeft(x, d: '''int32'''):
'''return''' (x << d) | (x >>> (32 - d))

'''int32''' rotateRight(x, d: '''int32'''):
'''return''' (x >>> d) | (x << (32 - d))
</code>

====Подсчет количества единичных битов====
Для подсчета количества единичных битов в числе <tex>x</tex> можно воспользоваться следующим алгоритмом:
<code>
// Для чисел других разрядностей необходимо использовать соответствующие константы.
'''int16''' setBitsNumber(x: '''int16'''):
x = x - ((x >>> 1) & 0x5555)
x = (x & 0x3333) + ((x >>> 2) & 0x3333)
x = (x + (x >>> 4)) & 0x0F0F
'''return''' (x * 0x0101) >>> 8
</code>

Поскольку <tex>5555_{16}</tex> равно <tex>01010101 01010101_{2}</tex>, результатом операции <tex>x\ \&\ 5555_{16}</tex> является число, в котором все нечетные биты соответствуют нечетным битам числа <tex>x</tex>. Аналогично, результатом операции <tex>(x\ \texttt{>>>}\ 1)\ \&\ 5555_{16}</tex> является число, в котором все нечетные биты соответствуют четным битам <tex>x</tex>. Четные биты результата в обоих случаях равны нулю.

Мысленно разобьем двоичную запись нашего числа <tex>x</tex> на группы по <tex>2</tex> бита. Результатом операции <tex>x\ \&\ 5555_{16} + (x\ \texttt{>>>}\ 1)\ \&\ 5555_{16}</tex> будет такое число, что если разбить его двоичную запись на группы по два бита, значение каждой группы соответствует количеству единичных битов в соответствующей паре битов числа <tex>x</tex>.

Аналогично, число <tex>3333_{16}</tex> равно <tex>00110011 00110011_{2}</tex> и операция <tex>x = (x\ \&\ 3333_{16}) + (x\ \texttt{>>>}\ 2\ \&\ 3333_{16})</tex>, примененная к результату, полученному на первом этапе, выполняет подсчет количества единичных битов в блоках по <tex>4</tex>. В свою очередь, число <tex>\texttt{0F0F}_{16}</tex> равно <tex>00001111 00001111_{2}</tex> и операция <tex>x = (x\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}) + (x\ \texttt{>>>}\ 4\ \&\ \texttt{0F0F}_{16})</tex> позволяет подсчитать число единичных бит в блоках по <tex>8</tex>.

Теперь необходимо просуммировать числа, записанные в блоках по <tex>8</tex> битов, чтобы получить искомую величину. Это можно сделать, домножив результат на <tex>0101_{16}</tex> <tex>(1 00000001_{2})</tex>. Ответ на задачу будет находиться в первых восьми битах произведения. Выполнив сдвиг вправо на <tex>8</tex> (для шестнадцатибитных чисел), мы получим долгожданный ответ.

Подведем итог:
<code>
'''int16''' setBitsNumber(x: '''int16'''):
x = (x & 0x5555) + ((x >>> 1) & 0x5555)
x = (x & 0x3333) + ((x >>> 2) & 0x3333)
x = (x & 0x0F0F) + ((x >>> 4) & 0x0F0F)
'''return''' (x * 0x0101) >>> 8
</code>

Заметим, что операция <tex>x\ \&\ 55_{16} + (x\ \texttt{>>>}\ 1)\ \&\ 55_{16}</tex> равносильна операции <tex>x - (x\ \texttt{>>>}\ 1)\ \&\ 55_{16}</tex>, в чем легко убедиться, рассмотрев все числа из двух бит.

В свою очередь, операцию <tex>(x\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}) + ((x\ \texttt{>>>}\ 4)\ \&\ \texttt{0F0F}_{16})</tex> можно заменить на <tex>(x + (x\ \texttt{>>>}\ 4))\ \&\ \texttt{0F0F}_{16}</tex>. Эта замена не повлияет на результат, так как максимальное значение в любой группе из четырех битов данного числа равно четырем, то есть требует только трех битов для записи, и выполнение суммирования не повлечет за собой переполнения и выхода за пределы четверок.

Таким образом, мы получили код, приведенный в начале раздела.

====Разворот битов====
Чтобы получить биты числа <tex>x</tex>, записанные в обратном порядке, применим следующий алгоритм.
<code>
// Для чисел других разрядностей нужны соответствующие константы.
'''int16''' reverseBits(x: '''int16'''):
x = ((x & 0x5555) << 1) | ((x >>> 1) & 0x5555) // Четные и нечетные биты поменялись местами.
x = ((x & 0x3333) << 2) | ((x >>> 2) & 0x3333) // Биты "перетасовываются" группами по два.
x = ((x & 0x0F0F) << 4) | ((x >>> 4) & 0x0F0F) // Биты "перетасовываются" группами по четыре.
x = ((x & 0x00FF) << 8) | ((x >>> 8) & 0x00FF) // Биты "перетасовываются" группами по восемь.
'''return''' x
</code>

Более подробно про то, что за константы выбраны для данного алгоритма, можно прочитать в разделе [[Побитовые_операции#Подсчет_количества_единичных_битов | подсчет количества единичных битов]].

===Применение для решения задач===
====Работа с битовыми масками====
Для работы с подмножествами удобно использовать битовые маски. Применяя побитовые операции легко сделать следующее: найти дополнение <tex>(\sim mask)</tex>, пересечение <tex>(mask_1\ \&\ mask_2)</tex>, объединение <tex>(mask_1 \mid mask_2)</tex> множеств, установить бит по номеру <tex>(mask \mid (1\ \texttt{<<}\ x))</tex>, снять бит по номеру <tex>(mask\ \&\ \sim(1\ \texttt{<<}\ x))</tex>.

Битовые маски используются, например, при решении некоторых задач<ref>[[Гамильтоновы графы #Задача о коммивояжере| Динамическое программирование по подмножествам (по маскам)]]</ref> [[Динамическое программирование | динамического программирования]].

====Алгоритм Флойда====
{{main|Алгоритм Флойда}}
'''Алгоритм Флойда–Уоршелла''' (англ. ''the Floyd–Warshall algorithm'') {{---}} алгоритм для нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а если же такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл. Асимптотическая сложность алгоритма <tex> \Theta(n^3) </tex>, также требует <tex> \Theta(n^2) </tex> памяти.

====Дерево Фенвика====
{{main|Дерево Фенвика}}
'''Дерево Фенвика''' (англ. ''Binary indexed tree'') {{---}} структура данных, которая может выполнять следующие операции:
* изменять значение любого элемента в массиве,
* выполнять некоторую [[Ассоциативная_операция |ассоциативную]], [[Абелева_группа |коммутативную]], [[Группа |обратимую операцию]] <tex> \circ </tex> на отрезке <tex> [i, j] </tex>.

Данная структура требует <tex> O(n) </tex> памяти, а выполнение каждой операции происходит за <tex> O(\log n) </tex> .

Функция, позволяющая делать операции вставки и изменения элемента за <tex> O(\log n) </tex>, задается следующей формулой <tex> F(i) = (i \And (i + 1)) </tex>.
Пусть дан массив <tex> A = [a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1}]</tex>. Деревом Фенвика называется массив <tex> T </tex> из <tex> n </tex> элементов: <tex> T_i = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} a_k</tex>, где <tex> i = 0\ldots n - 1 </tex> и <tex> F(i) </tex> — функция, которую мы определили ранее.

==См. также==
* [[Определение булевой функции]]
* [[Сумматор]]
* [[Триггеры]]

==Примечания==
<references/>

==Источники информации==
* [http://www.c-cpp.ru/books/bitovye-operatory Онлайн справочник программиста на С и С++]
* [http://developer.alexanderklimov.ru/android/java/bitwise.php Побитовые операторы]
* [https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html Bit Twiddling Hacks by Sean Eron Anderson]
* [https://habrahabr.ru/post/93172/ Habrahabr {{---}} Алгоритмы поиска старшего бита]
* [https://yesteapea.wordpress.com/2013/03/03/counting-the-number-of-set-bits-in-an-integer/ STP's blog {{---}} Counting the number of set bits in an integer]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Побитовые операции