Список

2015-10-21T18:06:35Z

213.222.232.86: /* Поиск цикла в списке */ repeat until, в отличие от do while продолжает работу при ложности условия

'''Связный список''' (англ. ''List'') {{---}} структура данных, состоящая из элементов, содержащих помимо собственных данных ссылки на следующий и/или предыдущий элемент списка. С помощью списков можно реализовать такие структуры данных как [[стек]] и [[очередь]].

__TOC__
==Односвязный список ==
Простейшая реализация списка. В узлах хранятся данные и указатель на следующий элемент в списке.
[[Файл:simpleSpisok.png|center|400px]]
==Двусвязный список ==
Также хранится указатель на предыдущий элемент списка, благодаря чему становится проще удалять и переставлять элементы.
[[Файл:twiceSpisok.png|center|400px]]
===XOR-связный список ===
В некоторых случаях использование двусвязного списка в явном виде является нецелесообразным. В целях экономии памяти можно хранить только результат выполнения операции Xor над адресами предыдущего и следующего элементов списка. Таким образом, зная адрес предыдущего элемента, мы можем вычислить адрес следующего элемента.
==Циклический список==
Первый элемент является следующим для последнего элемента списка.
[[Файл:circleSpisok.png|center|450px]]
==Операции на списке==
Рассмотрим базовые операции на примере односвязного списка.
===Вставка===
Очевиден случай, когда необходимо добавить элемент (<tex>newHead</tex>) в голову списка. Установим в этом элементе ссылку на старую голову, и обновим указатель на голову.

'''function''' insert(Node thatElement):
thatElement.next = thisElement.next
thisElement.next = thatElement
[[Файл:insertAfter.png|center|490px]]

===Поиск===
Для того, чтобы найти элемент по значению (<tex>value</tex>), будем двигаться по списку от головы до конца и сравнивать значение в элементах с искомым. Если элемента в списке нет, то возвращаем <tex>NULL</tex>.
Node search('''int''' value):
node = head
'''while''' node != ''NULL'' '''and''' value != node.value
node = node.next
'''return''' node

===Удаление===
Для того, чтобы удалить голову списка, переназначим указатель на голову на второй элемент списка, а голову удалим.
'''function''' removeHead():
'''if''' head != ''NULL''
tmp = head
head = head.next
'''delete''' tmp
[[Файл:removeHead.png|center|430px]]
Удаление элемента после заданного (<tex>thisElement</tex>) происходит следующим образом: изменим ссылку на следующий элемент на следующий за удаляемым, затем удалим нужный объект.
'''function''' removeAfter(Node thisElement):
'''if''' thisElement.next != ''NULL''
tmp = thisElement.next
thisElement.next = thisElement.next.next
'''delete''' tmp
[[Файл:removeAfter.png|center|550px]]

==Поиск цикла в списке==
Для начала необходимо уметь определять {{---}} список циклический или нет. Воспользуемся алгоритмом Флойда "Черепаха и заяц". Пусть за одну итерацию первый указатель (черепаха) переходит к следующему элементу списка, а второй указатель (заяц) на два элемента вперед. Тогда, если эти два указателя встретятся, то цикл найден, если дошли до конца списка, то цикла нет.
'''boolean''' hasCycle(Node head):
tortoise = head
hare = head
'''repeat'''
'''if''' hare == ''NULL'' '''or''' hare.next == ''NULL''
'''return''' ''false''
tortoise = tortoise.next
hare = hare.next.next
'''until''' tortoise == hare
'''return''' ''true''
Если цикла не существует, то заяц первым дойдет до конца и функция возвратит <tex>false</tex>. В другом случае, в тот момент, когда и черепаха и заяц находятся в цикле, расстояние между ними будет сокращаться на <tex>1</tex>, что гарантирует их встречу за конечное время.

==Поиск длины хвоста в списке с циклом==
Так как для поиска хвоста мы должны знать, что цикл существует, воспользуемся предыдущей функцией и при выходе из неё запомним "момент встречи" зайца и черепахи. Назовем её <tex>pointMeeting</tex>.
===Наивные реализации===
====Реализация за <tex>O(n^2)</tex>====
Будем последовательно идти от начала цикла и проверять, лежит ли этот элемент на цикле. На каждой итерации запустим от <tex>pointMeeting</tex> вперёд указатель. Если он окажется в текущем элементе, прежде чем посетит <tex>pointMeeting</tex> снова, то точку окончания (начала) хвоста нашли.

====Реализация за <tex>O(n \log n)</tex>====
Реализацию, приведенную выше можно улучшить. Для этого воспользуемся [[Целочисленный_двоичный_поиск | бинарным поиском]]. Сначала проверим голову списка, потом сделаем <tex> 2 </tex> шага вперёд, потом <tex> 4 </tex>, потом <tex> 8 </tex> и так далее, пока не окажемся на цикле. Теперь у нас есть две позиции {{---}} на левой границе, где мы в хвосте, и на правой {{---}} в цикле. Сделаем бинарный поиск уже по этому отрезку и таким образом найдём цикл за <tex>O(n \log n)</tex>.

===Эффективная реализация===
Возможны два варианта цикла в списке. Первый вариант {{---}} сам список циклический (указатель <tex>next</tex> последнего элемента равен первому), а второй вариант {{---}} цикл внутри списка (указатель <tex>next</tex> последнего элемента равен любому другому (не первому). В первом случае найти длину цикла тривиально, во второй случай сводится к первому, если найти указатель на начало цикла. Достаточно запустить один указатель из <tex>pointMeeting</tex>, а другой из головы с одной скоростью. Элемент, где оба указателя встретятся, будет началом цикла. Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>.
Ниже приведена функция, которая находит эту точку, а возвращает длину хвоста списка.
'''int''' getTail(Node head, Node pointMeeting):
firstElement = head.next
secondElement = pointMeeting.next
lengthTail = 1
'''while''' firstElement != secondElement
firstElement = firstElement.next
secondElement = secondElement.next
lengthTail = lenghtTail + 1
'''return''' lengthTail
====Доказательство корректности алгоритма====
Рассмотрим цикл длиной <tex>N</tex> с хвостом длины <tex>L</tex>. Напишем функции для обоих указателей в зависимости от шага <tex>n</tex>. Очевидно, что встреча не может произойти при <tex>n \leqslant L</tex>, так как в этом случае <tex>2n>n</tex> для любого <tex>n>0</tex>. Тогда положения указателей зададутся следующими функциями (при <tex>n>L</tex>):

<tex>f_1(n) = L + (n-L) \bmod N</tex>

<tex>f_2(n) = L + (2n-L) \bmod N</tex>

Приравнивая, получим <tex>n \bmod N = 0</tex>, или <tex>n = k N, n > L</tex>.
Пусть <tex>H</tex> {{---}} голова списка, <tex>X</tex> {{---}} точка встречи, <tex>A</tex> {{---}} первый элемент цикла, <tex>Q</tex> {{---}} расстояние от <tex>X</tex> до <tex>A</tex>. Тогда в точку <tex>A</tex> можно прийти двумя путями: из <tex>H</tex> в <tex>A</tex> длиной <tex>L</tex> и из <tex>H</tex> через <tex>X</tex> в <tex>A</tex> длиной <tex>L + N = X + Q</tex>, то есть:

<tex>Q = L + N - X</tex>, но так как <tex>X = kN</tex>

<tex>Q = L + (1-k) N</tex>

Пусть <tex>L = p N + M, 0 \leqslant M < N</tex>

Известно, что

<tex>L < k N \leqslant L + N</tex>

<tex>pN + M < kN \leqslant (p+1)N + M</tex> откуда <tex>k = p + 1</tex>

Подставив полученные значения, получим:
<tex>Q = pN + M + (1 - p - 1)N = M = L \bmod N</tex>, откуда следует, что если запустить указатели с одной скоростью из <tex>H</tex> и <tex>X</tex>, то они встретятся через <tex>L</tex> шагов в точке <tex>A</tex>. К этому времени вышедший из <tex>H</tex> пройдёт ровно <tex>L</tex> шагов и остановится в <tex>A</tex>, вышедший из <tex>X</tex> накрутит по циклу <tex>[L/N]</tex> шагов и пройдёт ещё <tex>Q = L \bmod N</tex> шагов. Поскольку <tex>L = [L/N] + L \bmod N</tex>, то они встретятся как раз в точке <tex>A</tex>.

==Задача про обращение списка==
Для того, чтобы обратить список, необходимо пройти по всем элементам этого списка, и все указатели на следующий элемент заменить на предыдущий.
Эта рекурсивная функция принимает указатель на голову списка и предыдущий элемент (при запуске указывать <tex>NULL</tex>), а возвращает указатель на новую голову списка.

Node reverse(Node current, Node prev):
'''if''' current == ''NULL''
'''return''' prev
next = current.next
current.next = prev
'''return''' reverse(next, current)

Алгоритм корректен, поскольку значения элементов в списке не изменяются, а все указатели <tex>next</tex> изменят свое направление, не нарушив связности самого списка.

==См.также==
* [[Динамический массив]]

==Источники информации==
* [[wikipedia:Linked_list | Wikipedia {{---}} Linked list]]
* [[wikipedia:ru:Список_(информатика) | Википедия {{---}} Список]]
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: «Вильямс», 2007. {{---}} Глава 11.2. {{---}} ISBN 5-8489-0857-4
* Дональд Э. Кнут Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы {{---}} 2-е изд. {{---}} М.: «Вильямс», 2012. {{---}} Глава 2.2. {{---}} ISBN 0-201-89685-0

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Амортизационный анализ]]
[[Категория: Структуры данных]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Список