Формула Эйлера

2016-06-25T11:25:15Z

213.87.146.14: /* Двумерный случай */

==Двумерный случай==
{{Теорема
|about=
формула Эйлера
|statement=
Для произвольного [[Укладка графа на плоскости|плоского]] связного графа <tex>G</tex> с <tex>V</tex> вершинами, <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> [[Укладка графа на плоскости|гранями]] справедливо следующее соотношение:
 <tex>V - E + F = 2</tex>
|proof=

Воспользуемся методом математической индукции по количеству граней графа.
 
'''База индукции''': 
<tex>F = 2</tex>. Граф <tex>G</tex> представляет собой многоугольник с <tex>n</tex> вершинами (рис. 1). Тогда <tex>V = E = n</tex>, значит, равенство <tex>V - E + F = 2</tex> выполняется.
 
'''Индукционный переход''':
 
Покажем, что если теорема верна для графов с <tex>F</tex> гранями, то она будет верна и для графов с <tex>F + 1</tex> гранями. Пусть <tex>G</tex> {{---}} плоский граф, имеющий <tex>V</tex> вершин, <tex>E</tex> ребер и <tex>F</tex> граней, и для него справедлива формула Эйлера. Добавим новую грань (пунктирная линия на рис.2), проводя по внешней грани <tex>F_{\infty}</tex> некоторую элементарную цепь, соединяющую две вершины максимального цикла графа <tex>G</tex>. Если эта цепь имеет <tex>r</tex> ребер, то необходимо добавить <tex>r - 1</tex> новых вершин и одну новую грань. Ясно, что формула Эйлера останется справедливой и для нового графа, так как <tex>V' - E' + F' = (V + r - 1) - (E + r) + (F + 1) = V - E + F = 2</tex>
}}

{|align="center"
|-valign="top"
|[[Файл:Eulerformul1.png|300px|thumb|рис. 1]]
|[[Файл:Eulerformul2.png|300px|thumb|рис. 2]]
|}

{{Теорема
|id=EulerFormulaCons
|about=
следствие из формулы Эйлера
|statement=
Пусть <tex>G</tex> связный [[Укладка графа на плоскости|планарный]] обыкновенный граф с <tex>V</tex> вершинами (<tex>V \geqslant 3</tex>), <tex>E</tex> ребрами и <tex>F</tex> гранями. Тогда <tex>E \leqslant 3V - 6</tex>
|proof=
Поскольку <tex>G</tex> не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль <tex>i</tex>-й грани мы пройдем <tex>l_i</tex> ребер. Очевидно, что <tex>\sum \limits_{i=1}^{F}l_i = 2E</tex>. Поскольку <tex>l_i \geqslant 3 \hspace{3pt} (i = 1..F)</tex>, получаем <tex>3F \leqslant 2E</tex>. Из формулы Эйлера <tex>3E - 3V + 6 = 3F \leqslant 2E</tex>, то есть <tex>E \leqslant 3V - 6</tex>.
}}

==Трехмерный случай==

Покажем, что в трехмерном случае так же имеет место формула Эйлера.

{{Теорема
|about=
формула Эйлера для многогранников
|statement=
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство <tex>V - E + F = 2</tex>, где <tex>V</tex> {{---}} число вершин, <tex>E</tex> {{---}} число ребер и <tex>F</tex> {{---}} число граней данного многогранника.
|proof=
[[Файл:Hypercube.gif|350px|thumb|right|Пример невыпуклого многоугольника для которого <tex dpi = 100>V - E + F = 0</tex>. Многоугольник получен путем вырезания куба внутри куба.]]
Для доказательства соотношения Эйлера представим поверхность выпуклого многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим планарный граф, содержащий <tex>F' = F - 1</tex> внутренних граней, <tex>V</tex> вершин и <tex>E</tex> ребер.

Тогда справедливо уже доказанное соотношение: <tex>V - E + F ' = 1 </tex>.

Подставляем <tex>F' = F - 1</tex> и получаем <tex>V - E + F = 2</tex>.
}}

{{Теорема
|about=
следствие из формулы Эйлера для многогранников
|statement=
В любом выпуклом многограннике имеется или треугольная грань, или трехгранный угол. Более того, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.
|proof=
Обозначим через <tex>V_{i}</tex> число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа вершин <tex>V</tex> имеет место равенство <tex>V = V_{3} + V_{4} + V_{5} + \dots</tex>

Аналогично, обозначим через <tex>F_{i}</tex> число граней выпуклого многогранника, у которых имеется <tex>i</tex> ребер. Тогда для общего числа граней <tex>F</tex> имеет место равенство <tex>F = F_{3} + F_{4} + F_{5} + \dots</tex>

Посчитаем число ребер <tex>E</tex> многогранника. Имеем: <tex>3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots = 2E</tex>, <tex>3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots = 2E</tex>.

По теореме Эйлера выполняется равенство <tex>4V - 4E + 4F = 8</tex>. Подставляя вместо <tex>V</tex>, <tex>E</tex> и <tex>F</tex> их выражения, получим:

<tex>4V_{3} + 4V_{4} + 4V_{5} + \dots - (3V_{3} + 4V_{4} + 5V_{5} + \dots) - (3F_{3} + 4F_{4} + 5F_{5} + \dots) + 4F_{3} + 4F_{4} + 4F_{5} + \dots = 8</tex>.
Следовательно, <tex>V_{3} + F_{3} = 8 + V_{5} + \dots + F_{5} + \dots </tex>, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.}}

==Источники информации==
* Асанов М,, Баранский В., Расин В. {{---}} Дискретная математика {{---}} Графы, матроиды, алгоритмы (стр. 104-107)
* О.Оре {{---}} Графы и их применение (стр. 131-135)
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2 Википедия {{---}} Теорема Эйлера для многоугольников]
* [http://www.geometry2006.narod.ru/Lecture/Mnogogr/Mnogogr.htm Выпуклые многогранники]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Укладки графов ]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Формула Эйлера