Сортировка слиянием

2015-05-25T19:46:03Z

217.66.152.0:

'''Сортировка слиянием''' (англ. ''Merge sort'') {{---}} алгоритм сортировки, предложенный Джоном фон Нейманом в 1945 году.

Это устойчивый алгоритм, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающий за <tex>O(n</tex> <tex>\log n)</tex> времени.

==Принцип работы==
[[Файл:Merging_two_arrays.png|270px|right|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]
Алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, которые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для получения решения исходной задачи. Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:

# Если в рассматриваемом массиве один элемент, то он уже отсортирован {{---}} алгоритм завершает работу.
# Иначе массив разбивается на две части, которые сортируются рекурсивно.
# После сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.

===Слияние двух массивов===
У нас есть два массива <tex>a</tex> и <tex>b</tex> (фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, что у нас просто два массива). Нам надо получить массив <tex>c</tex> размером <tex>|a| + |b|</tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (начиная с начала) и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив. После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.

Множество отсортированных списков с операцией <tex>\mathrm{merge}</tex> является [[Моноид|моноидом]], где нейтральным элементом будет пустой список.

Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива <tex>a</tex> {{---}} <tex>[left; mid)</tex> и <tex>[mid; right)</tex>

'''function''' merge(a : '''int[n]'''; left, mid, right : '''int'''):
it1 = 0
it2 = 0
result : '''int[right - left]'''

'''while''' left + it1 < mid '''and''' mid + it2 < right
'''if''' a[left + it1] < a[mid + it2]
result[it1 + it2] = a[left + it1]
it1 += 1
'''else'''
result[it1 + it2] = a[mid + it2]
it2 += 1

'''while''' left + it1 < mid
result[it1 + it2] = a[left + it1]
it1 += 1

'''while''' mid + it2 < right
result[it1 + it2] = a[mid + it2]
it2 += 1

'''for''' i = 0 '''to''' it1 + it2
a[left + i] = result[i]

===Рекурсивный алгоритм===
[[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием]]
Функция сортирует подотрезок массива с индексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.
<code style="display: inline-block">
'''function''' mergeSortRecursive(a : '''int[n]'''; left, right : '''int'''):
'''if''' left + 1 >= right
'''return'''
mid = (left + right) / 2
mergeSortRecursive(a, left, mid)
mergeSortRecursive(a, mid, right)
merge(a, left, mid, right)
</code>
===Итеративный алгоритм===
[[Файл:Merge sort itearative.png|300px|right|thumb|Пример работы итеративного алгоритма сортировки слиянием]]
При итеративном алгоритме используется на <tex>O(\log n)</tex> меньше памяти, которая раньше тратилась на рекурсивные вызовы.
<code style="display: inline-block">
'''function''' mergeSortIterative(a : '''int[n]'''):
'''for''' i = 1 '''to''' n, i *= 2
'''for''' j = 0 '''to''' n - i, j += 2 * i
merge(a, j, j + i, min(j + 2 * i, n))
</code>

==Время работы==
Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <tex>T(n)</tex> {{---}} время сортировки массива длины <tex>n</tex>, тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>
<tex>O(n)</tex> {{---}} время, необходимое на то, чтобы слить два массива. Распишем это соотношение:

<tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)=4T(n/4)+2O(n)=\dots=2^kT(1)+kO(n)</tex>.

Осталось оценить <tex>k</tex>. Мы знаем, что <tex>2^k=n</tex>, а значит <tex>k=\log n</tex>. Уравнение примет вид <tex>T(n)=nT(1)+ \log n</tex> <tex>O(n)</tex>. Так как <tex>T(1)</tex> {{---}} константа, то <tex>T(n)=O(n)+\log n </tex> <tex>O(n)=O(n\log n)</tex>.

==Сравнение с другими алгоритмами==
===Достоинства===
* Устойчивая,
* Сортировка связанных списков,
* Быстрая сортировка больших файлов из-за того, что память "любит" работать с последовательными данными.
===Недостатки===
* При любых входных данных время работы {{---}} <tex>O(n\log{n})</tex>,
* требуется дополнительно <tex>O(n)</tex> памяти, но можно модифицировать до <tex>O(1)</tex>.

==См. также==
* [[Сортировка кучей]]
* [[Быстрая сортировка]]
* [[Timsort]]
*[[Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти]]

==Источники информации==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Mergesort Википедия {{---}} сортировка слиянием]
*[http://www.sorting-algorithms.com/merge-sort Визуализатор]
*[http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC Викиучебник {{---}} Примеры реализации на различных языках программирования]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Сортировки]]
[[Категория: Сортировки на сравнениях]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Сортировка слиянием