Об интеграле Фурье

2012-06-23T01:03:40Z

217.66.152.130:

{{В разработке}}

Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор {{---}} нелинейный, то это {{---}} мрак полный. Живите линейно!

Ряд Фурье имеет дело с <tex>2\pi</tex>-периодической суммируемой на <tex>Q</tex> функцией.

Пусть <tex>f</tex> задана на всём <tex>\mathbb{R}</tex> и <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} |f| < +\infty</tex>. Можно ли писать аналог ряда Фурье?

С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.

<tex>a_n(f) = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx dx</tex> {{---}} существует для любого <tex>n</tex>, не только <tex>n \in \mathbb{N}</tex>

{{Определение
|definition=
<tex>a_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos zt dt</tex> {{---}} косинусное преобразование <tex>f</tex>
<tex>b_n(f, z) \ \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin zt dt</tex> {{---}} синусное преобразование <tex>f</tex>
}}

Выпишем ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^\infty A_n(f, z)</tex>, где <tex>A_n (f, x) = a_n \cos nx + b_n \sin nx</tex>

Предложение: <tex>\int\limits_0^{+\infty} (a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx) dz</tex>. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана {{---}} как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.

Этому можно придать более удобную форму:

<tex>a(f, z) \cos zx + b(f, z) \sin zx = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) [\cos zt \cdot \cos zx + \sin zt \cdot \sin zx] dt = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt</tex>

<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz</tex> {{---}} интеграл Фурье

Далее мы установим, что выполняется знаменитая интегральная формула Фурье:
{{Утверждение
|statement=<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x - t) dt \right) dz = \frac{f(x+0)+f(x-0}2</tex>
|proof=
<tex>\frac1\pi \int\limits_0^{+\infty} \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t)\cos z(x-t) dt \right) dz</tex>
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_0^A \frac1\pi \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz = I</tex>

Применим теорему Фубини: <tex>g(A) = \int\limits_0^A \left(\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \cos z(x-t)dt \right) dz</tex> {{---}} частный случай интеграла Фурье.

<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} \left(\int\limits_0^A f(t) \cos z(x-t) dz \right) dt</tex>
<tex>= \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \left( \int\limits_0^A \cos z(x-t) dz\right) dt = I</tex>

Заменим: <tex>\int\limits_0^A \cos z(x-t) dz = \left. \frac{\sin z(x-t)}{x-t} \right|_0^A = \frac{\sin A(x-t)}{x-t}</tex>

<tex>I = \lim\limits_{A\to\infty} \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \frac{\sin A(x-t)}{x-t} = I</tex>

Сделаем замену переменной: <tex>u=t-x</tex>

<tex>I(A) = \frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}} f(x+u) \frac{\sin Au}u du</tex> {{---}} аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье.

Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси:

<tex>I(A) = \frac1\pi \left(\int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{+\infty}\right)</tex> <tex>=\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} (f(x+t) + f(x-t))\frac{\sin At}t dt</tex>

<tex>\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin t}t dt = \frac\pi2</tex> {{---}} интеграл Дирихле.
<tex>\int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_{\mathbb{R}_+} \frac{\sin At}{At} d(At) = \frac\pi2</tex>

<tex>\frac1\pi \int\limits_{\mathbb{R}_+} 2s \frac{\sin t}t dt = s</tex>

<tex>I(A) - s = \frac1\pi\int\limits_{\mathbb{R}_+} [f(x+t)+f(x-t)-2s]\frac{\sin At}t dt</tex> {{---}} основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке.

Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.

Предположим, что для некоторого <tex>\Delta</tex>: <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|f(x+t)+f(x-t)-2s|}t dt = \int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>. Возьмём <tex>\delta \in (0; \Delta)</tex>.

Рассмотрим <tex>|I(A)-s|=\frac1\pi \left|\int\limits_0^\delta + \int\limits_\delta^{+\infty}\right|</tex>
<tex>\le \frac1\pi\left(\int\limits_0^\delta\frac{|\varphi_x(t)|}{t}dt+ \left|\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}{t} dt\right| \right)</tex>

Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < +\infty</tex>, то <tex>\forall\varepsilon>0 \exists\delta\in(0;\Delta) : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}t dt < \varepsilon</tex>

Далее считаем, что <tex>\delta</tex> уже такое и заметим, что оно выбрано вне зависимости от <tex>A</tex>. Значит,

<tex>|I(A)-s| \le \frac1\pi\left( \varepsilon + \int\limits_\delta^{+\infty}\varphi_x(t)\frac{\sin At}t dt\right)</tex>

<tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}t dt = \int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{At} d(At) = \int\limits_{\delta A}^{+\infty} \frac{\sin t}t dt</tex>, что, при <tex>A\to+\infty</tex>, стремится к <tex>0</tex>.

Значит, при <tex>A\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \frac{\sin At}{t} dt \to 0</tex>

В рядах Фурье была лемма Римана-Лебега, там было не принципиально, что было подставлены <tex>2\pi</tex>-периодические функции. Лемма верна и в общем случае:
<tex>f</tex> {{---}} суммируема на оси <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{\mathbb{R}} f(t) \sin pt dt \to_{p\to\infty}0</tex>

Тогда рассмотрим первый из интегралов: <tex>\int\limits_0^{+\infty} \frac{f(x+t)+f(x-t)}t \sin At dt</tex> и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right| \le \frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> и <tex>f</tex> {{---}} суммируема.

Тогда <tex>\frac{|f(x+t)| + |f(x-t)|}{\delta}</tex> {{---}} суммируемая, а значит, и <tex>\left| \frac{f(x+t)+f(x-t)}{t}\right|</tex> {{---}} суммируемая. Возвращаясь к интегралу, по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\to_{A\to\infty} 0</tex>

Итак, собирая всё вместе, <tex>\int\limits_\delta^{+\infty} \varphi_x(t) \frac{\sin At}t dt \to_{A\to+\infty} 0</tex>

Значит, для <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\exists A_0 : \forall A > A_0 : \left|\int\limits_\delta^{+\infty}\right| < \varepsilon</tex>

Принимая это во внимание в оценке отклонения <tex>|I(A) - s| \le \frac2\pi \varepsilon</tex>, получается, что <tex>s = \lim\limits_{A\to+\infty} I(A)</tex>, или, <tex>s = \frac1\pi\int\limits_0^{+\infty}\left(\int\limits_{\mathbb{R}}f(t)\cos z(x-t) dt\right)dz</tex> в условиях, когда <tex>\int\limits_0^\Delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt <+\infty</tex>

В частности, если, как и в рядах Фурье, в точке <tex>x</tex> существуют односторонние пределы, что если <tex>s=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>, то для этого <tex>s</tex> условия Дини выполняются, что и доказывает эту теорему.
}}

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Об интеграле Фурье