Алгоритм построения базы в объединении матроидов

2018-12-28T11:07:31Z

217.66.156.244:

{{Задача
|definition=
Даны [[Определение матроида|матроиды]] <tex>M_1 = (S, \mathcal{I}_1), \ldots ,(S, \mathcal{I}_k)</tex>. Необходимо найти максимальное по мощности [[Определение матроида#def_matroid|независимое множество]] в объединении <tex>M_1\ldots M_k</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
'''Объединение матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M = (S,\mathcal{I}) = \bigcup\limits_{k=1}^{n}</tex> <tex>M_i</tex>, где <tex>M_i = (S,\mathcal{I}_i)</tex>
}}

== Алгоритм ==

Эта задача [[Объединение матроидов, проверка множества на независимость#Проверка множества на независимость| сводится к пересечению матроидов]], однако есть другой способ её решить.
Пусть <tex>I_i \in \mathcal{I}_i</tex>, для <tex>i = 1\ldots k</tex> с <tex>I_i \cap I_j = \emptyset</tex>, если <tex>i \neq j</tex>. Определим [[Граф замен|граф замен]]: для каждого <tex>M_i</tex> построим [[Основные определения теории графов#defBiparateGraph|двудольный ориентированный граф]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> так, что в левой доле находятся вершины из <tex>I_i</tex>, а в правой — вершины из <tex>S \setminus I_i</tex>. Построим ориентированные ребра из <tex>y \in I_i</tex> в <tex>x \in S \setminus I_i</tex>, при условии, что <tex>(I_i \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}_i</tex>.

Объединим все <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> в один граф <tex>D</tex>, который будет суперпозицией ребер из этих графов. Пусть для каждого <tex>i:</tex> <tex>F_i</tex> {{---}} множество элементов <tex>s \notin I_i</tex> с <tex>I_i \cup {s} \in \mathcal{I}_i</tex>. Определим <tex>I = I_1 \cup \ldots \cup I_k</tex>, <tex>F = F_1 \cup \ldots \cup F_k</tex> и <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>.

Нам известно, что объединение матроидов — матроид. При поиске базы матроида используется жадный алгоритм. На каждом шаге мы выбираем элемент не из текущего множества в новом графе замен <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> ([[Алгоритм построения базы в объединении матроидов#th_1|следующая теорема]] отвечает на вопрос, как представить это в графе). Здесь мы обозначим текущее множество как <tex>I</tex>.
Тогда нужно найти такой элемент <tex>s \in S \setminus I</tex>, что <tex>I \cup s</tex> — снова независимо.
Все наши кандидаты находятся в <tex>S \setminus I</tex> . Если мы найдем путь из <tex>F</tex> в <tex>S \setminus I</tex>, то элемент <tex>s</tex>, которым путь закончился, можно будет добавить в <tex>I</tex>.
То есть шаг жадного алгоритма заключается в создании нового <tex>D</tex> и поиске такого пути.

Это подразумевает, что максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex> мы можем найти за полиномиальное время (жадно наращивать независимое множество в <tex>M = M_1 \cup \ldots \cup M_k</tex>). Cunningham<ref>Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, стр.732</ref> разработал алгоритм, которым за <tex>O((n^{(3/2)} + k)mQ + n^{(1/2)}km)</tex> можно найти максимальное независимое множество в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, где <tex>n</tex> максимальный размер множества в <tex> \mathcal{I} = \mathcal{I}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{I}_k</tex>, <tex>m</tex> размер подмножества и <tex>Q</tex> время, необходимое, чтобы определить принадлежит ли множество <tex> \mathcal{I}_j</tex> для каждого <tex>j</tex>

=== Псевдокод ===
<tex>J</tex> = <tex>\emptyset</tex>
'''for''' <tex>i \leftarrow 0</tex> '''to''' <tex>n - 1</tex>
построить [[Граф замен|граф замен]] <tex>D_{M_i}(I_i)</tex>
'''if''' <tex>I_i + s \in \mathcal{I}_i</tex>
<tex>J \leftarrow I_i + s</tex>

{{Теорема
|id=th_1
|statement=
Для любого <tex>s \in S \setminus I</tex> имеем <tex>I \cup s \in \mathcal{I} \Leftrightarrow </tex> существует ориентированный путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам графа <tex>D</tex>.
|proof=
<tex>\Leftarrow</tex>

Пусть существует путь из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> и <tex>P</tex> — самый короткий такой путь. Запишем его вершины как {<tex>s_0, s_1, \ldots s_p</tex>}. <tex>s_0 \in F</tex>, так что не умаляя общности можно сказать, что <tex>s_0 \in F_1</tex>. Для каждого <tex>j = 1\ldots k</tex> определим множество вершин <tex>S_j =</tex> {<tex>s_i, s_{i+1}:(s_i, s_{i+1}) \in D_{M_j}(I_j)</tex>}, где <tex>i</tex> пробегает от <tex>0</tex> до <tex>p - 1</tex>.
Положим, что <tex>I'_1 = (I_1 \oplus S_1) \cup \{s_0\}</tex>, для всех <tex>j > 1</tex> положим <tex>I'_j = (I_j \oplus S_j)</tex>. Ясно, что <tex>\cup _j I'_j = I + s</tex>. Для того, чтобы показать независимость <tex>I + s</tex> в объединении матроидов нужно показать, что <tex>I'_j \in J_j</tex> для всех <tex>j</tex>. Заметим, что так как мы выбирали путь <tex>P</tex> таким, что он будет наименьшим, для каждого <tex>j > 1</tex> существует единственное паросочетание между элементами, которые мы добавляли и удаляли, чтобы сконструировать <tex>I'_j = I_j \oplus S_j</tex>. Так как паросочетание единственно, <tex>I'_j \in J_j</tex>. Аналогично <tex>s_0 \in F_1</tex>, значит <tex>I'_1 \in J_1</tex>. Следовательно <tex>I + s</tex> независимо в объединении матроидов.

<tex>\Rightarrow</tex>

Пусть нет пути из <tex>F</tex> в <tex>s</tex> по ребрам <tex>D</tex>. Тогда пусть существует множество <tex>T</tex>, состоящее из вершин <tex>D</tex>, из которого мы можем достичь <tex>s</tex> : <tex>T = \{x, \exists x \leadsto s\}</tex> по допущению <tex>F\cap T = \varnothing</tex>. Утверждается, что для всех <tex>i : |I_i \cap T| = r_i(T)</tex>(что означает, что <tex>I_i \cap T</tex> — максимальное подмножество <tex>T</tex>, независимое в <tex>M_i</tex>).

Предположим, что это не так. <tex>|I_i \cap T| = r_i(I_i\cap T) \leqslant r_i(T)</tex>, это возможно только если <tex>|I_i \cap T| < r_i(T)</tex>. Значит существует такой <tex>x \in T \cap (S \setminus I_i)</tex>, для которого <tex>(I_i \cap T) + x \in J_i</tex>. Но <tex>x \notin F</tex> (по предположению вначале доказательства), значит <tex>I_i + x \notin J_i</tex>. Из этого следует, что <tex>I_i + x</tex> содержит единственный цикл. Значит существует <tex>y \in I_i - T</tex>, такой что <tex>I_i + x - y \in J_i</tex>. Получается, что <tex>(y, x)</tex> — ребро в <tex>D_{M_i}(I_i)</tex> и оно содержит этот <tex>y \in T</tex>, что противоречит тому как был выбран <tex>y \in I_i \setminus T</tex>. Следовательно для всех <tex>i</tex> нам известно : <tex>|I_i \cap T| = r_i(T)</tex>.
У нас есть <tex>s \in T</tex> и <tex>(I + s) \cap T = (\cup I_i + s)\cap T = \cup(I_i \cap T) + s</tex> . Из определния функции [[Определение матроида#def_rank_of_matroid|ранга]] объединения матроидов имеем :

<tex>r_M(I + s) \leqslant (|(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n}r_i(T))</tex>

<tex>r_M(I + s) \leqslant |(I + s)\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I\setminus T| + \sum\limits_{k=1}^{n} |I_i \cap T| = |I| < |I + s|</tex>
и значит <tex>(I + s) \notin J</tex> — противоречие.
}}

== См. также==
* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]
* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

== Примечания ==

== Источники информации ==
[https://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans. Advanced Combinatorial Optimization. Lecture 13]

Alexander Schrijver. Combinatorial Optimization. Polyhedra and Efficiency, Volume A-C, {{---}} Springer, 2004, {{---}} стр.732

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Объединение матроидов]]

Викиконспекты - Вклад участника [ru]

Алгоритм построения базы в объединении матроидов